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3.如下图所示,已知直角三角形ABC,其中AB:AC=2:1,以AB为轴旋转一周得到立体图形甲,以AC为轴旋转一周得到立体图形乙。小红说:"甲和乙的体积之比是1:2。"小明说:"甲和乙的体积之比是1:4。"谁的观点正确?请说明理由。
答案
3.甲的体积:$π×1²×2×\frac{1}{3}=\frac{2}{3}π$,乙的体积:$π×2²×1×\frac{1}{3}=\frac{4}{3}π$,体积比为$\frac{2}{3}π:\frac{4}{3}π=1:2$,小红的观点正确。
解析
【分析】首先，直角三角形绕直角边旋转一周会形成圆锥，圆锥体积公式为$V=\frac{1}{3}π r^2 h$（$r$为底面半径，$h$为高）。已知$AB:AC=2:1$，设$AC=a$，则$AB=2a$。接下来需分别确定以$AB$为轴旋转的立体图形甲、以$AC$为轴旋转的立体图形乙的底面半径和高，计算两者体积后求比，即可判断观点是否正确。
【解析】设$AC=a$，由$AB:AC=2:1$得$AB=2a$。
1. 计算立体图形甲（以$AB$为轴旋转）的体积：
此时圆锥的高为$AB=2a$，底面半径为$AC=a$，代入圆锥体积公式：
$V_甲=\frac{1}{3}π × a^2 × 2a=\frac{2}{3}π a^3$。
2. 计算立体图形乙（以$AC$为轴旋转）的体积：
此时圆锥的高为$AC=a$，底面半径为$AB=2a$，代入圆锥体积公式：
$V_乙=\frac{1}{3}π × (2a)^2 × a=\frac{4}{3}π a^3$。
3. 求体积比：
$V_甲:V_乙=\frac{2}{3}π a^3:\frac{4}{3}π a^3=1:2$，故小红的观点正确。
【答案】小红的观点正确。
【知识点】圆锥体积计算，图形旋转，比例应用
【点评】本题考查直角三角形旋转形成圆锥的体积计算，关键是明确旋转轴对应的圆锥底面半径和高，需熟练运用圆锥体积公式，难度中等，适合多数学生解答。
【难度系数】0.5
【解析】设$AC=a$，由$AB:AC=2:1$得$AB=2a$。
1. 计算立体图形甲（以$AB$为轴旋转）的体积：
此时圆锥的高为$AB=2a$，底面半径为$AC=a$，代入圆锥体积公式：
$V_甲=\frac{1}{3}π × a^2 × 2a=\frac{2}{3}π a^3$。
2. 计算立体图形乙（以$AC$为轴旋转）的体积：
此时圆锥的高为$AC=a$，底面半径为$AB=2a$，代入圆锥体积公式：
$V_乙=\frac{1}{3}π × (2a)^2 × a=\frac{4}{3}π a^3$。
3. 求体积比：
$V_甲:V_乙=\frac{2}{3}π a^3:\frac{4}{3}π a^3=1:2$，故小红的观点正确。
【答案】小红的观点正确。
【知识点】圆锥体积计算，图形旋转，比例应用
【点评】本题考查直角三角形旋转形成圆锥的体积计算，关键是明确旋转轴对应的圆锥底面半径和高，需熟练运用圆锥体积公式，难度中等，适合多数学生解答。
【难度系数】0.5
4. 如图所示为四个互相啮合的齿轮，各齿轮的齿数分别是16个、12个、10个和6个，当最大的齿轮按顺时针方向转动了2020圈时，最小的齿轮转了多少圈？最小的齿轮上面的箭头所指的汉字是什么？
答案
4.$16×2020÷6=5386\frac{2}{3}$(圈),最大的齿轮顺时针转动,最小的齿轮逆时针转动,$16×2020÷6=5386$(圈)……4(齿),箭头所指的汉字是“思”。
解析
【分析】
要解决该问题，需利用互相啮合齿轮的核心特点：相邻啮合的齿轮转动方向相反，且转动时转过的总齿数相等，即主动轮齿数×转动圈数=从动轮齿数×转动圈数。先通过齿数与转数的关系计算最小齿轮的转动圈数，再结合总齿数的余数判断箭头所指的汉字。
【解析】
1. 计算最小齿轮的转动圈数：
互相啮合的齿轮，转动时总齿数相等。设最小齿轮（齿数6）转动了$ x $圈，已知最大齿轮（齿数16）顺时针转动2020圈，根据总齿数相等可得：
$ 16×2020 = 6x $
解得：$ x = \frac{16×2020}{6} = 5386\frac{2}{3} $（圈）。
2. 判断转动方向：
相邻啮合齿轮方向相反，最大齿轮顺时针转动，经过3次啮合后，最小齿轮转动方向为逆时针。
3. 判断箭头所指汉字：
计算总齿数除以最小齿轮齿数的余数：$ 16×2020 ÷6 = 5386 $（圈）……4（齿），即最小齿轮转完5386圈后，又转过4个齿。结合小齿轮上的汉字排列，转过4个齿后，箭头所指的汉字为“思”。
【答案】
最小的齿轮转了$ 5386\frac{2}{3} $圈，箭头所指的汉字是“思”。
【知识点】
齿轮传动原理，周期问题（余数应用）
【点评】
本题结合齿轮传动的物理特性与数学中的比例、余数知识，考查学生的综合应用能力，需理解啮合齿轮的齿数与转数的关系，同时能利用余数判断位置，是跨学科的基础应用题目。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需利用互相啮合齿轮的核心特点：相邻啮合的齿轮转动方向相反，且转动时转过的总齿数相等，即主动轮齿数×转动圈数=从动轮齿数×转动圈数。先通过齿数与转数的关系计算最小齿轮的转动圈数，再结合总齿数的余数判断箭头所指的汉字。
【解析】
1. 计算最小齿轮的转动圈数：
互相啮合的齿轮，转动时总齿数相等。设最小齿轮（齿数6）转动了$ x $圈，已知最大齿轮（齿数16）顺时针转动2020圈，根据总齿数相等可得：
$ 16×2020 = 6x $
解得：$ x = \frac{16×2020}{6} = 5386\frac{2}{3} $（圈）。
2. 判断转动方向：
相邻啮合齿轮方向相反，最大齿轮顺时针转动，经过3次啮合后，最小齿轮转动方向为逆时针。
3. 判断箭头所指汉字：
计算总齿数除以最小齿轮齿数的余数：$ 16×2020 ÷6 = 5386 $（圈）……4（齿），即最小齿轮转完5386圈后，又转过4个齿。结合小齿轮上的汉字排列，转过4个齿后，箭头所指的汉字为“思”。
【答案】
最小的齿轮转了$ 5386\frac{2}{3} $圈，箭头所指的汉字是“思”。
【知识点】
齿轮传动原理，周期问题（余数应用）
【点评】
本题结合齿轮传动的物理特性与数学中的比例、余数知识，考查学生的综合应用能力，需理解啮合齿轮的齿数与转数的关系，同时能利用余数判断位置，是跨学科的基础应用题目。
【难度系数】
0.5
5.右图长方形 ABCD 被分成了 5 个小三角形,已知 $ AE: DE = 2:1 $,且三角形②的面积是三角形①的 3 倍。请解决如下问题:
(1)三角形 ABE 与三角形 BCE 的面积比是多少?
(2)如果三角形①的面积是 $ 2\mathrm{cm}^2 $,三角形 ABD 的面积是多少?
(1)三角形 ABE 与三角形 BCE 的面积比是多少?
(2)如果三角形①的面积是 $ 2\mathrm{cm}^2 $,三角形 ABD 的面积是多少?
答案
5.(1)三角形ABE和三角形EBD等高,且底AE:DE=2:1,则三角形ABE和三角形EBD的面积比是2:1,三角形ABE的面积是三角形ABD的=$\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$,因为三角形ABD和三角形BCE都是长方形ABCD的一半,面积相等,所以三角形ABE的面积是三角形BCE的$\frac{2}{3}$,即三角形ABE与三角形BCE的面积比是2:3。
(2)三角形②的面积是三角形①的面积的3倍,三角形①的面积是2cm²,则三角形②的面积是2×3=6(cm²),那么BED的面积是①+②=2+6=8(cm²),根据(1)可知,三角形ABE和三角形BED的面积比是2:1,则三角形ABE的面积是8×2=16(cm²),三角形ABD的面积是16+8=24(cm²)。
(2)三角形②的面积是三角形①的面积的3倍,三角形①的面积是2cm²,则三角形②的面积是2×3=6(cm²),那么BED的面积是①+②=2+6=8(cm²),根据(1)可知,三角形ABE和三角形BED的面积比是2:1,则三角形ABE的面积是8×2=16(cm²),三角形ABD的面积是16+8=24(cm²)。
解析
【分析】
要解决这道题，需利用长方形的面积性质：长方形内，以一组对边为底，对边顶点构成的三角形面积为长方形面积的一半，因此△ABD与△BCE面积相等；同时，同高的三角形面积比等于对应底的比，△ABE和△EBD同以B为顶点，底在AD上，面积比等于AE:DE。结合已知△②面积是△①的3倍，逐步推导各三角形面积关系即可求解。
【解析】
(1) 因为△ABE和△EBD同高（顶点为B，底AE、DE在同一直线AD上），根据“同高三角形面积比等于底的比”，已知$AE:DE=2:1$，所以$S_{△ ABE}:S_{△ EBD}=2:1$，即$S_{△ ABE}=\frac{2}{3}S_{△ ABD}$。又因为△ABD和△BCE都是长方形ABCD面积的一半，故$S_{△ ABD}=S_{△ BCE}$，因此$S_{△ ABE}:S_{△ BCE}=2:3$。
(2) 已知△①的面积为$2\mathrm{cm}^2$，△②的面积是△①的3倍，所以$S_{△ ②}=2×3=6(\mathrm{cm}^2)$，则$S_{△ EBD}=S_{△ ①}+S_{△ ②}=2+6=8(\mathrm{cm}^2)$。由(1)中$S_{△ ABE}:S_{△ EBD}=2:1$，得$S_{△ ABE}=8×2=16(\mathrm{cm}^2)$，因此$S_{△ ABD}=S_{△ ABE}+S_{△ EBD}=16+8=24(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $2:3$；(2) $24\mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形面积比、长方形性质
【点评】
本题结合长方形的面积特性与同高三角形的面积规律，核心是明确△ABD与△BCE面积相等，以及同高三角形面积比与底的关系，需理清各三角形间的面积关联，难度适中。
【难度系数】
0.4
要解决这道题，需利用长方形的面积性质：长方形内，以一组对边为底，对边顶点构成的三角形面积为长方形面积的一半，因此△ABD与△BCE面积相等；同时，同高的三角形面积比等于对应底的比，△ABE和△EBD同以B为顶点，底在AD上，面积比等于AE:DE。结合已知△②面积是△①的3倍，逐步推导各三角形面积关系即可求解。
【解析】
(1) 因为△ABE和△EBD同高（顶点为B，底AE、DE在同一直线AD上），根据“同高三角形面积比等于底的比”，已知$AE:DE=2:1$，所以$S_{△ ABE}:S_{△ EBD}=2:1$，即$S_{△ ABE}=\frac{2}{3}S_{△ ABD}$。又因为△ABD和△BCE都是长方形ABCD面积的一半，故$S_{△ ABD}=S_{△ BCE}$，因此$S_{△ ABE}:S_{△ BCE}=2:3$。
(2) 已知△①的面积为$2\mathrm{cm}^2$，△②的面积是△①的3倍，所以$S_{△ ②}=2×3=6(\mathrm{cm}^2)$，则$S_{△ EBD}=S_{△ ①}+S_{△ ②}=2+6=8(\mathrm{cm}^2)$。由(1)中$S_{△ ABE}:S_{△ EBD}=2:1$，得$S_{△ ABE}=8×2=16(\mathrm{cm}^2)$，因此$S_{△ ABD}=S_{△ ABE}+S_{△ EBD}=16+8=24(\mathrm{cm}^2)$。
【答案】
(1) $2:3$；(2) $24\mathrm{cm}^2$
【知识点】
三角形面积比、长方形性质
【点评】
本题结合长方形的面积特性与同高三角形的面积规律，核心是明确△ABD与△BCE面积相等，以及同高三角形面积比与底的关系，需理清各三角形间的面积关联，难度适中。
【难度系数】
0.4
