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14.如图,在边长为1个单位长度的小正方形网格中建立平面直角坐标系.已知三角形ABC的顶点A的坐标为$(-1,4)$,顶点B的坐标为$(-4,3)$,顶点C的坐标为$(-3,1)$.
(1)把三角形ABC向右平移5个单位长度,再向下平移4个单位长度得到三角形$A'B'C'$,请你画出三角形$A'B'C'$;
(2)请直接写出点$A',B',C'$的坐标;
(3)求三角形ABC的面积.
(1)把三角形ABC向右平移5个单位长度,再向下平移4个单位长度得到三角形$A'B'C'$,请你画出三角形$A'B'C'$;
(2)请直接写出点$A',B',C'$的坐标;
(3)求三角形ABC的面积.
答案
14.解:(1)如图所示,三角形$A'B'C'$即为所求.
(2)$A'(4,0),B'(1,-1),C'(2,-3)$.
(3)三角形$ABC$的面积$=3×3-\frac{1}{2}×2×1-\frac{1}{2}×3×1-\frac{1}{2}×3×2=3.5$.
解析
【分析】
(1) 解决平移作图问题，首先依据平移的坐标变化规律：向右平移横坐标加对应单位，向下平移纵坐标减对应单位，先算出△ABC三个顶点平移后的坐标，再在坐标系中依次描出对应点，顺次连接即可得到平移后的△A'B'C'。
(2) 求平移后点的坐标，直接套用平移坐标变化规则：横坐标右移加5，纵坐标下移减4，代入原三点坐标计算即可。
(3) 求网格中三角形的面积，常用割补法：将三角形放在一个能完整包围它的矩形中，用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积，就能得到所求三角形的面积，该方法无需计算斜边长，计算更简便。
【解析】
(1) 先计算平移后各点坐标，再描点：
点A(-1,4)右移5个单位、下移4个单位得A'，点B(-4,3)右移5个单位、下移4个单位得B'，点C(-3,1)右移5个单位、下移4个单位得C'，依次连接A'、B'、C'，得到△A'B'C'。
(2) 计算各平移后点的坐标：
A'横坐标：$-1+5=4$，纵坐标：$4-4=0$，即$A'(4,0)$；
B'横坐标：$-4+5=1$，纵坐标：$3-4=-1$，即$B'(1,-1)$；
C'横坐标：$-3+5=2$，纵坐标：$1-4=-3$，即$C'(2,-3)$。
(3) 用割补法计算△ABC面积：
取包围△ABC的边长为3的正方形，面积为$3×3=9$；
正方形内△ABC外的3个直角三角形面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×3×1=1.5$，$\frac{1}{2}×3×2=3$；
因此△ABC的面积$=9-1-1.5-3=3.5$。
【答案】
(1) 如图所示,三角形$A'B'C'$即为所求.
(2)$A'(4,0),B'(1,-1),C'(2,-3)$
(3)3.5
【知识点】
坐标平移规律，割补法求面积
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的平移操作、平移的坐标变化以及网格中图形面积的计算，核心是掌握平移的坐标变换规则和割补法的应用，属于基础题型，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
(1) 解决平移作图问题，首先依据平移的坐标变化规律：向右平移横坐标加对应单位，向下平移纵坐标减对应单位，先算出△ABC三个顶点平移后的坐标，再在坐标系中依次描出对应点，顺次连接即可得到平移后的△A'B'C'。
(2) 求平移后点的坐标，直接套用平移坐标变化规则：横坐标右移加5，纵坐标下移减4，代入原三点坐标计算即可。
(3) 求网格中三角形的面积，常用割补法：将三角形放在一个能完整包围它的矩形中，用矩形的面积减去周围三个直角三角形的面积，就能得到所求三角形的面积，该方法无需计算斜边长，计算更简便。
【解析】
(1) 先计算平移后各点坐标，再描点：
点A(-1,4)右移5个单位、下移4个单位得A'，点B(-4,3)右移5个单位、下移4个单位得B'，点C(-3,1)右移5个单位、下移4个单位得C'，依次连接A'、B'、C'，得到△A'B'C'。
(2) 计算各平移后点的坐标：
A'横坐标：$-1+5=4$，纵坐标：$4-4=0$，即$A'(4,0)$；
B'横坐标：$-4+5=1$，纵坐标：$3-4=-1$，即$B'(1,-1)$；
C'横坐标：$-3+5=2$，纵坐标：$1-4=-3$，即$C'(2,-3)$。
(3) 用割补法计算△ABC面积：
取包围△ABC的边长为3的正方形，面积为$3×3=9$；
正方形内△ABC外的3个直角三角形面积分别为：
$\frac{1}{2}×2×1=1$，$\frac{1}{2}×3×1=1.5$，$\frac{1}{2}×3×2=3$；
因此△ABC的面积$=9-1-1.5-3=3.5$。
【答案】
(1) 如图所示,三角形$A'B'C'$即为所求.
(2)$A'(4,0),B'(1,-1),C'(2,-3)$
(3)3.5
【知识点】
坐标平移规律，割补法求面积
【点评】
本题考查平面直角坐标系中的平移操作、平移的坐标变化以及网格中图形面积的计算，核心是掌握平移的坐标变换规则和割补法的应用，属于基础题型，计算时细心即可得分。
【难度系数】
0.8
15.在平面直角坐标系中,点A(1,2),B(-3,b),当线段AB最短时,AB的长为 (
A.2
B.3
C.4
D.5
C
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
15.C
解析
【分析】
首先观察点B的坐标特征：横坐标固定为-3，纵坐标b可取任意实数，因此点B始终在垂直于x轴的直线x=-3上移动。根据“直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短”的性质，当线段AB与直线x=-3垂直时，AB的长度最短。由于直线x=-3是竖直线，垂直于它的线段AB为水平线，即此时A、B两点纵坐标相等，只需计算两点横坐标的差的绝对值即可得到最短的AB长度。
【解析】
1. 确定点B的运动轨迹：
∵点B的坐标为(-3,b)，横坐标恒为-3，
∴点B在过点(-3,0)且垂直于x轴的直线x=-3上运动。
2. 找AB最短的位置：
根据垂线段最短的性质，过点A(1,2)作直线x=-3的垂线，垂足就是使AB最短的点B，此时AB为水平线段，A、B纵坐标相等，即b=2。
3. 计算最短AB的长度：
水平线段的长度等于两点横坐标差的绝对值，
∴AB的长度=|1 - (-3)|=|1+3|=4。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短；平面直角坐标系点的特征；两点间距离计算
【点评】
本题将坐标性质与几何最短路径相结合，解题的核心是先判断出动点的运动轨迹，再利用垂线段最短的性质确定最短距离对应的位置，最后结合坐标特点计算长度，侧重考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
首先观察点B的坐标特征：横坐标固定为-3，纵坐标b可取任意实数，因此点B始终在垂直于x轴的直线x=-3上移动。根据“直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短”的性质，当线段AB与直线x=-3垂直时，AB的长度最短。由于直线x=-3是竖直线，垂直于它的线段AB为水平线，即此时A、B两点纵坐标相等，只需计算两点横坐标的差的绝对值即可得到最短的AB长度。
【解析】
1. 确定点B的运动轨迹：
∵点B的坐标为(-3,b)，横坐标恒为-3，
∴点B在过点(-3,0)且垂直于x轴的直线x=-3上运动。
2. 找AB最短的位置：
根据垂线段最短的性质，过点A(1,2)作直线x=-3的垂线，垂足就是使AB最短的点B，此时AB为水平线段，A、B纵坐标相等，即b=2。
3. 计算最短AB的长度：
水平线段的长度等于两点横坐标差的绝对值，
∴AB的长度=|1 - (-3)|=|1+3|=4。
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
垂线段最短；平面直角坐标系点的特征；两点间距离计算
【点评】
本题将坐标性质与几何最短路径相结合，解题的核心是先判断出动点的运动轨迹，再利用垂线段最短的性质确定最短距离对应的位置，最后结合坐标特点计算长度，侧重考查数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
16.在平面直角坐标系中有若干个点,按如图所示顺序依次排列为
$A_1(0,0),A_2(0,1),A_3(1,1),A_4(2,2),A_5(2,3),A_6(3,3),$
$A_7(4,4),···$,按此规律排列下去,则$A_{2025}$的坐标为 (
A.(1 348,1 348)
B.(1 348,1 349)
C.(1 349,1 349)
D.(1 349,1 350)
$A_1(0,0),A_2(0,1),A_3(1,1),A_4(2,2),A_5(2,3),A_6(3,3),$
$A_7(4,4),···$,按此规律排列下去,则$A_{2025}$的坐标为 (
C
)A.(1 348,1 348)
B.(1 348,1 349)
C.(1 349,1 349)
D.(1 349,1 350)
答案
16.C
解析
【分析】
解决本题的核心是先观察已知点的下标与坐标的对应关系，按每3个点为一组划分，总结每组点的坐标规律，再确定2025所属的分组，代入规律即可求出对应坐标。首先观察给出的点：A₁、A₄、A₇下标相差3，坐标横纵坐标相等且数值依次为0、2、4；A₂、A₅、A₈下标相差3，坐标横坐标为偶数，纵坐标比横坐标大1；A₃、A₆、A₉下标相差3，坐标横纵坐标相等且数值依次为1、3、5，据此总结规律即可。
【解析】
观察已知点的坐标，可按每3个点为一组总结规律（k为非负整数）：
1. 当下标为$3k+1$时，对应点坐标为$(2k, 2k)$，如$A_1(0,0)$（$k=0$）、$A_4(2,2)$（$k=1$）、$A_7(4,4)$（$k=2$）；
2. 当下标为$3k+2$时，对应点坐标为$(2k, 2k+1)$，如$A_2(0,1)$（$k=0$）、$A_5(2,3)$（$k=1$）；
3. 当下标为$3k+3$时，对应点坐标为$(2k+1, 2k+1)$，如$A_3(1,1)$（$k=0$）、$A_6(3,3)$（$k=1$）、$A_9(5,5)$（$k=2$）。
接下来判断$A_{2025}$所属分组：
$2025÷3=675$，即$2025=3×674+3$，属于下标为$3k+3$的情况，其中$k=674$。
代入对应规律计算坐标：
横坐标：$2×674+1=1349$，纵坐标：$2×674+1=1349$，即$A_{2025}$的坐标为$(1349,1349)$。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系、规律探究
【点评】
本题是典型的点坐标规律探究题，需要学生通过观察已知点的坐标特征归纳通用规律，侧重考察观察能力和归纳推理能力，解题时注意分组规律的验证，避免出现下标与k值对应错误的问题。
【难度系数】
0.6
解决本题的核心是先观察已知点的下标与坐标的对应关系，按每3个点为一组划分，总结每组点的坐标规律，再确定2025所属的分组，代入规律即可求出对应坐标。首先观察给出的点：A₁、A₄、A₇下标相差3，坐标横纵坐标相等且数值依次为0、2、4；A₂、A₅、A₈下标相差3，坐标横坐标为偶数，纵坐标比横坐标大1；A₃、A₆、A₉下标相差3，坐标横纵坐标相等且数值依次为1、3、5，据此总结规律即可。
【解析】
观察已知点的坐标，可按每3个点为一组总结规律（k为非负整数）：
1. 当下标为$3k+1$时，对应点坐标为$(2k, 2k)$，如$A_1(0,0)$（$k=0$）、$A_4(2,2)$（$k=1$）、$A_7(4,4)$（$k=2$）；
2. 当下标为$3k+2$时，对应点坐标为$(2k, 2k+1)$，如$A_2(0,1)$（$k=0$）、$A_5(2,3)$（$k=1$）；
3. 当下标为$3k+3$时，对应点坐标为$(2k+1, 2k+1)$，如$A_3(1,1)$（$k=0$）、$A_6(3,3)$（$k=1$）、$A_9(5,5)$（$k=2$）。
接下来判断$A_{2025}$所属分组：
$2025÷3=675$，即$2025=3×674+3$，属于下标为$3k+3$的情况，其中$k=674$。
代入对应规律计算坐标：
横坐标：$2×674+1=1349$，纵坐标：$2×674+1=1349$，即$A_{2025}$的坐标为$(1349,1349)$。
【答案】
C
【知识点】
平面直角坐标系、规律探究
【点评】
本题是典型的点坐标规律探究题，需要学生通过观察已知点的坐标特征归纳通用规律，侧重考察观察能力和归纳推理能力，解题时注意分组规律的验证，避免出现下标与k值对应错误的问题。
【难度系数】
0.6
