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21.(8分)如图,一张长方形纸片甲可看作由2张正方形纸片A和2张长方形纸片B拼成。小吴同学将其重新剪拼,得到一幅新图形乙。
(1)若甲为正方形,则乙的周长可表示为
(2)若$\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{5}{6}$,猜测a与b之间的数量关系,说明理由。
(1)若甲为正方形,则乙的周长可表示为
9a
;(用含a的代数式表示)(2)若$\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{5}{6}$,猜测a与b之间的数量关系,说明理由。
答案
21.(1)9a 解析:由题图可得长方形纸片B的长为2a,宽为b,正方形纸片A的边长为a。因为甲为正方形,所以$2a=a+2b$,所以$a=2b$。所以乙的长为$2a+a=3a$,宽为$a+b$,所以乙的周长可表示为$2(3a+a+b)=8a+2b=8a+a=9a$。
(2)解:由题意可得$S_甲=2a(a+2b)$,$S_乙=3a(a+b)$,所以$\frac{2a(a+2b)}{3a(a+b)}=\frac{5}{6}$,所以$\frac{2(a+2b)}{3(a+b)}=\frac{5}{6}$,所以$a=3b$。 思路点拨:本题主要考查整式的混合运算,解题的基本思路是运用数形结合的思想方法,结合图形的剪拼建立两图之间的联系,进而表示出所需的周长或面积,再按要求求解即可。
(2)解:由题意可得$S_甲=2a(a+2b)$,$S_乙=3a(a+b)$,所以$\frac{2a(a+2b)}{3a(a+b)}=\frac{5}{6}$,所以$\frac{2(a+2b)}{3(a+b)}=\frac{5}{6}$,所以$a=3b$。 思路点拨:本题主要考查整式的混合运算,解题的基本思路是运用数形结合的思想方法,结合图形的剪拼建立两图之间的联系,进而表示出所需的周长或面积,再按要求求解即可。
解析
【分析】
先明确各图形的边长：正方形A的边长为a，长方形B的长为2a、宽为b。对于(1)，甲为正方形，其边长相等，故2a = a + 2b，可推出a与b的关系，再确定乙的长和宽，进而计算周长；对于(2)，分别表示出甲、乙的面积，利用已知的面积比建立等式，化简后得到a与b的数量关系。
【解析】
(1) 由题图可知，正方形A的边长为a，长方形B的长为2a，宽为b。
因为甲是正方形，所以甲的边长相等，即2a = a + 2b，解得a = 2b。
观察图形乙，乙的长为3a，宽为a + b，将b = $\frac{a}{2}$代入，宽为a + $\frac{a}{2}$ = $\frac{3a}{2}$。
根据长方形周长公式，乙的周长为：
$2×(3a + \frac{3a}{2}) = 2×\frac{9a}{2} = 9a$。
(2) 计算面积：
$S_甲 = 2$个正方形A的面积 + $2$个长方形B的面积 = $2a^2 + 2×(2a·b) = 2a^2 + 4ab = 2a(a + 2b)$；
$S_乙 = 3a(a + b)$（由图形剪拼后的面积可得）。
已知$\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{5}{6}$，代入得：
$\frac{2a(a + 2b)}{3a(a + b)} = \frac{5}{6}$，约去$a$（$a≠0$），化简得：
$\frac{2(a + 2b)}{3(a + b)} = \frac{5}{6}$，交叉相乘得：
$12(a + 2b) = 15(a + b)$，
展开得：$12a + 24b = 15a + 15b$，
移项合并同类项得：$3a = 9b$，即$a = 3b$。
【答案】
(1) 9a；(2) a = 3b
【知识点】
整式的混合运算、长方形周长与面积、数形结合
【点评】
本题结合图形剪拼考查整式运算，核心是利用图形的边长关系建立等式，体现了数形结合的数学思想，解题时需准确分析各图形的边长和面积表达式，步骤清晰，难度中等。
【难度系数】
0.5
先明确各图形的边长：正方形A的边长为a，长方形B的长为2a、宽为b。对于(1)，甲为正方形，其边长相等，故2a = a + 2b，可推出a与b的关系，再确定乙的长和宽，进而计算周长；对于(2)，分别表示出甲、乙的面积，利用已知的面积比建立等式，化简后得到a与b的数量关系。
【解析】
(1) 由题图可知，正方形A的边长为a，长方形B的长为2a，宽为b。
因为甲是正方形，所以甲的边长相等，即2a = a + 2b，解得a = 2b。
观察图形乙，乙的长为3a，宽为a + b，将b = $\frac{a}{2}$代入，宽为a + $\frac{a}{2}$ = $\frac{3a}{2}$。
根据长方形周长公式，乙的周长为：
$2×(3a + \frac{3a}{2}) = 2×\frac{9a}{2} = 9a$。
(2) 计算面积：
$S_甲 = 2$个正方形A的面积 + $2$个长方形B的面积 = $2a^2 + 2×(2a·b) = 2a^2 + 4ab = 2a(a + 2b)$；
$S_乙 = 3a(a + b)$（由图形剪拼后的面积可得）。
已知$\frac{S_{甲}}{S_{乙}}=\frac{5}{6}$，代入得：
$\frac{2a(a + 2b)}{3a(a + b)} = \frac{5}{6}$，约去$a$（$a≠0$），化简得：
$\frac{2(a + 2b)}{3(a + b)} = \frac{5}{6}$，交叉相乘得：
$12(a + 2b) = 15(a + b)$，
展开得：$12a + 24b = 15a + 15b$，
移项合并同类项得：$3a = 9b$，即$a = 3b$。
【答案】
(1) 9a；(2) a = 3b
【知识点】
整式的混合运算、长方形周长与面积、数形结合
【点评】
本题结合图形剪拼考查整式运算，核心是利用图形的边长关系建立等式，体现了数形结合的数学思想，解题时需准确分析各图形的边长和面积表达式，步骤清晰，难度中等。
【难度系数】
0.5
22.(10分)电影《哪吒之魔童闹海》上映短短10天就成为中国电影票房榜冠军。小湖为了解大家对该电影的评价情况，开展了一次调查研究，请将下面的过程补全。
[收集数据]
(1)小湖计划从某电影院观影后的观众中随机抽取40名观众对该电影的评分情况作为样本，下面的取样方法中，合理的是
A. 抽取40名女性观众对该电影的评分情况组成样本
B. 抽取男女性观众各20名对该电影的评分情况组成样本
C. 抽取老中青幼各年龄层次的男女性观众各5名对该电影的评分情况组成样本
[整理、描述数据]
抽样方法确定后，小湖获得了40名观众对该电影的评分(满分10分)情况如下：
5.5 6.5 6.1 7.7 8.0 8.4 8.2 8.0 9.1 8.3 4.5 7.3 9.9 9.5 8.6
8.1 8.3 8.8 9.5 8.7 6.3 7.5 8.0 8.1 8.5 9.7 7.4 9.1 9.3 8.7
8.9 7.2 9.8 8.4 9.0 7.1 7.0 9.1 6.6 6.5
分成五组整理数据(每组都包含最小值，不包含最大值)，如下表所示：
《哪吒之魔童闹海》观众评分情况统计表
《哪吒之魔童降世》观众评分情况频数直方图
(2)为直观地展现上述调查结果，小湖想将它们绘制成扇形统计图，求C组所在扇形的圆心角度数；
[分析数据、得出结论]
小湖将统计后的数据与第一部《哪吒之魔童降世》调查的30名观众的评分情况(如图)进行对比分析。
(3)若评分8分及以上表示受观众喜爱。从受观众喜爱的角度看，请用数据说明这两部电影哪部更受欢迎？
[收集数据]
(1)小湖计划从某电影院观影后的观众中随机抽取40名观众对该电影的评分情况作为样本，下面的取样方法中，合理的是
C
；A. 抽取40名女性观众对该电影的评分情况组成样本
B. 抽取男女性观众各20名对该电影的评分情况组成样本
C. 抽取老中青幼各年龄层次的男女性观众各5名对该电影的评分情况组成样本
[整理、描述数据]
抽样方法确定后，小湖获得了40名观众对该电影的评分(满分10分)情况如下：
5.5 6.5 6.1 7.7 8.0 8.4 8.2 8.0 9.1 8.3 4.5 7.3 9.9 9.5 8.6
8.1 8.3 8.8 9.5 8.7 6.3 7.5 8.0 8.1 8.5 9.7 7.4 9.1 9.3 8.7
8.9 7.2 9.8 8.4 9.0 7.1 7.0 9.1 6.6 6.5
分成五组整理数据(每组都包含最小值，不包含最大值)，如下表所示：
《哪吒之魔童闹海》观众评分情况统计表
《哪吒之魔童降世》观众评分情况频数直方图
(2)为直观地展现上述调查结果，小湖想将它们绘制成扇形统计图，求C组所在扇形的圆心角度数；
[分析数据、得出结论]
小湖将统计后的数据与第一部《哪吒之魔童降世》调查的30名观众的评分情况(如图)进行对比分析。
(3)若评分8分及以上表示受观众喜爱。从受观众喜爱的角度看，请用数据说明这两部电影哪部更受欢迎？
答案
22.(1)C
(2)解:C组所在扇形的圆心角度数为$\frac{7}{40} × 360°=63°$。
(3)解:《哪吒之魔童闹海》8分及以上的占比为$\frac{26}{40}=\frac{13}{20}$,《哪吒之魔童降世》8分及以上的占比为$\frac{9+6}{30}=\frac{1}{2}$,因为$\frac{13}{20}＞\frac{1}{2}$,所以《哪吒之魔童闹海》更受欢迎。
(2)解:C组所在扇形的圆心角度数为$\frac{7}{40} × 360°=63°$。
(3)解:《哪吒之魔童闹海》8分及以上的占比为$\frac{26}{40}=\frac{13}{20}$,《哪吒之魔童降世》8分及以上的占比为$\frac{9+6}{30}=\frac{1}{2}$,因为$\frac{13}{20}＞\frac{1}{2}$,所以《哪吒之魔童闹海》更受欢迎。
解析
【分析】
本题考查统计相关知识，解题思路如下：
1. 第(1)问需判断抽样方法的合理性，抽样调查的样本要具有代表性和广泛性，需覆盖不同群体，据此选择合适选项；
2. 第(2)问求C组扇形圆心角，需先确定C组的频数，再用“圆心角度数=（C组频数/总样本数）×360°”计算；
3. 第(3)问比较两部电影的受欢迎程度，需分别计算两部电影8分及以上观众的占比，再比较占比大小得出结论。
【解析】
(1) 抽样调查的样本需具有代表性和广泛性：A选项仅抽取女性观众，样本不全面；B选项仅抽取男女观众，未覆盖年龄层次，样本缺乏代表性；C选项覆盖了老中青幼各年龄层次的男女性观众，样本合理，故选C。
(2) 由数据可知C组频数为7，总样本数为40，因此C组所在扇形的圆心角度数为：$\frac{7}{40}×360°=63°$。
(3) 计算占比：《哪吒之魔童闹海》8分及以上的观众有26名，占比为$\frac{26}{40}=\frac{13}{20}$；《哪吒之魔童降世》8分及以上的观众有$9+6=15$名，占比为$\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$。因为$\frac{13}{20}＞\frac{1}{2}$，所以《哪吒之魔童闹海》更受欢迎。
【答案】
(1)C；(2)63°；(3)《哪吒之魔童闹海》更受欢迎
【知识点】
抽样调查的合理性、扇形统计图圆心角计算、统计占比的应用
【点评】
本题围绕电影评价的调查展开，考查统计的基础应用，涵盖抽样方法、扇形统计图计算和数据比较，难度适中，需学生掌握统计的基本逻辑和计算方法。
【难度系数】
0.6
本题考查统计相关知识，解题思路如下：
1. 第(1)问需判断抽样方法的合理性，抽样调查的样本要具有代表性和广泛性，需覆盖不同群体，据此选择合适选项；
2. 第(2)问求C组扇形圆心角，需先确定C组的频数，再用“圆心角度数=（C组频数/总样本数）×360°”计算；
3. 第(3)问比较两部电影的受欢迎程度，需分别计算两部电影8分及以上观众的占比，再比较占比大小得出结论。
【解析】
(1) 抽样调查的样本需具有代表性和广泛性：A选项仅抽取女性观众，样本不全面；B选项仅抽取男女观众，未覆盖年龄层次，样本缺乏代表性；C选项覆盖了老中青幼各年龄层次的男女性观众，样本合理，故选C。
(2) 由数据可知C组频数为7，总样本数为40，因此C组所在扇形的圆心角度数为：$\frac{7}{40}×360°=63°$。
(3) 计算占比：《哪吒之魔童闹海》8分及以上的观众有26名，占比为$\frac{26}{40}=\frac{13}{20}$；《哪吒之魔童降世》8分及以上的观众有$9+6=15$名，占比为$\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$。因为$\frac{13}{20}＞\frac{1}{2}$，所以《哪吒之魔童闹海》更受欢迎。
【答案】
(1)C；(2)63°；(3)《哪吒之魔童闹海》更受欢迎
【知识点】
抽样调查的合理性、扇形统计图圆心角计算、统计占比的应用
【点评】
本题围绕电影评价的调查展开，考查统计的基础应用，涵盖抽样方法、扇形统计图计算和数据比较，难度适中，需学生掌握统计的基本逻辑和计算方法。
【难度系数】
0.6
