1. 如图,把一支铅笔垂直插入一个半径为 1cm 的圆形硬纸板的圆心,然后绕一个直径为 8cm 的量角器的圆弧滚动,铅笔会留下痕迹,此痕迹的长是多少厘米?

1.$3.14×(8÷2+1)=15.7$(cm)

【分析】
要解决这个问题，需先明确铅笔留下的痕迹是一段半圆弧形，关键是确定该圆弧的半径：量角器的直径为8cm，先算出其半径；圆形硬纸板绕量角器圆弧滚动时，硬纸板圆心到量角器圆心的距离是量角器半径加硬纸板半径，而量角器的圆弧为半圆，因此铅笔的轨迹是对应半径的半圆，最后根据半圆的弧长公式计算即可。
【解析】
1. 计算量角器的半径：量角器直径是8cm，所以半径为 $8÷2 = 4\ \mathrm{cm}$。
2. 确定铅笔轨迹的半径：圆形硬纸板半径为1cm，滚动时轨迹半径为量角器半径与硬纸板半径之和，即 $4 + 1 = 5\ \mathrm{cm}$。
3. 计算痕迹长度：量角器的圆弧是半圆，半圆的弧长为整圆周长的一半，公式为 $\frac{1}{2}×2π r=π r$，代入半径5cm得：$3.14×5 = 15.7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
15.7cm
【知识点】
圆的弧长计算；圆的半径应用
【点评】
本题结合实际场景考查圆的弧长计算，核心是理解滚动时轨迹半径的构成，需要学生将几何知识与实际问题结合，难度中等。
【难度系数】
0.5

2.如图,点 P 为长方形 ABCD 边上的一个动点,它以每秒 2cm 的速度从点 A 出发,沿着 A—B—C—D 的路线运动,到点 D 停止。当运动到 3 秒至 9 秒时,三角形 APD 的面积保持不变,则长方形 ABCD 的周长是多少厘米?

2.三角形APD面积不变时,点P在BC上运动,BC=2×(9-3)=12(cm),前3秒,点P在AB上运动,AB=2×3=6(cm),长方形ABCD的周长是(12+6)×2=36(cm)。

【分析】首先，三角形APD的面积公式为$ S_{△ APD} = \frac{1}{2} × AD × h $，其中AD是长方形的长，h是点P到AD边的垂直距离。当点P在BC边上运动时，点P到AD的距离等于长方形的宽AB，此时三角形APD的面积保持不变。题目中运动3秒至9秒时面积不变，说明这段时间P在BC上，据此可计算BC的长度；前3秒P在AB上，可计算AB的长度，最后用长方形周长公式求出周长。
【解析】
1. 确定点P的运动阶段：
0~3秒：点P在AB边上运动，三角形APD的高随P移动变化，面积改变；
3~9秒：点P在BC边上运动，点P到AD的距离等于AB的长度，三角形APD面积保持不变，符合题意；
9秒后：点P在CD边上运动，面积再次改变。
2. 计算AB的长度：前3秒P在AB上，速度为2cm/s，故$ AB = 2 × 3 = 6 \, \mathrm{cm} $；
3. 计算BC的长度：3~9秒共运动$ 9 - 3 = 6 \, \mathrm{秒} $，P在BC上，故$ BC = 2 × 6 = 12 \, \mathrm{cm} $；
4. 计算长方形周长：长方形周长公式为$ C = 2 × (长 + 宽) $，代入得$ C = 2 × (12 + 6) = 36 \, \mathrm{cm} $。
【答案】36厘米
【知识点】长方形周长、动点问题、三角形面积
【点评】本题结合动点运动与三角形面积不变的条件，考查长方形周长计算，关键是根据面积不变确定点P的运动阶段，进而求出长和宽，属于中等难度的几何动点问题。
【难度系数】0.5