7. 如图17-22，直线$ l_1 // l_2 $，$ △ ABC $的面积为10，则$ △ DBC $的面积为。


图17-22
图17-23

7.10

【分析】
要计算△DBC的面积，首先观察△ABC和△DBC的特征：二者共享底边BC。已知直线$ l_1 // l_2 $，根据平行线的性质，两条平行线之间的距离处处相等，因此两个三角形底边BC上的高完全相等。三角形面积由底和高共同决定，等底等高的三角形面积相等，因此可直接推出△DBC的面积与△ABC的面积相等。
【解析】
解：
∵ 直线$ l_1 // l_2 $，
∴ $ l_1 $与$ l_2 $之间的距离处处相等。
△ABC和△DBC有公共底边BC，且两个三角形底边BC上的高都等于$ l_1 $与$ l_2 $之间的距离，
∴ △ABC和△DBC等底等高，
∴ $ S_{△ DBC} = S_{△ ABC} = 10 $。
【答案】
10
【知识点】
平行线间距离的性质；三角形面积公式；等底等高三角形面积相等
【点评】
本题属于基础题，解题关键是抓住两个三角形共底、高为平行线间距离的特征，利用等底等高三角形面积相等的性质直接得到结果，熟练掌握平行线的性质即可快速解答。
【难度系数】
0.8

8.如图17-23,在$□ ABCD$中,若$∠ A=70°$,$DC=DB$,则$∠ CDB$的度数为.

8.40°

【分析】
解题思路可分为三步：第一步，回忆平行四边形对角相等的性质，结合已知∠A的度数求出∠C的度数；第二步，根据DC=DB判断△DBC是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质得到∠DBC与∠C相等；第三步，利用三角形内角和为180°，代入已知角度计算即可求出∠CDB的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠C = ∠A = 70°（平行四边形对角相等）。
∵ DC = DB，
∴ △DBC是等腰三角形，
∴ ∠DBC = ∠C = 70°（等腰三角形两底角相等）。
在△DBC中，根据三角形内角和定理：
∠CDB = 180° - ∠C - ∠DBC = 180° - 70° - 70° = 40°。
【答案】
40°
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，核心是将平行四边形的性质与等腰三角形的性质结合应用，理清角之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8

9. 如图17-24,在四边形ABCD中,BD⊥AD,BD⊥BC,AD=11−x,BC=x−5,则当x的值为时,四边形ABCD是平行四边形.

9.8

【分析】
首先观察已知条件，BD同时垂直于AD和BC，根据“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”可推出AD//BC。根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，因此只需让AD=BC，即可得到平行四边形ABCD，据此列方程求解x的值即可。
【解析】
解：
∵BD⊥AD，BD⊥BC，
∴∠ADB=∠CBD=90°，
∴AD//BC（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）。
根据平行四边形的判定规则：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
因此当AD=BC时，四边形ABCD是平行四边形，
代入边长得：$11 - x = x - 5$，
移项合并同类项得：$2x = 16$，
解得：$x = 8$。
【答案】
8
【知识点】
平行四边形的判定、平行线的判定、一元一次方程的解法
【点评】
本题是基础的几何与代数结合题，解题关键是先根据垂直关系推出一组对边平行，再结合平行四边形的判定条件建立等量关系，通过解方程得到结果，属于对基础知识点的综合考查。
【难度系数】
0.8

10. 如图17-25,点O是$□ ABCD$的对称中心,$AD＞AB$,$E,F$分别是$AB$边上的点,且$EF=\frac{1}{2}AB$,$G,H$分别是$BC$边上的点,且$GH=\frac{1}{3}BC$,若$S_1,S_2$分别表示$△ EOF$和$△ GOH$的面积,则$S_1,S_2$之间的等量关系是.

图17-25

10.2S₁=3S₂
提示:过点 O 分别作 OM ⊥ BC,垂足为 M,作 ON ⊥ AB,垂足为 N,
∵ 点 O 是 ▱ABCD 的对称中心,
∴ $S_{□ ABCD}=AB· 2ON$, $S_{□ ABCD}=BC· 2OM.$
∴ AB · ON=BC · OM.
∵ $S_1=\frac{1}{2}EF· ON$, $S_2=\frac{1}{2}GH· OM$, $EF=\frac{1}{2}AB$, $GH=\frac{1}{3}BC$,
∴ $S_1=\frac{1}{4}AB· ON$, $S_2=\frac{1}{6}BC· OM.$
∴ $2S_1=3S_2.$

【分析】
要推导$S_1$与$S_2$的等量关系，可按以下思路思考：第一步，过点O分别向AB、BC边作垂线，得到$△ EOF$和$△ GOH$的高；第二步，利用平行四边形对称中心的性质，可知点O到两组对边的距离分别为平行四边形对应边上高的一半，结合平行四边形面积的两种表示方法，得到$AB·ON=BC·OM$的关系；第三步，用三角形面积公式分别表示$S_1$和$S_2$，代入$EF$与$AB$、$GH$与$BC$的数量关系，化简后即可得到两个面积的等量关系。
【解析】
解：过点O分别作$ON⊥ AB$，垂足为N，作$OM⊥ BC$，垂足为M。
∵ 点O是$□ ABCD$的对称中心，
∴ 平行四边形AB边上的高为$2ON$，BC边上的高为$2OM$，
因此$S_{□ ABCD}=AB·2ON = BC·2OM$，化简得：$AB·ON = BC·OM$。
根据三角形面积公式：
$S_1=\frac{1}{2}·EF·ON$，$S_2=\frac{1}{2}·GH·OM$，
已知$EF=\frac{1}{2}AB$，$GH=\frac{1}{3}BC$，代入得：
$S_1=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}AB·ON=\frac{1}{4}AB·ON$，
$S_2=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}BC·OM=\frac{1}{6}BC·OM$。
结合$AB·ON = BC·OM$，可得$\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{6}}=\frac{3}{2}$，即$2S_1=3S_2$。
【答案】
$2S_1=3S_2$
【知识点】
平行四边形的性质，三角形面积计算，中心对称的性质
【点评】
本题属于几何面积推导类基础题，解题关键是借助辅助线，利用对称中心的性质沟通平行四边形与两个小三角形的面积关联，要求学生能够灵活结合面积公式进行代数推导，很好地体现了数形结合的思想。
【难度系数】
0.6

三、解答题
11. 图17-26是一个长为a、宽为b的长方形，两个阴影图形都是一对底边长为1且底边在长方形对边上的平行四边形.
(1)用含字母a,b的代数式表示长方形中空白部分的面积；
(2)当$a=3,b=2$时,求长方形中空白部分的面积.

图17-26

11.(1)$S=ab-a-b+1.$ (2)当 a = 3, b = 2 时, S = 6 - 3 - 2 + 1 = 2.

【分析】
要计算空白部分面积，可采用“总面积减阴影面积”的思路解题：第一步先计算长方形的总面积；第二步分别计算两个阴影平行四边形的面积，注意两个平行四边形存在重叠区域，这部分在减去两个阴影面积时被多减了一次，需要加回；第三步整理代数式即可得到空白面积的表达式。第二问直接将a、b的值代入第一问得到的代数式计算即可。也可以通过平移空白区域，将空白部分拼接成长为(a-1)、宽为(b-1)的长方形，直接计算面积得到结果。
【解析】
(1) 首先计算长方形的总面积：$S_{\mathrm{长方形}}=ab$。
两个阴影平行四边形的面积分别为：底为1、高为b的平行四边形面积$S_1=1× b=b$；底为1、高为a的平行四边形面积$S_2=1× a=a$。
两个阴影的重叠部分是底为1、高为1的平行四边形，面积$S_{\mathrm{重叠}}=1×1=1$。
因此阴影部分的总面积为$S_1+S_2 - S_{\mathrm{重叠}}=a+b-1$。
空白部分面积$S = S_{\mathrm{长方形}} - S_{\mathrm{阴影}} = ab - (a+b-1) = ab -a -b +1$。
(2) 当$a=3$，$b=2$时，将数值代入上述代数式计算：
$S=3×2 -3 -2 +1=6-3-2+1=2$。
【答案】
(1)$S=ab-a-b+1$；(2)$2$
【知识点】
平行四边形面积计算，列代数式，代数式求值
【点评】
本题属于面积和差类基础题，解题的易错点是忽略两个阴影部分的重叠区域，直接用总面积减去两个平行四边形面积导致结果少加1，和差法、平移拼接法两种解题思路可以结合使用，帮助更直观地理解面积计算的逻辑。
【难度系数】
0.7