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3.《梦溪笔谈》是宋朝沈括所著的一部笔记体著作。书中记录了小孔成像现象，发现树的实际高度与像的高度的比与它们到孔的距离之比相等。如果树的高度为 3m，树与小孔之间的距离为 2m，树的像与小孔的距离为 0.4m，那么小孔成像后，树的像的高度是多少米？
答案
3.解:设树的像的高度是x m。$\frac{3}{x}=\frac{2}{0.4}$ $x=0.6$
解析
【分析】
本题利用小孔成像的规律解题，题目明确给出“树的实际高度与像的高度的比等于它们到孔的距离之比”这一等量关系。解题时，先设树的像的高度为未知数，再将已知的树高、树到小孔的距离、像到小孔的距离代入等量关系列出比例式，最后根据比例的基本性质求解未知数即可。
【解析】
设树的像的高度为$ x $米。
根据题意，树的实际高度与像的高度的比等于它们到小孔的距离之比，可列出比例式：
$\frac{3}{x} = \frac{2}{0.4}$
根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），转化为方程：
$2x = 3×0.4$
计算得：$2x = 1.2$
两边同时除以2，解得：$x = 0.6$
【答案】
0.6米
【知识点】
比例的应用、小孔成像原理
【点评】
本题结合古代科技著作中的小孔成像现象，考查比例的实际应用，关键是找准题目中的等量关系，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题利用小孔成像的规律解题，题目明确给出“树的实际高度与像的高度的比等于它们到孔的距离之比”这一等量关系。解题时，先设树的像的高度为未知数，再将已知的树高、树到小孔的距离、像到小孔的距离代入等量关系列出比例式，最后根据比例的基本性质求解未知数即可。
【解析】
设树的像的高度为$ x $米。
根据题意，树的实际高度与像的高度的比等于它们到小孔的距离之比，可列出比例式：
$\frac{3}{x} = \frac{2}{0.4}$
根据比例的基本性质（两内项之积等于两外项之积），转化为方程：
$2x = 3×0.4$
计算得：$2x = 1.2$
两边同时除以2，解得：$x = 0.6$
【答案】
0.6米
【知识点】
比例的应用、小孔成像原理
【点评】
本题结合古代科技著作中的小孔成像现象，考查比例的实际应用，关键是找准题目中的等量关系，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】
0.5
4. 大约在四百多年前，明朝数学家吴敬写了一本名为《九章算法比类大全》的书，这本书中有这样一首诗：远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖顶几盏灯？这首诗的意思是在一个夜晚，站在很远的地方遥望那雄伟挺立的七层宝塔，只见宝塔上点着许多盏红灯。红灯数每向下一层就增加一倍（下一层是上一层的2倍），数了数共有三百八十一盏灯。你知道尖顶上有几盏灯吗？
答案
4.$381÷(1+2+4+8+16+32+64)=3$(盏)
解析
【分析】
本题是古代数学中的代数应用问题，核心是理解“下一层灯数是上一层的2倍”的数量关系，即从塔顶到塔底，灯数构成公比为2的等比数列，共7层。解题时先设顶层灯数为未知数，依次写出各层灯数的表达式，再根据总灯数建立方程，最后计算得出结果。
【解析】
设塔尖（顶层）有$ x $盏灯，因为每向下一层灯数是上一层的2倍，所以从顶层到底层各层的灯数依次为：$ x $，$ 2x $，$ 4x $，$ 8x $，$ 16x $，$ 32x $，$ 64x $。
根据总灯数为381盏，可列方程：
$ x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x + 64x = 381 $
合并同类项得：$ 127x = 381 $
解得：$ x = 381 ÷ 127 = 3 $（盏）
【答案】
3盏
【知识点】
等比数列求和、一元一次方程应用
【点评】
本题结合古代数学问题，将实际数量关系转化为数学方程，考查学生对倍数关系和代数运算的掌握，难度适中，能体现古代数学的智慧。
【难度系数】
0.5
本题是古代数学中的代数应用问题，核心是理解“下一层灯数是上一层的2倍”的数量关系，即从塔顶到塔底，灯数构成公比为2的等比数列，共7层。解题时先设顶层灯数为未知数，依次写出各层灯数的表达式，再根据总灯数建立方程，最后计算得出结果。
【解析】
设塔尖（顶层）有$ x $盏灯，因为每向下一层灯数是上一层的2倍，所以从顶层到底层各层的灯数依次为：$ x $，$ 2x $，$ 4x $，$ 8x $，$ 16x $，$ 32x $，$ 64x $。
根据总灯数为381盏，可列方程：
$ x + 2x + 4x + 8x + 16x + 32x + 64x = 381 $
合并同类项得：$ 127x = 381 $
解得：$ x = 381 ÷ 127 = 3 $（盏）
【答案】
3盏
【知识点】
等比数列求和、一元一次方程应用
【点评】
本题结合古代数学问题，将实际数量关系转化为数学方程，考查学生对倍数关系和代数运算的掌握，难度适中，能体现古代数学的智慧。
【难度系数】
0.5
5.在古代,有很多计量长度的单位,如丈、尺、仞、寻等。
信息一:1丈=10尺;
信息二:在古代,不同时期的1尺,是相差甚远的,汉朝时,1尺≈27.7厘米,唐朝时,1尺≈31.1厘米,在现代,1尺≈33.3厘米;
(1)在汉朝时,形容一个人身高八尺,在现代约是多少尺?(结果保留整数)
(2)唐朝李白有诗:"天台四万八千丈,对此欲倒东南倾"描写浙江天台山,你觉得,天台山有李白形容的那么高吗?说明理由。(世界最高峰约高8848.86米)
信息一:1丈=10尺;
信息二:在古代,不同时期的1尺,是相差甚远的,汉朝时,1尺≈27.7厘米,唐朝时,1尺≈31.1厘米,在现代,1尺≈33.3厘米;
(1)在汉朝时,形容一个人身高八尺,在现代约是多少尺?(结果保留整数)
(2)唐朝李白有诗:"天台四万八千丈,对此欲倒东南倾"描写浙江天台山,你觉得,天台山有李白形容的那么高吗?说明理由。(世界最高峰约高8848.86米)
答案
5.(1)$27.7×8÷33.3≈7$(尺)
(2)48000丈=480000尺,31.1×480000=14928000(厘米)=149280(米),149280＞8848.86,天台山没有李白形容的那么高。
(2)48000丈=480000尺,31.1×480000=14928000(厘米)=149280(米),149280＞8848.86,天台山没有李白形容的那么高。
解析
【分析】
这道题考查古代长度单位与现代长度单位的换算应用。第(1)问需先计算汉朝八尺对应的厘米数，再换算为现代的尺数；第(2)问要先将李白形容的天台山高度（四万八千丈）换算为现代的米数，再与世界最高峰高度对比判断。
【解析】
(1) 汉朝1尺≈27.7厘米，汉朝八尺的长度为：$27.7×8 = 221.6$（厘米）
现代1尺≈33.3厘米，换算为现代尺数：$221.6÷33.3≈7$（尺）
(2) 先将“四万八千丈”换算为尺：因为1丈=10尺，所以$48000×10 = 480000$（尺）
再换算为厘米：$31.1×480000 = 14928000$（厘米）
单位换算为米：$14928000$厘米$=149280$米
对比世界最高峰高度8848.86米，$149280＞8848.86$，说明天台山实际高度远低于李白形容的高度，因此天台山没有李白形容的那么高。
【答案】
(1) 约7尺；(2) 天台山没有李白形容的那么高，理由见解析。
【知识点】
长度单位换算、单位转换
【点评】
本题结合古代长度单位的实际应用，考查单位换算的计算能力，同时需要结合实际数据进行判断，贴近生活，难度适中。
【难度系数】
0.6
这道题考查古代长度单位与现代长度单位的换算应用。第(1)问需先计算汉朝八尺对应的厘米数，再换算为现代的尺数；第(2)问要先将李白形容的天台山高度（四万八千丈）换算为现代的米数，再与世界最高峰高度对比判断。
【解析】
(1) 汉朝1尺≈27.7厘米，汉朝八尺的长度为：$27.7×8 = 221.6$（厘米）
现代1尺≈33.3厘米，换算为现代尺数：$221.6÷33.3≈7$（尺）
(2) 先将“四万八千丈”换算为尺：因为1丈=10尺，所以$48000×10 = 480000$（尺）
再换算为厘米：$31.1×480000 = 14928000$（厘米）
单位换算为米：$14928000$厘米$=149280$米
对比世界最高峰高度8848.86米，$149280＞8848.86$，说明天台山实际高度远低于李白形容的高度，因此天台山没有李白形容的那么高。
【答案】
(1) 约7尺；(2) 天台山没有李白形容的那么高，理由见解析。
【知识点】
长度单位换算、单位转换
【点评】
本题结合古代长度单位的实际应用，考查单位换算的计算能力，同时需要结合实际数据进行判断，贴近生活，难度适中。
【难度系数】
0.6
