登录
23.(10分)如图,AB,CD和EF被BD所截,已知∠1=∠2,EG平分∠AEC交BD于点G。
(1)如图1,∠BAE=140°,∠FEG=15°,∠DCE=110°,试判断EF与CD的位置关系,并说明理由；
(2)如图2,已知AB//CD。
①若∠BAE=35°,∠FEG=30°,求∠C的度数；
②试探索∠BAE,∠FEG与∠C之间的数量关系。
(1)如图1,∠BAE=140°,∠FEG=15°,∠DCE=110°,试判断EF与CD的位置关系,并说明理由；
(2)如图2,已知AB//CD。
①若∠BAE=35°,∠FEG=30°,求∠C的度数；
②试探索∠BAE,∠FEG与∠C之间的数量关系。
答案
23.解:(1)$EF // CD$。 理由如下:因为$∠1=∠2$,所以$AB // EF$,所以$∠AEF+∠BAE=180°$,又因为$∠BAE=140°$,所以$∠AEF=180°-∠BAE=40°$,因为$∠FEG=15°$,所以$∠AEG=∠AEF+∠FEG=55°$。因为$EG$平分$∠AEC$,所以$∠CEG=∠AEG=55°$,所以$∠CEF=∠CEG+∠FEG=70°$,又因为$∠DCE=110°$,所以$∠DCE+∠CEF=180°$,所以$EF // CD$。
(2)①因为$∠1=∠2$,所以$AB // EF$,所以$∠FEA=∠BAE=35°$,又因为$∠FEG=30°$,所以$∠AEG=∠FEA+∠FEG=65°$。因为$EG$平分$∠AEC$,所以$∠CEG=∠AEG=65°$,所以$∠FEC=∠CEG+∠FEG=95°$。因为$AB // CD$,$AB // EF$,所以$EF // CD$,所以$∠C=180°-∠FEC=85°$。
②因为$∠1=∠2$,所以$AB // EF$,所以$∠BAE=∠FEA$,因为$EG$平分$∠AEC$,所以$∠CEG=∠AEG=∠FEA+∠FEG$,所以$∠FEC=∠CEG+∠FEG=∠FEA+2∠FEG=∠BAE+2∠FEG$。因为$AB // CD$,$AB // EF$,所以$EF // CD$,所以$∠FEC+∠C=180°$,所以$∠BAE+2∠FEG+∠C=180°$。
(2)①因为$∠1=∠2$,所以$AB // EF$,所以$∠FEA=∠BAE=35°$,又因为$∠FEG=30°$,所以$∠AEG=∠FEA+∠FEG=65°$。因为$EG$平分$∠AEC$,所以$∠CEG=∠AEG=65°$,所以$∠FEC=∠CEG+∠FEG=95°$。因为$AB // CD$,$AB // EF$,所以$EF // CD$,所以$∠C=180°-∠FEC=85°$。
②因为$∠1=∠2$,所以$AB // EF$,所以$∠BAE=∠FEA$,因为$EG$平分$∠AEC$,所以$∠CEG=∠AEG=∠FEA+∠FEG$,所以$∠FEC=∠CEG+∠FEG=∠FEA+2∠FEG=∠BAE+2∠FEG$。因为$AB // CD$,$AB // EF$,所以$EF // CD$,所以$∠FEC+∠C=180°$,所以$∠BAE+2∠FEG+∠C=180°$。
解析
【分析】
要解决这道几何题，需结合平行线的判定定理、性质定理以及角平分线的定义逐步推导：
（1）判断EF与CD的位置关系时，先由∠1=∠2判定AB//EF，再利用平行线同旁内角互补求出∠AEF，结合∠FEG得到∠AEG，通过EG平分∠AEC得到∠CEG，进而算出∠CEF，最后根据∠DCE与∠CEF的和判定EF与CD平行；
（2）①中，先由∠1=∠2得AB//EF，利用平行线内错角相等得∠FEA=∠BAE，结合∠FEG求出∠AEG，由角平分线得∠CEG，算出∠FEC，再根据AB//CD推出EF//CD，利用同旁内角互补求∠C；②中，同理推导角的关系，结合平行线性质得出∠BAE、∠FEG与∠C的数量关系。
【解析】
(1) $EF // CD$，理由如下：
因为 $∠ 1 = ∠ 2$，根据“同位角相等，两直线平行”，可得 $AB // EF$。
根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以 $∠ AEF + ∠ BAE = 180°$。
已知 $∠ BAE = 140°$，则 $∠ AEF = 180° - 140° = 40°$。
又因为 $∠ FEG = 15°$，所以 $∠ AEG = ∠ AEF + ∠ FEG = 40° + 15° = 55°$。
因为 $EG$ 平分 $∠ AEC$，根据角平分线定义，$∠ CEG = ∠ AEG = 55°$，
所以 $∠ CEF = ∠ CEG + ∠ FEG = 55° + 15° = 70°$。
已知 $∠ DCE = 110°$，则 $∠ DCE + ∠ CEF = 110° + 70° = 180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得 $EF // CD$。
(2) ① 因为 $∠ 1 = ∠ 2$，所以 $AB // EF$，根据“两直线平行，内错角相等”，得 $∠ FEA = ∠ BAE = 35°$。
已知 $∠ FEG = 30°$，所以 $∠ AEG = ∠ FEA + ∠ FEG = 35° + 30° = 65°$。
因为 $EG$ 平分 $∠ AEC$，所以 $∠ CEG = ∠ AEG = 65°$，
则 $∠ FEC = ∠ CEG + ∠ FEG = 65° + 30° = 95°$。
因为 $AB // CD$，且 $AB // EF$，根据平行公理的推论，得 $EF // CD$，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，$∠ FEC + ∠ C = 180°$，所以 $∠ C = 180° - 95° = 85°$。
② 因为 $∠ 1 = ∠ 2$，所以 $AB // EF$，故 $∠ BAE = ∠ FEA$。
因为 $EG$ 平分 $∠ AEC$，所以 $∠ CEG = ∠ AEG = ∠ FEA + ∠ FEG$，
则 $∠ FEC = ∠ CEG + ∠ FEG = ∠ FEA + 2∠ FEG = ∠ BAE + 2∠ FEG$。
又因为 $AB // CD$，$AB // EF$，所以 $EF // CD$，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，$∠ FEC + ∠ C = 180°$，
因此 $∠ BAE + 2∠ FEG + ∠ C = 180°$。
【答案】
(1) $EF // CD$，理由见解析；
(2) ① $∠ C = 85°$；② $∠ BAE + 2∠ FEG + ∠ C = 180°$。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质、角平分线的应用，解题关键是熟练运用平行线相关定理推导角的关系，逐步建立已知角与未知角的联系，需注重几何推理的逻辑性，适合中等水平学生练习。
【难度系数】
0.5
要解决这道几何题，需结合平行线的判定定理、性质定理以及角平分线的定义逐步推导：
（1）判断EF与CD的位置关系时，先由∠1=∠2判定AB//EF，再利用平行线同旁内角互补求出∠AEF，结合∠FEG得到∠AEG，通过EG平分∠AEC得到∠CEG，进而算出∠CEF，最后根据∠DCE与∠CEF的和判定EF与CD平行；
（2）①中，先由∠1=∠2得AB//EF，利用平行线内错角相等得∠FEA=∠BAE，结合∠FEG求出∠AEG，由角平分线得∠CEG，算出∠FEC，再根据AB//CD推出EF//CD，利用同旁内角互补求∠C；②中，同理推导角的关系，结合平行线性质得出∠BAE、∠FEG与∠C的数量关系。
【解析】
(1) $EF // CD$，理由如下：
因为 $∠ 1 = ∠ 2$，根据“同位角相等，两直线平行”，可得 $AB // EF$。
根据“两直线平行，同旁内角互补”，所以 $∠ AEF + ∠ BAE = 180°$。
已知 $∠ BAE = 140°$，则 $∠ AEF = 180° - 140° = 40°$。
又因为 $∠ FEG = 15°$，所以 $∠ AEG = ∠ AEF + ∠ FEG = 40° + 15° = 55°$。
因为 $EG$ 平分 $∠ AEC$，根据角平分线定义，$∠ CEG = ∠ AEG = 55°$，
所以 $∠ CEF = ∠ CEG + ∠ FEG = 55° + 15° = 70°$。
已知 $∠ DCE = 110°$，则 $∠ DCE + ∠ CEF = 110° + 70° = 180°$，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得 $EF // CD$。
(2) ① 因为 $∠ 1 = ∠ 2$，所以 $AB // EF$，根据“两直线平行，内错角相等”，得 $∠ FEA = ∠ BAE = 35°$。
已知 $∠ FEG = 30°$，所以 $∠ AEG = ∠ FEA + ∠ FEG = 35° + 30° = 65°$。
因为 $EG$ 平分 $∠ AEC$，所以 $∠ CEG = ∠ AEG = 65°$，
则 $∠ FEC = ∠ CEG + ∠ FEG = 65° + 30° = 95°$。
因为 $AB // CD$，且 $AB // EF$，根据平行公理的推论，得 $EF // CD$，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，$∠ FEC + ∠ C = 180°$，所以 $∠ C = 180° - 95° = 85°$。
② 因为 $∠ 1 = ∠ 2$，所以 $AB // EF$，故 $∠ BAE = ∠ FEA$。
因为 $EG$ 平分 $∠ AEC$，所以 $∠ CEG = ∠ AEG = ∠ FEA + ∠ FEG$，
则 $∠ FEC = ∠ CEG + ∠ FEG = ∠ FEA + 2∠ FEG = ∠ BAE + 2∠ FEG$。
又因为 $AB // CD$，$AB // EF$，所以 $EF // CD$，
根据“两直线平行，同旁内角互补”，$∠ FEC + ∠ C = 180°$，
因此 $∠ BAE + 2∠ FEG + ∠ C = 180°$。
【答案】
(1) $EF // CD$，理由见解析；
(2) ① $∠ C = 85°$；② $∠ BAE + 2∠ FEG + ∠ C = 180°$。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质、角平分线的定义
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质、角平分线的应用，解题关键是熟练运用平行线相关定理推导角的关系，逐步建立已知角与未知角的联系，需注重几何推理的逻辑性，适合中等水平学生练习。
【难度系数】
0.5
