12. 如图17-27,在四边形ABCD中,AD//BC,且AD＞BC,BC=6 cm,点P,Q分别从点A,C同时出发,P以1 cm/s的速度由A向D运动,Q以2 cm/s的速度由C向B运动,几秒后四边形ABQP是平行四边形?

图17-27

12.设经过 x s 后四边形 ABQP 是平行四边形,即 AP=BQ. 由题意,得 AP=x, BQ=BC-CQ=6-2x,所以 x=6-2x. 解得 x=2. 所以 2 s 后四边形 ABQP 是平行四边形.

【分析】
首先已知AD//BC，可得AP//BQ，要判定四边形ABQP是平行四边形，根据平行四边形的判定定理，只需满足平行的这组对边AP=BQ即可。接下来我们用运动时间x分别表示两条线段的长度：点P速度为1cm/s，x秒运动的路程AP=x cm；点Q从C向B运动，速度为2cm/s，x秒运动的路程CQ=2x cm，结合BC总长6cm，可得BQ=BC-CQ=6-2x。最后根据AP=BQ列方程求解即可得到所需时间。
【解析】
解：设经过x s后四边形ABQP是平行四边形。
∵AD//BC，
∴AP//BQ，
根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，要使四边形ABQP为平行四边形，需满足AP=BQ。
由题意得：AP=x，CQ=2x，
∴BQ=BC-CQ=6-2x，
列方程：x=6-2x，
解得：x=2。
【答案】
2 s
【知识点】
平行四边形的判定；一元一次方程的应用；动点问题求解
【点评】
本题是平行四边形判定和动点结合的基础题，解题核心是抓住平行四边形“一组对边平行且相等”的判定条件，将动线路径转化为含未知数的代数式，找到等量关系列方程求解即可，解题时需注意动点的运动方向，准确表示线段长度。
【难度系数】
0.8

13. 如图17-28,在四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,AC=BD,E,F分别是AB,CD的中点,连接EF分别交AC,BD于点M,N,判断△MON的形状,并说明理由.

图17-28
C. 2种 D. 1种

13.△MON 是等腰三角形. 理由如下:如图,取 BC 边的中点 G,连接 EG,FG.
∵ E,F 分别是 AB,CD 的中点,
∴ EG// AC, $EG=\frac{1}{2}AC.$ 同理 FG// BD, $FG=\frac{1}{2}BD.$
∵ AC=BD,
∴ EG=FG.
∴ ∠GEF=∠GFE.
∵ EG// AC,
∴ ∠OMN=∠GEF. 同理 ∠ONM=∠GFE.
∴ ∠OMN=∠ONM.
∴ OM=ON,即 △MON 是等腰三角形.

【分析】
要判断△MON的形状，已知条件中有E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD，遇到含多个中点的几何问题，通常考虑构造三角形中位线转化线段和角的关系。我们可以取BC的中点G，连接EG、FG，利用三角形中位线定理将AC、BD的长度关系、平行关系转化为EG、FG的关系，再结合等边对等角、平行线的内错角相等推导△MON的内角关系，即可判断三角形形状。
【解析】
解：△MON是等腰三角形，理由如下：
取BC边的中点G，连接EG，FG。
∵ E是AB的中点，G是BC的中点，
∴ EG是△ABC的中位线，
∴ $\boldsymbol{EG// AC，EG=\frac{1}{2}AC}$。
同理，F是CD的中点，G是BC的中点，FG是△BCD的中位线，
∴ $\boldsymbol{FG// BD，FG=\frac{1}{2}BD}$。
∵ AC=BD，
∴ EG=FG，
∴ ∠GEF=∠GFE（等边对等角）。
∵ EG//AC，
∴ ∠OMN=∠GEF（两直线平行，内错角相等）。
∵ FG//BD，
∴ ∠ONM=∠GFE（两直线平行，内错角相等）。
∴ ∠OMN=∠ONM，
∴ OM=ON（等角对等边），即△MON是等腰三角形。
【答案】
△MON 是等腰三角形. 理由如下:如图,取 BC 边的中点 G,连接 EG,FG.
∵ E,F 分别是 AB,CD 的中点,
∴ EG// AC, $EG=\frac{1}{2}AC.$ 同理 FG// BD, $FG=\frac{1}{2}BD.$
∵ AC=BD,
∴ EG=FG.
∴ ∠GEF=∠GFE.
∵ EG// AC,
∴ ∠OMN=∠GEF. 同理 ∠ONM=∠GFE.
∴ ∠OMN=∠ONM.
∴ OM=ON,即 △MON 是等腰三角形.
【知识点】
三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质
【点评】
本题是典型的中点类几何问题，核心解题技巧是构造中位线，通过中位线实现线段数量关系、位置关系的转化，将分散的已知条件整合到同一三角形中，辅助线的构造思路是解题的关键。
【难度系数】
0.7