1[2026江苏苏州期中节选,中]如图,C为线段AE上一动点(不与A,E重合),在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE,AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连接PQ,CO,以下结论:①$AD=BE$;②$PQ// AE$;③$CP=CQ$;④$AO=OD$;⑤$∠ AOB=60°$;⑥$OC$平分$∠ AOE$;⑦$CO$平分$∠ BCD$,其中正确的是.(填序号)

1. ①②③⑤⑥

【解析】
∵ △ABC 和△CDE 是等边三角形,
∴ BC = AC,DE = DC = CE,∠BCA= ∠DCE = 60°,
∴ ∠BCA + ∠BCD = ∠DCE+∠BCD,即∠ACD = ∠BCE. 在△DCA和△ECB 中，$\begin{cases} AC=BC, \\ ∠ACD=∠BCE, \\ CD=CE, \end{cases}$
∴ △DCA ≌△ECB(SAS),
∴ AD = BE,故结论①正确.
∵ △ACD ≌ △BCE,
∴ ∠CAD = ∠CBE.
∵ ∠ACB= ∠ECD = 60°,
∴ ∠BCD = 60°,
∴ ∠ACP= ∠BCQ = 60°. 在△ACP 与△BCQ中，$\begin{cases} ∠CAP=∠CBQ, \\ AC=BC, \\ ∠ACP=∠BCQ, \end{cases}$
∴ △ACP ≌ △BCQ(ASA),
∴ CP = CQ,故结论③正确.
∵ CP = CQ,∠PCQ = 60°,
∴ △PCQ 是等边三角形,
∴ ∠CPQ=60°,
∴ ∠ACB= ∠CPQ,
∴ PQ//AE,
故结论②正确. 无法证出 AO = OD,故结论④错误.
∵ ∠CAD= ∠CBE, ∠APC = ∠OPB,
∴ ∠AOB= ∠ACB=60°,故结论⑤正确. 如图，过点 C 作 CH ⊥ EB 于 H, CG ⊥ DA 于 G.
∵ △CDA≌ △CEB,
∴ ∠ADC = ∠BEC. 又
∵ ∠CGD= ∠CHE=90°, CD = CE,
∴ △CGD ≌△CHE,
∴ CH=CG,
∴ OC 平分∠AOE,故⑥正确.
∵ PC = QC,∠AOC= ∠EOC,OC = OC,
∴ 不能说明△POC 与△QOC 全等,
∴ ∠BCO 不一定等于∠DCO,故结论⑦错误. 综上所述,正确的结论有①②③⑤⑥.
关键点拨
掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.

2[2025江苏盐城质检,中]综合与实践
【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马.如图(1),将军从山脚下的点A出发,到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营,他时常想,怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢?
【分析问题】
小亮:如图(2),作B关于l的对称点B',连接AB'与l交于点C,点C就是饮马的地方,此时按路线AC-CB走的路程就是最短的.
小慧:你能详细解释原因吗?

小亮:如图(3),在l上另取一点C',连接AC',BC',B'C',只要证明AC+CB＜AC'+C'B即可.请写出小亮的证明过程.
【解决问题】
任务一:如图(4),将军牵马从军营P处出发,先到河边OA饮马,再到草地OB牧马,最后回到P处,试分别在OA和OB上各找一点E,F,使得将军走过的路程最短.(保留画图痕迹,辅助线用虚线,最短路径用实线)
任务二:如图(5)所示,在P,Q两村之间有两条河,且每条河的宽度处处相等,从P村前往Q村,要经过这两条河.现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥EF,MN,则这两座桥EF,MN造在何处可使由P村到Q村的路程最短?(要求在图上标出道路和大桥的位置)

2.
【分析问题】证明：
∵ 点 B,B' 关于 l 对称，
∴ CB=CB',C'B=C'B',
∴ AC+CB=AC+CB'=AB',AC'+C'B=AC'+C'B'.
∵ AB'＜AC'+C'B',
∴ AC+CB＜AC'+C'B',
∴ 作 B 关于 l 的对称点B',连接 AB'与 l 交于点 C,点 C 就是饮马的地方,此时按路线 AC-CB 走的路程是最短的.
【解决问题】任务一:如图(1)所示,分别作点P关于 OA,OB 的对称点 C,D,连接 CD,分别交 OA,OB 于 E,F,则路线 PE-EF-FP 即为所求。
任务二:如图(2)所示,分别过点 P 和点 Q 作$l_1,l_3$的垂线,垂足分别为 A,B,在 PA 上截取PC 等于靠近 P 村的河的宽,在 BQ 上截取 QD等于靠近 Q 村的河的宽,连接 CD 分别交$l_2$,$l_4$于 E,M,分别过点 E,M 作$l_1,l_3$的垂线,垂足分别为 F,N,连接 PF,QN,此时由 P 村到 Q村的路程最短。
关键点拨
利用轴对称的性质,将不在同一直线上的点通过作对称点转化为在同一直线上的点,从而利用两点之间线段最短找到最短路径.