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24.(12分)某工厂需制作如图1的竖式与横式两种无盖木箱(单位:cm),制作木箱需要如图2的25 cm×25 cm的正方形木板和25 cm×40 cm的长方形木板。现工厂采购这两种木板,采购清单如下表。设正方形木板的单价为m元/块,已知购买的长方形木板的数量正好是正方形木板的2倍。
采购清单
(1)请将表格填写完整(用含m的代数式表示),并求m的值;
(2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱,求两种木箱各做多少个,恰好将木板用完?
(3)该工厂发现有一批尺寸为25 cm×280 cm的废旧木板,若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板。
①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完(不计损耗);
②因工厂生产需要,还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个,所有废旧木板恰好用完,则这批废旧木板共多少块?
采购清单
(1)请将表格填写完整(用含m的代数式表示),并求m的值;
(2)现将购买的木板制作这两种无盖木箱,求两种木箱各做多少个,恰好将木板用完?
(3)该工厂发现有一批尺寸为25 cm×280 cm的废旧木板,若用这批废旧木板切割成木箱所需的上述两种木板。
①请问如何切割才能将每块废旧木板恰好用完(不计损耗);
②因工厂生产需要,还需制作竖式无盖木箱60个、横式无盖木箱50个,所有废旧木板恰好用完,则这批废旧木板共多少块?
答案
24.解:(1)$\frac{120}{m}$ $\frac{300}{m+3}$ 根据题意,得$\frac{120}{m} × 2=\frac{300}{m+3}$,解得$m=12$。经检验,$m=12$是所列方程的根,且符合题意。
(2)当$m=12$时,正方形木板的数量为$\frac{120}{m}=10$(块),长方形木板的数量为$\frac{300}{m+3}=20$(块)。设竖式无盖木箱做$x$个,横式无盖木箱做$y$个。根据题意,得$\begin{cases}x+2y=10, \\4x+3y=20,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2, \\y=4。\end{cases}$ 答:竖式无盖木箱做2个,横式无盖木箱做4个。
(3)①设每块废旧木板切割正方形木板$a$块,长方形木板$b$块。根据题意,得$25a+40b=280$,所以$b=7-\frac{5}{8}a$,因为$a,b$都是非负整数,所以$\begin{cases}a=0, \\b=7\end{cases}$或$\begin{cases}a=8, \\b=2。\end{cases}$ 答:有两种切割方式,第一种为切割长方形木板7块,第二种为切割正方形木板8块和长方形木板2块。
②易得需要正方形木板$60 × 1+50 × 2=160$(块),长方形木板$60 × 4+50 × 3=390$(块),所以第二种切割方式的木板为$160 ÷ 8=20$(块),第一种切割方式的木板为$(390-2 × 20) ÷ 7=50$(块),所以废旧木板共$20+50=70$(块)。 答:这批废旧木板共70块。
(2)当$m=12$时,正方形木板的数量为$\frac{120}{m}=10$(块),长方形木板的数量为$\frac{300}{m+3}=20$(块)。设竖式无盖木箱做$x$个,横式无盖木箱做$y$个。根据题意,得$\begin{cases}x+2y=10, \\4x+3y=20,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=2, \\y=4。\end{cases}$ 答:竖式无盖木箱做2个,横式无盖木箱做4个。
(3)①设每块废旧木板切割正方形木板$a$块,长方形木板$b$块。根据题意,得$25a+40b=280$,所以$b=7-\frac{5}{8}a$,因为$a,b$都是非负整数,所以$\begin{cases}a=0, \\b=7\end{cases}$或$\begin{cases}a=8, \\b=2。\end{cases}$ 答:有两种切割方式,第一种为切割长方形木板7块,第二种为切割正方形木板8块和长方形木板2块。
②易得需要正方形木板$60 × 1+50 × 2=160$(块),长方形木板$60 × 4+50 × 3=390$(块),所以第二种切割方式的木板为$160 ÷ 8=20$(块),第一种切割方式的木板为$(390-2 × 20) ÷ 7=50$(块),所以废旧木板共$20+50=70$(块)。 答:这批废旧木板共70块。
解析
【分析】
本题为实际应用类问题，需分三步拆解：
1. 第(1)问：根据采购清单的总金额与单价，用含m的代数式表示两种木板数量，再利用“长方形木板数量是正方形木板的2倍”列分式方程，求解并检验；
2. 第(2)问：先代入m的值算出两种木板的总数量，再设竖式、横式木箱个数为未知数，结合两种木箱的木板用量列二元一次方程组，解方程组得结果；
3. 第(3)问①：根据废旧木板与小木板的尺寸建立不定方程，结合非负整数条件筛选切割方式；②：先算出制作所需的两种木板总数量，再结合两种切割方式的产出，计算废旧木板总块数。
【解析】
(1) 正方形木板总金额120元，单价m元/块，数量为$\frac{120}{m}$块；长方形木板单价比正方形多3元，即$(m+3)$元/块，总金额300元，数量为$\frac{300}{m+3}$块。根据题意列方程：
$\frac{120}{m} × 2 = \frac{300}{m+3}$
解方程：
两边同乘$m(m+3)$得：$240(m+3)=300m$
化简得：$60m=720$，解得$m=12$
经检验，$m=12$是原方程的根，且符合题意。
(2) 当$m=12$时，正方形木板数量为$\frac{120}{12}=10$块，长方形木板数量为$\frac{300}{12+3}=20$块。
设竖式无盖木箱做$x$个，横式无盖木箱做$y$个（竖式需1个正方形、4个长方形；横式需2个正方形、3个长方形），列方程组：
$\begin{cases} x + 2y =10 \\4x +3y=20 \end{cases}$
解方程组：
由$x=10-2y$代入第二个方程，得$4(10-2y)+3y=20$，解得$y=4$，则$x=10-2×4=2$。
(3) ① 设每块废旧木板切割正方形木板$a$块，长方形木板$b$块，根据尺寸关系列方程：
$25×25a +25×40b=25×280$
化简得：$5a +8b=56$
因$a,b$为非负整数，解得$\begin{cases}a=0 \\b=7\end{cases}$或$\begin{cases}a=8 \\b=2\end{cases}$，即两种切割方式：切割7块长方形木板，或切割8块正方形木板和2块长方形木板。
② 制作60个竖式、50个横式木箱，所需正方形木板总数：$60×1 +50×2=160$块；所需长方形木板总数：$60×4 +50×3=390$块。
设采用第二种切割方式的废旧木板有$x$块，第一种有$y$块，则：
$8x=160$ → $x=20$；$7y +2x=390$ → $7y=350$ → $y=50$
总废旧木板数：$20+50=70$块。
【答案】
(1) 正方形木板数量为$\frac{120}{m}$，长方形木板数量为$\frac{300}{m+3}$，$m=12$；
(2) 竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱做4个；
(3) ① 两种切割方式：切割7块长方形木板，或切割8块正方形木板和2块长方形木板；② 这批废旧木板共70块。
【知识点】
二元一次方程组应用、不定方程应用
【点评】
本题结合生产实际考查方程（组）的应用，需准确理解木箱的木板用量，第(3)问的不定方程整数解筛选是难点，需结合实际意义分析，整体逻辑清晰，侧重应用能力。
【难度系数】
0.5
本题为实际应用类问题，需分三步拆解：
1. 第(1)问：根据采购清单的总金额与单价，用含m的代数式表示两种木板数量，再利用“长方形木板数量是正方形木板的2倍”列分式方程，求解并检验；
2. 第(2)问：先代入m的值算出两种木板的总数量，再设竖式、横式木箱个数为未知数，结合两种木箱的木板用量列二元一次方程组，解方程组得结果；
3. 第(3)问①：根据废旧木板与小木板的尺寸建立不定方程，结合非负整数条件筛选切割方式；②：先算出制作所需的两种木板总数量，再结合两种切割方式的产出，计算废旧木板总块数。
【解析】
(1) 正方形木板总金额120元，单价m元/块，数量为$\frac{120}{m}$块；长方形木板单价比正方形多3元，即$(m+3)$元/块，总金额300元，数量为$\frac{300}{m+3}$块。根据题意列方程：
$\frac{120}{m} × 2 = \frac{300}{m+3}$
解方程：
两边同乘$m(m+3)$得：$240(m+3)=300m$
化简得：$60m=720$，解得$m=12$
经检验，$m=12$是原方程的根，且符合题意。
(2) 当$m=12$时，正方形木板数量为$\frac{120}{12}=10$块，长方形木板数量为$\frac{300}{12+3}=20$块。
设竖式无盖木箱做$x$个，横式无盖木箱做$y$个（竖式需1个正方形、4个长方形；横式需2个正方形、3个长方形），列方程组：
$\begin{cases} x + 2y =10 \\4x +3y=20 \end{cases}$
解方程组：
由$x=10-2y$代入第二个方程，得$4(10-2y)+3y=20$，解得$y=4$，则$x=10-2×4=2$。
(3) ① 设每块废旧木板切割正方形木板$a$块，长方形木板$b$块，根据尺寸关系列方程：
$25×25a +25×40b=25×280$
化简得：$5a +8b=56$
因$a,b$为非负整数，解得$\begin{cases}a=0 \\b=7\end{cases}$或$\begin{cases}a=8 \\b=2\end{cases}$，即两种切割方式：切割7块长方形木板，或切割8块正方形木板和2块长方形木板。
② 制作60个竖式、50个横式木箱，所需正方形木板总数：$60×1 +50×2=160$块；所需长方形木板总数：$60×4 +50×3=390$块。
设采用第二种切割方式的废旧木板有$x$块，第一种有$y$块，则：
$8x=160$ → $x=20$；$7y +2x=390$ → $7y=350$ → $y=50$
总废旧木板数：$20+50=70$块。
【答案】
(1) 正方形木板数量为$\frac{120}{m}$，长方形木板数量为$\frac{300}{m+3}$，$m=12$；
(2) 竖式无盖木箱做2个，横式无盖木箱做4个；
(3) ① 两种切割方式：切割7块长方形木板，或切割8块正方形木板和2块长方形木板；② 这批废旧木板共70块。
【知识点】
二元一次方程组应用、不定方程应用
【点评】
本题结合生产实际考查方程（组）的应用，需准确理解木箱的木板用量，第(3)问的不定方程整数解筛选是难点，需结合实际意义分析，整体逻辑清晰，侧重应用能力。
【难度系数】
0.5
