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1. 小敏将一块平行四边形玻璃打碎成如图17-6所示的四块，为了能在商店配到一块与原来形状、大小均相同的平行四边形玻璃，他带了两块碎玻璃，其编号应该是（
A.①②
B.①④
C.③④
D.②③
D
）A.①②
B.①④
C.③④
D.②③
答案
1.D
解析
【分析】
要配到和原来形状、大小完全相同的平行四边形玻璃，本质是要还原原平行四边形的四个顶点和两组对边。我们需要结合平行四边形对边平行的性质，判断哪两块碎玻璃可以确定原平行四边形两组对边的走向，进而还原完整图形：首先，仅带单独的①或④时，二者仅保留原平行四边形一小段邻边，断裂的弧线无法提供对边的方向信息；若带的两块碎玻璃能同时包含原平行四边形两组对边的部分线段，且有公共的断裂交点，就可以通过延长边得到原平行四边形的四个顶点。
【解析】
根据平行四边形两组对边分别平行的性质：
1. 编号①仅保留原平行四边形左侧、下侧边的小段，编号④仅保留原平行四边形右侧、上侧边的小段，二者均无法单独提供完整的对边方向信息，排除包含①或④单独组合的A、B、C选项。
2. 编号②保留了原平行四边形上侧边、左侧边的部分线段，编号③保留了原平行四边形下侧边、右侧边的部分线段，且二者的断裂边有两个公共交点，这两个交点分别在原平行四边形的左、右对边上。将②的上侧边、③的下侧边分别向两端延长，将②的左侧边、③的右侧边分别向两端延长，四条延长线的四个交点就是原平行四边形的四个顶点，可完全还原原平行四边形的形状和大小。
综上，应该带编号②和③的碎玻璃。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题结合生活场景考查平行四边形性质的实际应用，解题的核心是理解还原平行四边形需要确定两组对边的方向，需要所选碎玻璃包含足够多的原平行四边形的边的信息来确定对边走向。
【难度系数】
0.7
要配到和原来形状、大小完全相同的平行四边形玻璃，本质是要还原原平行四边形的四个顶点和两组对边。我们需要结合平行四边形对边平行的性质，判断哪两块碎玻璃可以确定原平行四边形两组对边的走向，进而还原完整图形：首先，仅带单独的①或④时，二者仅保留原平行四边形一小段邻边，断裂的弧线无法提供对边的方向信息；若带的两块碎玻璃能同时包含原平行四边形两组对边的部分线段，且有公共的断裂交点，就可以通过延长边得到原平行四边形的四个顶点。
【解析】
根据平行四边形两组对边分别平行的性质：
1. 编号①仅保留原平行四边形左侧、下侧边的小段，编号④仅保留原平行四边形右侧、上侧边的小段，二者均无法单独提供完整的对边方向信息，排除包含①或④单独组合的A、B、C选项。
2. 编号②保留了原平行四边形上侧边、左侧边的部分线段，编号③保留了原平行四边形下侧边、右侧边的部分线段，且二者的断裂边有两个公共交点，这两个交点分别在原平行四边形的左、右对边上。将②的上侧边、③的下侧边分别向两端延长，将②的左侧边、③的右侧边分别向两端延长，四条延长线的四个交点就是原平行四边形的四个顶点，可完全还原原平行四边形的形状和大小。
综上，应该带编号②和③的碎玻璃。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；平行四边形的判定
【点评】
本题结合生活场景考查平行四边形性质的实际应用，解题的核心是理解还原平行四边形需要确定两组对边的方向，需要所选碎玻璃包含足够多的原平行四边形的边的信息来确定对边走向。
【难度系数】
0.7
2. 已知△ABC(如图17-7①),按图17-7②③所示的尺规作图痕迹,不需借助三角形全等就能推出四边形ABCD是平行四边形的依据是 (
A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B
)A.两组对边分别平行的四边形是平行四边形
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
D.两组对边分别相等的四边形是平行四边形
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先识别尺规作图的操作含义：第一步图②是作线段AC的垂直平分线，能得到AC的中点O，即OA=OC；第二步图③的作图是延长BO至D，使得OD=OB，由此可得四边形ABCD的两条对角线互相平分。再结合题目要求“不需借助三角形全等”推导，对比平行四边形的四个判定选项：A、C、D选项的判定都需要先通过三角形全等得到对边的平行或相等关系，只有B选项的判定可直接由作图得到的对角线互相平分推出，因此选B。
【解析】
观察尺规作图痕迹：
1. 图②是作线段AC的垂直平分线，可得AC的中点O，因此$OA=OC$；
2. 图③是延长BO到点D，使$OD=OB$，因此$OB=OD$。
由此可知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可直接判定四边形ABCD是平行四边形，该推导过程不需要借助三角形全等，符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
尺规作图（垂直平分线）；平行四边形的判定
【点评】
本题将尺规作图与平行四边形的判定相结合，重点考查对作图痕迹的识别能力和对平行四边形判定定理的理解，解题关键是准确判断作图得到的对角线的位置和数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时首先识别尺规作图的操作含义：第一步图②是作线段AC的垂直平分线，能得到AC的中点O，即OA=OC；第二步图③的作图是延长BO至D，使得OD=OB，由此可得四边形ABCD的两条对角线互相平分。再结合题目要求“不需借助三角形全等”推导，对比平行四边形的四个判定选项：A、C、D选项的判定都需要先通过三角形全等得到对边的平行或相等关系，只有B选项的判定可直接由作图得到的对角线互相平分推出，因此选B。
【解析】
观察尺规作图痕迹：
1. 图②是作线段AC的垂直平分线，可得AC的中点O，因此$OA=OC$；
2. 图③是延长BO到点D，使$OD=OB$，因此$OB=OD$。
由此可知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且互相平分，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，可直接判定四边形ABCD是平行四边形，该推导过程不需要借助三角形全等，符合题意。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
尺规作图（垂直平分线）；平行四边形的判定
【点评】
本题将尺规作图与平行四边形的判定相结合，重点考查对作图痕迹的识别能力和对平行四边形判定定理的理解，解题关键是准确判断作图得到的对角线的位置和数量关系。
【难度系数】
0.7
3. 在四边形ABCD中,有下列四个条件:①AB//CD,②AD//BC,③AB=CD,④AD=BC. 在这四个条件中任选两个作为已知条件,能判定四边形ABCD是平行四边形的是
①②或①③或②④或③④
(只填序号,至少写两组).答案
3.①②或①③或②④或③④
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的判定定理，再逐一验证不同条件组合是否符合判定规则即可：平行四边形的常见判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。我们将四个条件两两组合，对照上述判定规则筛选符合要求的组合即可。
【解析】
我们对四个条件的两两组合逐一验证：
1. 选择条件①②：$AB// CD$且$AD// BC$，即两组对边分别平行，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
2. 选择条件①③：$AB// CD$且$AB=CD$，即一组对边平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
3. 选择条件②④：$AD// BC$且$AD=BC$，即一组对边平行且相等，同理可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
4. 选择条件③④：$AB=CD$且$AD=BC$，即两组对边分别相等，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
其余组合（①④、②③）可能得到等腰梯形，无法判定为平行四边形，因此上述四类组合均符合要求。
【答案】
①②或①③或②④或③④
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题考查平行四边形判定定理的应用，需要学生熟练掌握平行四边形的各类判定条件，同时注意区分平行四边形和特殊梯形的边的特征，避免误判不符合要求的条件组合。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆平行四边形的判定定理，再逐一验证不同条件组合是否符合判定规则即可：平行四边形的常见判定方法有：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。我们将四个条件两两组合，对照上述判定规则筛选符合要求的组合即可。
【解析】
我们对四个条件的两两组合逐一验证：
1. 选择条件①②：$AB// CD$且$AD// BC$，即两组对边分别平行，根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
2. 选择条件①③：$AB// CD$且$AB=CD$，即一组对边平行且相等，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
3. 选择条件②④：$AD// BC$且$AD=BC$，即一组对边平行且相等，同理可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
4. 选择条件③④：$AB=CD$且$AD=BC$，即两组对边分别相等，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可判定四边形$ABCD$是平行四边形；
其余组合（①④、②③）可能得到等腰梯形，无法判定为平行四边形，因此上述四类组合均符合要求。
【答案】
①②或①③或②④或③④
【知识点】
平行四边形的判定
【点评】
本题考查平行四边形判定定理的应用，需要学生熟练掌握平行四边形的各类判定条件，同时注意区分平行四边形和特殊梯形的边的特征，避免误判不符合要求的条件组合。
【难度系数】
0.8
4. 如图17-8,在△ABC中,过点C作CD//AB,E是AC的中点,连接DE并延长,交AB于点F,交CB的延长线于点G.连接AD,CF.求证:四边形AFCD是平行四边形.
图17-8
图17-8
答案
4.
∵ CD//AB,
∴ ∠AFE = ∠CDE.
∵ E 为 AC 的中点,
∴ AE = CE. 在 $△ AFE$ 与 $△ CDE$ 中,
$\begin{cases} ∠ AFE=∠ CDE,\\ ∠ AEF=∠ CED,\\ AE=CE, \end{cases}$
∴ $△ AFE ≌ △ CDE(\mathrm{AAS}).$
∴ EF=ED.
∴ 四边形 AFCD 是平行四边形.
∵ CD//AB,
∴ ∠AFE = ∠CDE.
∵ E 为 AC 的中点,
∴ AE = CE. 在 $△ AFE$ 与 $△ CDE$ 中,
$\begin{cases} ∠ AFE=∠ CDE,\\ ∠ AEF=∠ CED,\\ AE=CE, \end{cases}$
∴ $△ AFE ≌ △ CDE(\mathrm{AAS}).$
∴ EF=ED.
∴ 四边形 AFCD 是平行四边形.
解析
【分析】
要证明四边形AFCD是平行四边形，已知CD//AB，可结合平行四边形的判定定理选择合适的证明思路。已知E是AC中点，若能证明E也是DF的中点，即可用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”完成证明。观察可得EF、ED分别在△AFE和△CDE中，由CD//AB可得内错角相等，结合对顶角相等、AE=CE的条件，可证两三角形全等，得到EF=ED，进而推出结论。
【解析】
首先根据平行线的性质，由CD//AB可得内错角∠AFE = ∠CDE；再结合E是AC中点的条件，得到AE=CE，加上对顶角∠AEF=∠CED，可通过AAS判定△AFE≌△CDE；由全等的性质得到EF=ED，此时四边形AFCD的对角线AC和DF互相平分，根据平行四边形的判定定理即可得证。
【答案】
∵ CD//AB,
∴ ∠AFE = ∠CDE.
∵ E 为 AC 的中点,
∴ AE = CE. 在 $△ AFE$ 与 $△ CDE$ 中,
$\begin{cases} ∠ AFE=∠ CDE,\\ ∠ AEF=∠ CED,\\ AE=CE, \end{cases}$
∴ $△ AFE ≌ △ CDE(\mathrm{AAS}).$
∴ EF=ED.
∴ 四边形 AFCD 是平行四边形.
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形判定的基础题型，解题的核心是结合已知条件灵活选择判定方法，通过证明三角形全等得到边相等的关系，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
要证明四边形AFCD是平行四边形，已知CD//AB，可结合平行四边形的判定定理选择合适的证明思路。已知E是AC中点，若能证明E也是DF的中点，即可用“对角线互相平分的四边形是平行四边形”完成证明。观察可得EF、ED分别在△AFE和△CDE中，由CD//AB可得内错角相等，结合对顶角相等、AE=CE的条件，可证两三角形全等，得到EF=ED，进而推出结论。
【解析】
首先根据平行线的性质，由CD//AB可得内错角∠AFE = ∠CDE；再结合E是AC中点的条件，得到AE=CE，加上对顶角∠AEF=∠CED，可通过AAS判定△AFE≌△CDE；由全等的性质得到EF=ED，此时四边形AFCD的对角线AC和DF互相平分，根据平行四边形的判定定理即可得证。
【答案】
∵ CD//AB,
∴ ∠AFE = ∠CDE.
∵ E 为 AC 的中点,
∴ AE = CE. 在 $△ AFE$ 与 $△ CDE$ 中,
$\begin{cases} ∠ AFE=∠ CDE,\\ ∠ AEF=∠ CED,\\ AE=CE, \end{cases}$
∴ $△ AFE ≌ △ CDE(\mathrm{AAS}).$
∴ EF=ED.
∴ 四边形 AFCD 是平行四边形.
【知识点】
平行线的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形判定的基础题型，解题的核心是结合已知条件灵活选择判定方法，通过证明三角形全等得到边相等的关系，能够有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.8
