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4. 如图17-12，A,B,C为平行四边形的三个顶点，且A,B,C三个顶点的坐标分别为(3,3),(6,4),(4,6).
图17-12
(1)请直接写出平行四边形的第四个顶点的坐标；
(2)求平行四边形的面积.
图17-12
(1)请直接写出平行四边形的第四个顶点的坐标；
(2)求平行四边形的面积.
答案
4.(1)(1,5),(5,1),(7,7). (2)△ABC 的面积=9-2-1.5-1.5=4,
∴ 平行四边形的面积=2×4=8.
∴ 平行四边形的面积=2×4=8.
解析
【分析】
(1) 已知平行四边形的三个顶点，求第四个顶点需分三种情况讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质，利用中点坐标相等即可求出对应的第四个顶点坐标，注意不要漏解。
(2) 求平行四边形面积时，先求△ABC的面积：采用网格中常用的割补法，将△ABC放入合适的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积得到△ABC的面积；再根据平行四边形对角线将其分为两个全等的三角形，面积为△ABC面积的2倍，即可求出平行四边形的面积。
【解析】
(1) 设第四个顶点坐标为$D(x,y)$，分三种情况：
① 若AB为平行四边形的对角线，则AB与CD的中点重合：
AB中点坐标为$(\frac{3+6}{2},\frac{3+4}{2})=(4.5,3.5)$，因此$\frac{4+x}{2}=4.5$，$\frac{6+y}{2}=3.5$，解得$x=5,y=1$，即$D(5,1)$；
② 若AC为平行四边形的对角线，则AC与BD的中点重合：
AC中点坐标为$(\frac{3+4}{2},\frac{3+6}{2})=(3.5,4.5)$，因此$\frac{6+x}{2}=3.5$，$\frac{4+y}{2}=4.5$，解得$x=1,y=5$，即$D(1,5)$；
③ 若BC为平行四边形的对角线，则BC与AD的中点重合：
BC中点坐标为$(\frac{6+4}{2},\frac{4+6}{2})=(5,5)$，因此$\frac{3+x}{2}=5$，$\frac{3+y}{2}=5$，解得$x=7,y=7$，即$D(7,7)$。
综上，第四个顶点的坐标为$(1,5),(5,1),(7,7)$。
(2) 用割补法求$△ ABC$的面积：
将$△ ABC$放入横向从$x=3$到$x=6$，纵向从$y=3$到$y=6$的矩形中，矩形面积为$(6-3)×(6-3)=9$。
减去周围三个直角三角形的面积：
第一个三角形：$\frac{1}{2}×3×1=1.5$；
第二个三角形：$\frac{1}{2}×2×2=2$；
第三个三角形：$\frac{1}{2}×1×3=1.5$。
因此$S_{△ ABC}=9-1.5-2-1.5=4$。
平行四边形的面积为$2S_{△ ABC}=2×4=8$。
【答案】
(1) $(1,5),(5,1),(7,7)$；(2) $8$
【知识点】
平行四边形的性质，中点坐标公式，割补法求面积
【点评】
本题考查平面直角坐标系中平行四边形的相关计算，第一问的关键是分类讨论三种对角线的情况，避免漏解；第二问的割补法是网格中计算不规则图形面积的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
(1) 已知平行四边形的三个顶点，求第四个顶点需分三种情况讨论：分别以AB、AC、BC为平行四边形的对角线，根据平行四边形对角线互相平分的性质，利用中点坐标相等即可求出对应的第四个顶点坐标，注意不要漏解。
(2) 求平行四边形面积时，先求△ABC的面积：采用网格中常用的割补法，将△ABC放入合适的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积得到△ABC的面积；再根据平行四边形对角线将其分为两个全等的三角形，面积为△ABC面积的2倍，即可求出平行四边形的面积。
【解析】
(1) 设第四个顶点坐标为$D(x,y)$，分三种情况：
① 若AB为平行四边形的对角线，则AB与CD的中点重合：
AB中点坐标为$(\frac{3+6}{2},\frac{3+4}{2})=(4.5,3.5)$，因此$\frac{4+x}{2}=4.5$，$\frac{6+y}{2}=3.5$，解得$x=5,y=1$，即$D(5,1)$；
② 若AC为平行四边形的对角线，则AC与BD的中点重合：
AC中点坐标为$(\frac{3+4}{2},\frac{3+6}{2})=(3.5,4.5)$，因此$\frac{6+x}{2}=3.5$，$\frac{4+y}{2}=4.5$，解得$x=1,y=5$，即$D(1,5)$；
③ 若BC为平行四边形的对角线，则BC与AD的中点重合：
BC中点坐标为$(\frac{6+4}{2},\frac{4+6}{2})=(5,5)$，因此$\frac{3+x}{2}=5$，$\frac{3+y}{2}=5$，解得$x=7,y=7$，即$D(7,7)$。
综上，第四个顶点的坐标为$(1,5),(5,1),(7,7)$。
(2) 用割补法求$△ ABC$的面积：
将$△ ABC$放入横向从$x=3$到$x=6$，纵向从$y=3$到$y=6$的矩形中，矩形面积为$(6-3)×(6-3)=9$。
减去周围三个直角三角形的面积：
第一个三角形：$\frac{1}{2}×3×1=1.5$；
第二个三角形：$\frac{1}{2}×2×2=2$；
第三个三角形：$\frac{1}{2}×1×3=1.5$。
因此$S_{△ ABC}=9-1.5-2-1.5=4$。
平行四边形的面积为$2S_{△ ABC}=2×4=8$。
【答案】
(1) $(1,5),(5,1),(7,7)$；(2) $8$
【知识点】
平行四边形的性质，中点坐标公式，割补法求面积
【点评】
本题考查平面直角坐标系中平行四边形的相关计算，第一问的关键是分类讨论三种对角线的情况，避免漏解；第二问的割补法是网格中计算不规则图形面积的常用方法，需熟练掌握。
【难度系数】
0.7
四、三角形的中位线
1. 如图17-13，D,E,F分别是$△ ABC$各边的中点，$∠ A=70°$,则$∠ EDF$的度数为（
A.$20°$
B.$40°$
C.$70°$
D.$110°$
图17-13
图17-14
1. 如图17-13，D,E,F分别是$△ ABC$各边的中点，$∠ A=70°$,则$∠ EDF$的度数为（
C
）A.$20°$
B.$40°$
C.$70°$
D.$110°$
图17-13
图17-14
答案
1.C
解析
【分析】
解题时首先观察题目条件：D、E、F是△ABC三边中点，可联想到三角形中位线定理，中位线平行于第三边，由此可得到两组对边分别平行，进而判定四边形AEDF是平行四边形，再利用平行四边形对角相等的性质，即可将∠EDF与已知∠A建立联系，求出角度。
【解析】
解：
∵D、E、F分别是△ABC各边的中点
∴DE、DF均为△ABC的中位线
根据三角形中位线定理可得：DE//AC，DF//AB
∴四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等）
∵∠A=70°
∴∠EDF=70°
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查三角形中位线性质与平行四边形相关知识的结合应用，解题关键是利用中位线的平行特征构造平行四边形，熟练掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察题目条件：D、E、F是△ABC三边中点，可联想到三角形中位线定理，中位线平行于第三边，由此可得到两组对边分别平行，进而判定四边形AEDF是平行四边形，再利用平行四边形对角相等的性质，即可将∠EDF与已知∠A建立联系，求出角度。
【解析】
解：
∵D、E、F分别是△ABC各边的中点
∴DE、DF均为△ABC的中位线
根据三角形中位线定理可得：DE//AC，DF//AB
∴四边形AEDF是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）
∴∠EDF=∠A（平行四边形的对角相等）
∵∠A=70°
∴∠EDF=70°
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；平行四边形的判定；平行四边形的性质
【点评】
本题是基础类题型，核心考查三角形中位线性质与平行四边形相关知识的结合应用，解题关键是利用中位线的平行特征构造平行四边形，熟练掌握基础定理即可快速作答。
【难度系数】
0.8
2. 图17-14所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，$△ ABC$的三个顶点均在网格线的交点上，$D$，$E$分别是边$BA$，$CA$与网格线的交点，连接$DE$，则$DE$的长为（
A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
B
）A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$\sqrt{2}$
D.$\sqrt{3}$
答案
2.B
解析
【分析】解题时先结合网格特征判断DE与BC的位置关系，观察可得DE平行于BC，由此可推出△ADE与△ABC相似；接下来计算两个三角形的相似比，再求出BC的长度，最后根据相似三角形对应边成比例的性质即可求出DE的长度。
【解析】由网格的特征可得DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC（两角分别对应相等的两个三角形相似）。
观察线段BA可知，$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，即△ADE与△ABC的相似比为1:2。
结合网格计算得BC的长度为2，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
代入BC=2，得$DE=2×\frac{1}{2}=1$。
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】本题结合网格背景考查相似三角形的实际应用，解题关键是通过观察网格得到平行关系，进而推导三角形相似，再结合比例关系求解线段长度，侧重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】0.8
【解析】由网格的特征可得DE//BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC（两角分别对应相等的两个三角形相似）。
观察线段BA可知，$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，即△ADE与△ABC的相似比为1:2。
结合网格计算得BC的长度为2，根据相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$，
代入BC=2，得$DE=2×\frac{1}{2}=1$。
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；平行线分线段成比例
【点评】本题结合网格背景考查相似三角形的实际应用，解题关键是通过观察网格得到平行关系，进而推导三角形相似，再结合比例关系求解线段长度，侧重对基础知识点的灵活运用。
【难度系数】0.8
3. 如图17-15,在$□ ABCD$中,O是对角线AC,BD的交点,E是边CD的中点,且AB=6,BC=10,则线段OE的长为
5
.答案
3.5
4. 如图17-16,在四边形ABCD中,AC=4 cm,BD=4.5 cm,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点,则四边形EFGH的周长为
8.5
cm.答案
4.8.5
解析
【分析】
遇到四边形各边中点构成的新四边形求周长的问题，首先联想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。我们可以把四边形EFGH的四条边分别看作四个三角形（△ABD、△ABC、△BCD、△ACD）的中位线，将各边长度转化为原四边形对角线AC、BD长度的一半，再求和即可得到周长。
【解析】
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴$\mathrm{EH}=\frac{1}{2}\mathrm{BD}=\frac{1}{2}×4.5=2.25$（cm），
同理可得：
FG是△BCD的中位线，$\mathrm{FG}=\frac{1}{2}\mathrm{BD}=2.25$ cm，
EF是△ABC的中位线，$\mathrm{EF}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}=\frac{1}{2}×4=2$（cm），
HG是△ACD的中位线，$\mathrm{HG}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}=2$ cm，
∴四边形EFGH的周长$=\mathrm{EH}+\mathrm{HG}+\mathrm{GF}+\mathrm{FE}=2.25+2+2.25+2=8.5$（cm）。
【答案】
8.5
【知识点】
三角形中位线定理；中点四边形性质；周长计算
【点评】
本题是中位线定理的典型应用题型，解题核心是通过中位线性质建立所求四边形边长与原四边形对角线的数量关系，无需额外复杂计算，掌握中位线定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
遇到四边形各边中点构成的新四边形求周长的问题，首先联想到三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。我们可以把四边形EFGH的四条边分别看作四个三角形（△ABD、△ABC、△BCD、△ACD）的中位线，将各边长度转化为原四边形对角线AC、BD长度的一半，再求和即可得到周长。
【解析】
∵E、H分别是AB、AD的中点，
∴EH是△ABD的中位线，
∴$\mathrm{EH}=\frac{1}{2}\mathrm{BD}=\frac{1}{2}×4.5=2.25$（cm），
同理可得：
FG是△BCD的中位线，$\mathrm{FG}=\frac{1}{2}\mathrm{BD}=2.25$ cm，
EF是△ABC的中位线，$\mathrm{EF}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}=\frac{1}{2}×4=2$（cm），
HG是△ACD的中位线，$\mathrm{HG}=\frac{1}{2}\mathrm{AC}=2$ cm，
∴四边形EFGH的周长$=\mathrm{EH}+\mathrm{HG}+\mathrm{GF}+\mathrm{FE}=2.25+2+2.25+2=8.5$（cm）。
【答案】
8.5
【知识点】
三角形中位线定理；中点四边形性质；周长计算
【点评】
本题是中位线定理的典型应用题型，解题核心是通过中位线性质建立所求四边形边长与原四边形对角线的数量关系，无需额外复杂计算，掌握中位线定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8
