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三、平行四边形性质和判定的综合应用
1. 如图
，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB边向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于
1. 如图
，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB边向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四边形ABED的面积等于8
。答案
1.8
解析
【分析】
解题时先利用平移的性质分析四边形ABED的形状：图形平移后，对应点的连线平行且相等，对应线段也平行且相等，可推出ABED是平行四边形；再根据平行四边形面积公式计算面积，平行四边形的底为平移距离，高为Rt△ABC的直角边AC的长度，代入数值即可求出结果。
【解析】
∵ △ABC沿CB边向右平移得到△DEF，平移距离为2
∴ AD//BE，AD=BE=2，且AB//DE，AB=DE
∴ 四边形ABED是平行四边形
又
∵ ∠C=90°，即AC⊥CE，AC=4
∴ 平行四边形ABED的高为AC的长度4，底BE=2
∴ 四边形ABED的面积 = 底×高 = 2×4 = 8
【答案】
8
【知识点】
平移的性质；平行四边形的判定；平行四边形面积计算
【点评】
本题是平移性质与平行四边形相关知识的综合应用，解题的核心是通过平移的特征快速判断所求四边形的形状，再准确找到平行四边形对应的底和高即可完成计算，属于基础类的综合题。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平移的性质分析四边形ABED的形状：图形平移后，对应点的连线平行且相等，对应线段也平行且相等，可推出ABED是平行四边形；再根据平行四边形面积公式计算面积，平行四边形的底为平移距离，高为Rt△ABC的直角边AC的长度，代入数值即可求出结果。
【解析】
∵ △ABC沿CB边向右平移得到△DEF，平移距离为2
∴ AD//BE，AD=BE=2，且AB//DE，AB=DE
∴ 四边形ABED是平行四边形
又
∵ ∠C=90°，即AC⊥CE，AC=4
∴ 平行四边形ABED的高为AC的长度4，底BE=2
∴ 四边形ABED的面积 = 底×高 = 2×4 = 8
【答案】
8
【知识点】
平移的性质；平行四边形的判定；平行四边形面积计算
【点评】
本题是平移性质与平行四边形相关知识的综合应用，解题的核心是通过平移的特征快速判断所求四边形的形状，再准确找到平行四边形对应的底和高即可完成计算，属于基础类的综合题。
【难度系数】
0.8
2. 如图17-10，E是$□ ABCD$的边CD的中点，AE与BC的延长线交于点F，$CF=3$，$CE=2$，求$□ ABCD$的周长。
图17-10
图17-10
答案
2.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD// BC.
∴ ∠DAE = ∠F,∠D = ∠ECF.又
∵ E 是边 CD 的中点,
∴ DE = CE.
∴ $△ ADE≌△ FCE(\mathrm{AAS}).$
∴ AD = CF = 3, DE = CE = 2.
∴ CD=4.
∴ ▱ABCD 的周长为 2(AD+CD)=14.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD// BC.
∴ ∠DAE = ∠F,∠D = ∠ECF.又
∵ E 是边 CD 的中点,
∴ DE = CE.
∴ $△ ADE≌△ FCE(\mathrm{AAS}).$
∴ AD = CF = 3, DE = CE = 2.
∴ CD=4.
∴ ▱ABCD 的周长为 2(AD+CD)=14.
解析
【分析】
要计算平行四边形ABCD的周长，需先求出它的一组邻边AD、CD的长度。首先利用平行四边形对边平行的性质，可得到两组内错角相等；再结合E是CD中点的条件，即可证明△ADE和△FCE全等，通过全等三角形对应边相等的性质求出AD、CD的长度，最后代入平行四边形周长公式计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DAE = ∠F，∠D = ∠ECF。
又
∵ E是边CD的中点，
∴ DE = CE。
在$△ ADE$和$△ FCE$中：
$\begin{cases}∠DAE=∠F \\∠D=∠ECF \\DE=CE\end{cases}$
∴ $△ ADE≌△ FCE(\mathrm{AAS})$，
∴ AD = CF = 3，DE = CE = 2，
∴ CD = DE + CE = 4。
∴ $□ ABCD$的周长为$2×(AD+CD)=2×(3+4)=14$。
【答案】
14
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形周长计算
【点评】
本题属于平行四边形和全等三角形的综合基础题，解题核心是结合平行线的性质、中点条件证明三角形全等，进而得到平行四边形的邻边长度，再计算周长。
【难度系数】
0.8
要计算平行四边形ABCD的周长，需先求出它的一组邻边AD、CD的长度。首先利用平行四边形对边平行的性质，可得到两组内错角相等；再结合E是CD中点的条件，即可证明△ADE和△FCE全等，通过全等三角形对应边相等的性质求出AD、CD的长度，最后代入平行四边形周长公式计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DAE = ∠F，∠D = ∠ECF。
又
∵ E是边CD的中点，
∴ DE = CE。
在$△ ADE$和$△ FCE$中：
$\begin{cases}∠DAE=∠F \\∠D=∠ECF \\DE=CE\end{cases}$
∴ $△ ADE≌△ FCE(\mathrm{AAS})$，
∴ AD = CF = 3，DE = CE = 2，
∴ CD = DE + CE = 4。
∴ $□ ABCD$的周长为$2×(AD+CD)=2×(3+4)=14$。
【答案】
14
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形周长计算
【点评】
本题属于平行四边形和全等三角形的综合基础题，解题核心是结合平行线的性质、中点条件证明三角形全等，进而得到平行四边形的邻边长度，再计算周长。
【难度系数】
0.8
3. 如图17-11，将$□ ABCD$沿CE折叠，使点D落在BC边上的点F处，点E在AD上.
(1)求证:四边形ABFE为平行四边形；
(2)若$AB=4,BC=6$，求四边形ABFE的周长.
图17-11
(1)求证:四边形ABFE为平行四边形；
(2)若$AB=4,BC=6$，求四边形ABFE的周长.
图17-11
答案
3.(1)由折叠可知,EF=ED,∠CFE=∠CDE.
∵ 在 ▱ABCD 中, AD // BC, ∠B = ∠D,
∴ AE//BF,∠B = ∠CFE.
∴ AB//EF.
∴ 四边形 ABFE 为平行四边形.
(2)由四边形 ABFE 为平行四边形,得 EF=AB=4.
∵ EF=ED,
∴ ED=4.
∴ AE=BF=6-4=2.
∴ 四边形 ABFE 的周长为 AB+BF+FE+AE=12.
∵ 在 ▱ABCD 中, AD // BC, ∠B = ∠D,
∴ AE//BF,∠B = ∠CFE.
∴ AB//EF.
∴ 四边形 ABFE 为平行四边形.
(2)由四边形 ABFE 为平行四边形,得 EF=AB=4.
∵ EF=ED,
∴ ED=4.
∴ AE=BF=6-4=2.
∴ 四边形 ABFE 的周长为 AB+BF+FE+AE=12.
解析
【分析】
(1)要证明四边形ABFE为平行四边形，可通过“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定。首先由平行四边形ABCD的性质可得AD//BC，即AE//BF；再结合折叠的性质和平行四边形对角相等的性质，推出∠B=∠CFE，即可证得AB//EF，进而得证。
(2)求四边形ABFE的周长时，先根据平行四边形对边相等得到EF=AB，再结合折叠的性质得ED=EF，即可求出AE的长度，最后代入周长公式计算即可。
【解析】
(1)证明：由折叠的性质可知，$EF=ED$，$∠ CFE=∠ CDE$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$∠ B=∠ D$，
∴ $AE// BF$，$∠ B=∠ CFE$，
∴ $AB// EF$，
又
∵ $AE// BF$，
∴ 四边形$ABFE$为平行四边形。
(2)解：
∵ 四边形$ABFE$是平行四边形，$AB=4$，
∴ $EF=AB=4$，$AE=BF$。
由折叠的性质得$EF=ED$，
∴ $ED=4$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，$BC=6$，
∴ $AD=BC=6$，
∴ $AE=AD-ED=6-4=2$，即$BF=2$。
∴ 四边形$ABFE$的周长为$AB+BF+FE+AE=4+2+4+2=12$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$12$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；折叠的性质
【点评】
本题将平行四边形的性质、判定和折叠变换结合考查，解题关键是熟练掌握折叠前后对应边、对应角相等，灵活运用平行四边形的相关定理，是几何基础类综合题。
【难度系数】
0.7
(1)要证明四边形ABFE为平行四边形，可通过“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”判定。首先由平行四边形ABCD的性质可得AD//BC，即AE//BF；再结合折叠的性质和平行四边形对角相等的性质，推出∠B=∠CFE，即可证得AB//EF，进而得证。
(2)求四边形ABFE的周长时，先根据平行四边形对边相等得到EF=AB，再结合折叠的性质得ED=EF，即可求出AE的长度，最后代入周长公式计算即可。
【解析】
(1)证明：由折叠的性质可知，$EF=ED$，$∠ CFE=∠ CDE$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$∠ B=∠ D$，
∴ $AE// BF$，$∠ B=∠ CFE$，
∴ $AB// EF$，
又
∵ $AE// BF$，
∴ 四边形$ABFE$为平行四边形。
(2)解：
∵ 四边形$ABFE$是平行四边形，$AB=4$，
∴ $EF=AB=4$，$AE=BF$。
由折叠的性质得$EF=ED$，
∴ $ED=4$。
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，$BC=6$，
∴ $AD=BC=6$，
∴ $AE=AD-ED=6-4=2$，即$BF=2$。
∴ 四边形$ABFE$的周长为$AB+BF+FE+AE=4+2+4+2=12$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$12$
【知识点】
平行四边形的判定与性质；折叠的性质
【点评】
本题将平行四边形的性质、判定和折叠变换结合考查，解题关键是熟练掌握折叠前后对应边、对应角相等，灵活运用平行四边形的相关定理，是几何基础类综合题。
【难度系数】
0.7
