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5. 如图17-17,在△ABC中,M是BC的中点,AD平分∠BAC,BD⊥AD于点D,AB=10,AC=14,求线段DM的长. 
图17-17
图17-17答案
5.如图,延长BD,与AC相交于点F.
∵ AD 平分 ∠BAC, BD ⊥ AD,
∴ ∠BAD = ∠FAD,∠ADB = ∠ADF,AD = AD.
∴ $△ DAB≌△ DAF.$
∴ AB = AF, BD = DF.
∵ AB = 10,AC=14,
∴ CF=AC-AF=AC-AB=14-10=4.
∵ M 是 BC 的中点,BD=DF,
∴ DM 是 △BCF 的中位线.
∴ $DM=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}×4=2.$
解析
【分析】
解题时首先观察条件特征：AD是∠BAC的角平分线，且AD⊥BD，遇到“角平分线+过边上一点的垂线”这类组合条件时，通常通过延长垂线交角的另一边，构造全等三角形。首先延长BD交AC于点F，可证明△DAB≌△DAF，得到AB=AF、D是BF的中点，进而求出CF的长度；再结合M是BC中点的条件，可知DM是△BCF的中位线，根据中位线定理即可求出DM的长度。
【解析】
延长BD，与AC相交于点F。
∵ AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴ ∠BAD = ∠FAD，∠ADB = ∠ADF=90°，
又
∵ AD=AD，
∴ △DAB≌△DAF（ASA），
∴ AB = AF，BD = DF。
∵ AB=10，AC=14，
∴ CF=AC - AF=AC - AB=14 - 10=4。
∵ M是BC的中点，BD=DF，即D是BF的中点，
∴ DM是△BCF的中位线，
∴ DM = $\frac{1}{2}$CF = $\frac{1}{2}$×4=2。
【答案】
5.如图,延长BD,与AC相交于点F.
∵ AD 平分 ∠BAC, BD ⊥ AD,
∴ ∠BAD = ∠FAD,∠ADB = ∠ADF,AD = AD.
∴ $△ DAB≌△ DAF.$
∴ AB = AF, BD = DF.
∵ AB = 10,AC=14,
∴ CF=AC-AF=AC-AB=14-10=4.
∵ M 是 BC 的中点,BD=DF,
∴ DM 是 △BCF 的中位线.
∴ $DM=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}×4=2.$
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何常见的中档题型，解题的关键是掌握“角平分线+垂线”特征图形的辅助线构造方法，通过构造全等三角形转化线段关系，再结合中位线定理求解，这类辅助线技巧在几何计算类题目中经常用到，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察条件特征：AD是∠BAC的角平分线，且AD⊥BD，遇到“角平分线+过边上一点的垂线”这类组合条件时，通常通过延长垂线交角的另一边，构造全等三角形。首先延长BD交AC于点F，可证明△DAB≌△DAF，得到AB=AF、D是BF的中点，进而求出CF的长度；再结合M是BC中点的条件，可知DM是△BCF的中位线，根据中位线定理即可求出DM的长度。
【解析】
延长BD，与AC相交于点F。
∵ AD平分∠BAC，BD⊥AD，
∴ ∠BAD = ∠FAD，∠ADB = ∠ADF=90°，
又
∵ AD=AD，
∴ △DAB≌△DAF（ASA），
∴ AB = AF，BD = DF。
∵ AB=10，AC=14，
∴ CF=AC - AF=AC - AB=14 - 10=4。
∵ M是BC的中点，BD=DF，即D是BF的中点，
∴ DM是△BCF的中位线，
∴ DM = $\frac{1}{2}$CF = $\frac{1}{2}$×4=2。
【答案】
5.如图,延长BD,与AC相交于点F.
∵ AD 平分 ∠BAC, BD ⊥ AD,
∴ ∠BAD = ∠FAD,∠ADB = ∠ADF,AD = AD.
∴ $△ DAB≌△ DAF.$
∴ AB = AF, BD = DF.
∵ AB = 10,AC=14,
∴ CF=AC-AF=AC-AB=14-10=4.
∵ M 是 BC 的中点,BD=DF,
∴ DM 是 △BCF 的中位线.
∴ $DM=\frac{1}{2}CF=\frac{1}{2}×4=2.$
【知识点】
角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【点评】
本题是几何常见的中档题型，解题的关键是掌握“角平分线+垂线”特征图形的辅助线构造方法，通过构造全等三角形转化线段关系，再结合中位线定理求解，这类辅助线技巧在几何计算类题目中经常用到，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
1. 在$□ ABCD$中，$∠ A: ∠ B: ∠ C: ∠ D$的值可以是（
A.$1:2:3:4$
B.$1:2:2:1$
C.$1:1:2:2$
D.$2:1:2:1$
D
）A.$1:2:3:4$
B.$1:2:2:1$
C.$1:1:2:2$
D.$2:1:2:1$
答案
1.D
解析
【分析】
解决本题首先要回忆平行四边形角的性质：平行四边形的两组对角分别相等。由此可得∠A=∠C，∠B=∠D，因此四个角的比值中，代表∠A和∠C的第一、三项比值份数相等，代表∠B和∠D的第二、四项比值份数相等，据此逐一核对选项即可得出答案。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴根据平行四边形的性质可得：∠A=∠C，∠B=∠D
观察各选项的比值：
A选项：1:2:3:4，1≠3，2≠4，不符合对角相等的要求，排除；
B选项：1:2:2:1，1≠2，2≠1，不符合对角相等的要求，排除；
C选项：1:1:2:2，1≠2，1≠2，不符合对角相等的要求，排除；
D选项：2:1:2:1，满足∠A:∠C=2:2=1:1，∠B:∠D=1:1，符合平行四边形对角相等的性质。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形对角相等
【点评】
本题是基础类题型，重点考查平行四边形对角相等的性质，解题时只需抓住“对角比值份数相等”这一核心特征，就能快速排除错误选项，得出正确结果。
【难度系数】
0.9
解决本题首先要回忆平行四边形角的性质：平行四边形的两组对角分别相等。由此可得∠A=∠C，∠B=∠D，因此四个角的比值中，代表∠A和∠C的第一、三项比值份数相等，代表∠B和∠D的第二、四项比值份数相等，据此逐一核对选项即可得出答案。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴根据平行四边形的性质可得：∠A=∠C，∠B=∠D
观察各选项的比值：
A选项：1:2:3:4，1≠3，2≠4，不符合对角相等的要求，排除；
B选项：1:2:2:1，1≠2，2≠1，不符合对角相等的要求，排除；
C选项：1:1:2:2，1≠2，1≠2，不符合对角相等的要求，排除；
D选项：2:1:2:1，满足∠A:∠C=2:2=1:1，∠B:∠D=1:1，符合平行四边形对角相等的性质。
因此选D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形对角相等
【点评】
本题是基础类题型，重点考查平行四边形对角相等的性质，解题时只需抓住“对角比值份数相等”这一核心特征，就能快速排除错误选项，得出正确结果。
【难度系数】
0.9
2. 如图17-18, ▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是 (
A.10
B.14
C.20
D.22
B
)A.10
B.14
C.20
D.22
答案
2.B
解析
【分析】
要求△ABO的周长，需先明确其三边OA、OB、AB的长度和。首先结合平行四边形的性质：对角线互相平分，可将OA+OB转化为AC与BD和的一半，结合已知AC+BD=16即可算出OA+OB的值；再根据平行四边形对边相等的性质，由CD=6得到AB的长度，最后将三边相加即可求出周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA = $\frac{1}{2}$AC，OB = $\frac{1}{2}$BD，AB = CD
∵AC + BD = 16
∴OA + OB = $\frac{1}{2}$(AC + BD) = $\frac{1}{2}$×16 = 8
又
∵CD = 6
∴AB = 6
∴△ABO的周长 = OA + OB + AB = 8 + 6 = 14
【答案】
B
【知识点】
平行四边形对边相等；平行四边形对角线互相平分
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查平行四边形基本性质的直接应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，将所求三角形的边长与已知条件建立关联。
【难度系数】
0.8
要求△ABO的周长，需先明确其三边OA、OB、AB的长度和。首先结合平行四边形的性质：对角线互相平分，可将OA+OB转化为AC与BD和的一半，结合已知AC+BD=16即可算出OA+OB的值；再根据平行四边形对边相等的性质，由CD=6得到AB的长度，最后将三边相加即可求出周长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA = $\frac{1}{2}$AC，OB = $\frac{1}{2}$BD，AB = CD
∵AC + BD = 16
∴OA + OB = $\frac{1}{2}$(AC + BD) = $\frac{1}{2}$×16 = 8
又
∵CD = 6
∴AB = 6
∴△ABO的周长 = OA + OB + AB = 8 + 6 = 14
【答案】
B
【知识点】
平行四边形对边相等；平行四边形对角线互相平分
【点评】
本题属于基础类题型，重点考查平行四边形基本性质的直接应用，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，将所求三角形的边长与已知条件建立关联。
【难度系数】
0.8
3. $□ ABCD$的对角线的交点在坐标原点，且AD平行于x轴，若点A的坐标为$(-1,2)$，则点C的坐标为（
A.$(1,-2)$
B.$(2,-1)$
C.$(1,-3)$
D.$(2,-3)$
A
）A.$(1,-2)$
B.$(2,-1)$
C.$(1,-3)$
D.$(2,-3)$
答案
3.A
解析
【分析】
解题思路：首先回忆平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，结合本题对角线交点在坐标原点，可知原点是对角线AC的中点，即点A与点C关于原点中心对称。再根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，即可求出点C的坐标。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线的交点在坐标原点，
∴平行四边形的对角线互相平分，即原点是AC的中点，点A与点C关于原点对称。
∵关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，点A的坐标为$(-1,2)$，
∴点C的坐标为$(1,-2)$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，将平行四边形的性质与平面直角坐标系的知识结合考查，熟练掌握平行四边形的中心对称特性和原点对称点的坐标规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
解题思路：首先回忆平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分，结合本题对角线交点在坐标原点，可知原点是对角线AC的中点，即点A与点C关于原点中心对称。再根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，即可求出点C的坐标。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线的交点在坐标原点，
∴平行四边形的对角线互相平分，即原点是AC的中点，点A与点C关于原点对称。
∵关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，点A的坐标为$(-1,2)$，
∴点C的坐标为$(1,-2)$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题是基础题型，将平行四边形的性质与平面直角坐标系的知识结合考查，熟练掌握平行四边形的中心对称特性和原点对称点的坐标规律即可快速解题。
【难度系数】
0.85
4. 如图17-19，$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，将$△ AOD$平移至$△ BEC$的位置，则图中与$OA$相等的其他线段有（
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
B
）A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案
4.B
解析
【分析】
解题时先结合已知条件调用相关性质：首先利用平行四边形对角线的性质，可得到一组与OA相等的线段；再利用平移前后对应边相等的性质，找到另一组与OA相等的线段，最后统计除OA本身外的相等线段条数即可。
【解析】
解：①
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$\boldsymbol{OA=OC}$；
②
∵$△ AOD$平移至$△ BEC$的位置，
根据平移前后对应边相等的性质，可得$\boldsymbol{OA=BE}$；
综上，与OA相等的其他线段有OC、BE，共2条。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，平移的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查对平行四边形对角线性质和平移性质的应用，解题时注意题目要求的是与OA相等的“其他线段”，不要将OA本身计入统计即可。
【难度系数】
0.8
解题时先结合已知条件调用相关性质：首先利用平行四边形对角线的性质，可得到一组与OA相等的线段；再利用平移前后对应边相等的性质，找到另一组与OA相等的线段，最后统计除OA本身外的相等线段条数即可。
【解析】
解：①
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
根据平行四边形对角线互相平分的性质，可得$\boldsymbol{OA=OC}$；
②
∵$△ AOD$平移至$△ BEC$的位置，
根据平移前后对应边相等的性质，可得$\boldsymbol{OA=BE}$；
综上，与OA相等的其他线段有OC、BE，共2条。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质，平移的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查对平行四边形对角线性质和平移性质的应用，解题时注意题目要求的是与OA相等的“其他线段”，不要将OA本身计入统计即可。
【难度系数】
0.8
5. 如图17-20,在$□ ABCD$中,$AB=4$,$BC=6$,$AC$的垂直平分线交$AD$于点$E$,则$△ CDE$的周长是 (
A.7
B.10
C.11
D.12
B
)A.7
B.10
C.11
D.12
答案
5.B
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手：①题目给出平行四边形，可优先调用平行四边形对边相等的性质，得到CD、AD的长度；②看到AC的垂直平分线，想到线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AE=CE；③求△CDE的周长时，将CE等量代换为AE，就可以把△CDE的周长转化为CD与AD的和，代入数值即可算出结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD=4，BC=AD=6（平行四边形对边相等）。
∵ E在AC的垂直平分线上，
∴ AE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
△CDE的周长 = CD + DE + CE，
将CE替换为AE，得：
周长 = CD + DE + AE = CD + AD = 4 + 6 = 10。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心是通过性质找到相等的线段，利用等量代换将未知的周长转化为已知边长的和，降低计算难度，解题时要熟练掌握几何基本性质，快速找到等量关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先从已知条件入手：①题目给出平行四边形，可优先调用平行四边形对边相等的性质，得到CD、AD的长度；②看到AC的垂直平分线，想到线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得AE=CE；③求△CDE的周长时，将CE等量代换为AE，就可以把△CDE的周长转化为CD与AD的和，代入数值即可算出结果。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB=CD=4，BC=AD=6（平行四边形对边相等）。
∵ E在AC的垂直平分线上，
∴ AE=CE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）。
△CDE的周长 = CD + DE + CE，
将CE替换为AE，得：
周长 = CD + DE + AE = CD + AD = 4 + 6 = 10。
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题属于基础常考题，核心是通过性质找到相等的线段，利用等量代换将未知的周长转化为已知边长的和，降低计算难度，解题时要熟练掌握几何基本性质，快速找到等量关系。
【难度系数】
0.8
6. 如图17-21,在$△ ABC$中,$AB≠AC$,D,E,F分别是边AB,AC,BC的中点,则下列结论错误的是 (
A.$DE// BC$
B.$∠ B=∠ EFC$
C.$∠ BAF=∠ CAF$
D.$OD=OE$
C
)A.$DE// BC$
B.$∠ B=∠ EFC$
C.$∠ BAF=∠ CAF$
D.$OD=OE$
答案
6.C
解析
【分析】
解题时先明确已知条件：$△ ABC$中$AB≠ AC$，D、E、F分别是三边中点，结合三角形中位线、等腰三角形性质等知识点逐一判断选项：
1. 先判断A选项：D、E是AB、AC中点，符合中位线定义，直接用中位线定理即可判断A正确；
2. 判断B选项：E、F是AC、BC中点，EF是中位线，由EF平行AB，结合平行线同位角相等可判断B正确；
3. 判断C选项：F是BC中点，AF是中线，由于$AB≠ AC$，$△ ABC$不是等腰三角形，不满足三线合一的前提，因此中线不能平分顶角，可判断C错误；
4. 判断D选项：结合DE平行BC，AF是中线，由平行线分线段成比例可得AF平分DE，即可得$OD=OE$，判断D正确。最终选出错误选项即可。
【解析】
已知D、E、F分别是$△ ABC$中AB、AC、BC的中点，逐一分析选项：
选项A：DE是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理，可得$DE// BC$，该结论正确，不符合题意；
选项B：EF是$△ ABC$的中位线，因此$EF// AB$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ B=∠ EFC$，该结论正确，不符合题意；
选项C：F是BC中点，因此AF是$△ ABC$的BC边上的中线，已知$AB≠ AC$，$△ ABC$不是等腰三角形，不满足“三线合一”的适用条件，因此中线AF不平分$∠ BAC$，即$∠ BAF≠ ∠ CAF$，该结论错误，符合题意；
选项D：设AF与DE交于点O，由$DE// BC$，D是AB中点，根据平行线分线段成比例的性质，可得O是DE的中点，因此$OD=OE$，该结论正确，不符合题意。
综上，结论错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；等腰三角形三线合一；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何概念辨析题，解题的关键是明确各几何性质的适用前提，尤其要注意“三线合一”仅适用于等腰三角形，普通三角形的中线和角平分线并不重合，避免因混淆性质的适用范围出错。
【难度系数】
0.7
解题时先明确已知条件：$△ ABC$中$AB≠ AC$，D、E、F分别是三边中点，结合三角形中位线、等腰三角形性质等知识点逐一判断选项：
1. 先判断A选项：D、E是AB、AC中点，符合中位线定义，直接用中位线定理即可判断A正确；
2. 判断B选项：E、F是AC、BC中点，EF是中位线，由EF平行AB，结合平行线同位角相等可判断B正确；
3. 判断C选项：F是BC中点，AF是中线，由于$AB≠ AC$，$△ ABC$不是等腰三角形，不满足三线合一的前提，因此中线不能平分顶角，可判断C错误；
4. 判断D选项：结合DE平行BC，AF是中线，由平行线分线段成比例可得AF平分DE，即可得$OD=OE$，判断D正确。最终选出错误选项即可。
【解析】
已知D、E、F分别是$△ ABC$中AB、AC、BC的中点，逐一分析选项：
选项A：DE是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理，可得$DE// BC$，该结论正确，不符合题意；
选项B：EF是$△ ABC$的中位线，因此$EF// AB$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$∠ B=∠ EFC$，该结论正确，不符合题意；
选项C：F是BC中点，因此AF是$△ ABC$的BC边上的中线，已知$AB≠ AC$，$△ ABC$不是等腰三角形，不满足“三线合一”的适用条件，因此中线AF不平分$∠ BAC$，即$∠ BAF≠ ∠ CAF$，该结论错误，符合题意；
选项D：设AF与DE交于点O，由$DE// BC$，D是AB中点，根据平行线分线段成比例的性质，可得O是DE的中点，因此$OD=OE$，该结论正确，不符合题意。
综上，结论错误的是C选项。
【答案】
C
【知识点】
三角形中位线定理；等腰三角形三线合一；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何概念辨析题，解题的关键是明确各几何性质的适用前提，尤其要注意“三线合一”仅适用于等腰三角形，普通三角形的中线和角平分线并不重合，避免因混淆性质的适用范围出错。
【难度系数】
0.7
