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综合练习（二）
一、选择题
1. 如图17-29, 在$□ ABCD$中, $∠ DAB$的平分线AE交CD于点E,AB=5,BC=3,则EC的长为 （
A.1
B.1.5
C.2
D.3
一、选择题
1. 如图17-29, 在$□ ABCD$中, $∠ DAB$的平分线AE交CD于点E,AB=5,BC=3,则EC的长为 （
C
）A.1
B.1.5
C.2
D.3
答案
1.C
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形的性质得到对边的长度以及对边平行的关系，再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导得到等腰三角形，求出DE的长度，最后用CD的长度减去DE的长度即可得到EC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，AD=BC=3，AB//CD，
∴∠AED=∠BAE（两直线平行，内错角相等），
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠AED，
∴DE=AD=3（等角对等边），
∴EC=CD-DE=5-3=2。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形背景下的线段长度计算问题，解题的核心是结合平行和角平分线的条件推出等腰三角形，从而转化线段关系求解，解题思路较为常规。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平行四边形的性质得到对边的长度以及对边平行的关系，再结合角平分线的定义和平行线的内错角相等，推导得到等腰三角形，求出DE的长度，最后用CD的长度减去DE的长度即可得到EC的长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=5，AD=BC=3，AB//CD，
∴∠AED=∠BAE（两直线平行，内错角相等），
∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠DAE=∠AED，
∴DE=AD=3（等角对等边），
∴EC=CD-DE=5-3=2。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的判定；角平分线的定义
【点评】
本题是平行四边形背景下的线段长度计算问题，解题的核心是结合平行和角平分线的条件推出等腰三角形，从而转化线段关系求解，解题思路较为常规。
【难度系数】
0.8
2. 如图17-30, 在$□ ABCD$中, $∠ C = 40°$, 过点D作AD的垂线, 交AB于点E, 交CB的延长线于点F, 则$∠ BEF$的度数为 (
A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
D
)A.$30°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
答案
2.D
解析
【分析】
解题时先利用平行四边形对角相等的性质得到∠A的度数，再根据DF垂直AD可知△ADE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠AED的度数，最后结合对顶角相等即可得到∠BEF的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A = ∠C = 40°，
∵ DF⊥AD，
∴ ∠ADE = 90°，
∴ 在Rt△ADE中，∠AED = 90° - ∠A = 90° - 40° = 50°，
∵ ∠BEF与∠AED是对顶角，
∴ ∠BEF = ∠AED = 50°。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，将平行四边形、直角三角形、对顶角的基础性质结合考查，只要熟练掌握相关性质，按照推导逻辑逐步计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题时先利用平行四边形对角相等的性质得到∠A的度数，再根据DF垂直AD可知△ADE是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠AED的度数，最后结合对顶角相等即可得到∠BEF的度数。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A = ∠C = 40°，
∵ DF⊥AD，
∴ ∠ADE = 90°，
∴ 在Rt△ADE中，∠AED = 90° - ∠A = 90° - 40° = 50°，
∵ ∠BEF与∠AED是对顶角，
∴ ∠BEF = ∠AED = 50°。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；直角三角形的性质；对顶角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，将平行四边形、直角三角形、对顶角的基础性质结合考查，只要熟练掌握相关性质，按照推导逻辑逐步计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
3. 如图17-31,将$□ ABCD$沿AE翻折,使点B恰好落在AD上的点F处,则下列结论不一定成立的是 (
A.$AF=EF$
B.$AB=EF$
C.$AE=AF$
D.$AF=BE$
C
)A.$AF=EF$
B.$AB=EF$
C.$AE=AF$
D.$AF=BE$
答案
3.C
解析
【分析】
解题时先结合翻折的性质得到全等三角形，推出对应边、对应角相等，再利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，通过等量代换推导出边相等，进而判定四边形ABEF是菱形，最后结合菱形的性质逐一验证选项，判断哪个结论不一定成立。
【解析】
∵将平行四边形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在AD上的点F处，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB=AF，BE=EF，∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等），
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴AB=BE=EF=AF，即四边形ABEF是菱形。
对各选项分析如下：
A选项：菱形邻边相等，因此AF=EF，结论一定成立；
B选项：菱形对边相等，因此AB=EF，结论一定成立；
C选项：AE是菱形的对角线，AF是菱形的边，仅当∠EAF=60°时AE=AF，一般情况不相等，结论不一定成立；
D选项：菱形对边相等，因此AF=BE，结论一定成立。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，翻折变换的性质，菱形的判定与性质
【点评】
本题将翻折变换与平行四边形、菱形的性质结合考查，解题的核心是先推导得到四边形ABEF为菱形，再结合菱形性质判断选项，做题时要注意题干要求选择“不一定成立”的结论，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.7
解题时先结合翻折的性质得到全等三角形，推出对应边、对应角相等，再利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，通过等量代换推导出边相等，进而判定四边形ABEF是菱形，最后结合菱形的性质逐一验证选项，判断哪个结论不一定成立。
【解析】
∵将平行四边形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在AD上的点F处，
∴△ABE≌△AFE，
∴AB=AF，BE=EF，∠BAE=∠FAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠FAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等），
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∴AB=BE=EF=AF，即四边形ABEF是菱形。
对各选项分析如下：
A选项：菱形邻边相等，因此AF=EF，结论一定成立；
B选项：菱形对边相等，因此AB=EF，结论一定成立；
C选项：AE是菱形的对角线，AF是菱形的边，仅当∠EAF=60°时AE=AF，一般情况不相等，结论不一定成立；
D选项：菱形对边相等，因此AF=BE，结论一定成立。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，翻折变换的性质，菱形的判定与性质
【点评】
本题将翻折变换与平行四边形、菱形的性质结合考查，解题的核心是先推导得到四边形ABEF为菱形，再结合菱形性质判断选项，做题时要注意题干要求选择“不一定成立”的结论，避免因审题粗心出错。
【难度系数】
0.7
4.将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折纸方法有（
A.无数种
B.4种
A
）A.无数种
B.4种
答案
4.A
解析
【分析】
解题时首先回忆平行四边形的相关性质：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。我们需要找到能平分平行四边形面积的折痕对应的直线特征，根据中心对称图形的性质，过对称中心的任意直线都能把图形分成面积相等的两部分，因此只要折痕过对角线交点就满足要求，而过同一个点的直线有无数条，即可推出折纸方法的数量。
【解析】
∵ 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，
根据中心对称图形的性质：经过对称中心的任意一条直线，都能将平行四边形分成两个全等的图形，全等图形面积相等，
∴ 只要折痕经过平行四边形对角线的交点，就能平分这个平行四边形的面积，
又
∵ 过任意一点可以画无数条直线，
∴ 满足条件的折纸方法有无数种。
【答案】
A
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 中心对称图形的特征
【点评】
本题主要考查平行四边形的中心对称性，易错点是仅想到沿对角线、对边中点连线这几种特殊折法，忽略了所有过对称中心的直线都符合平分面积的要求。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆平行四边形的相关性质：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。我们需要找到能平分平行四边形面积的折痕对应的直线特征，根据中心对称图形的性质，过对称中心的任意直线都能把图形分成面积相等的两部分，因此只要折痕过对角线交点就满足要求，而过同一个点的直线有无数条，即可推出折纸方法的数量。
【解析】
∵ 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，
根据中心对称图形的性质：经过对称中心的任意一条直线，都能将平行四边形分成两个全等的图形，全等图形面积相等，
∴ 只要折痕经过平行四边形对角线的交点，就能平分这个平行四边形的面积，
又
∵ 过任意一点可以画无数条直线，
∴ 满足条件的折纸方法有无数种。
【答案】
A
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 中心对称图形的特征
【点评】
本题主要考查平行四边形的中心对称性，易错点是仅想到沿对角线、对边中点连线这几种特殊折法，忽略了所有过对称中心的直线都符合平分面积的要求。
【难度系数】
0.7
5. 如图17-32,E是$□ ABCD$的边AD延长线上一点,连接BE,CE,BD,BE交CD于点F.添加以下条件,不能判定四边形BCED为平行四边形的是 (
图17-32
A.$∠ ABD = ∠ DCE$
B.$∠ AEB = ∠ BCD$
C.$DF = CF$
D.$∠ AEC = ∠ CBD$
B
)图17-32
A.$∠ ABD = ∠ DCE$
B.$∠ AEB = ∠ BCD$
C.$DF = CF$
D.$∠ AEC = ∠ CBD$
答案
5.B
解析
【分析】
已知四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，即DE//BC，要判定四边形BCED为平行四边形，只需再证明DE=BC，或者BD//CE即可。我们只需逐个分析选项给出的条件，判断能否推导出上述两个结论之一，就能选出符合要求的选项。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴DE//BC。
A选项：若∠ABD=∠DCE，
∵AB//CD，
∴∠ABD=∠CDB（两直线平行，内错角相等），
∴∠DCE=∠CDB，
∴BD//CE（内错角相等，两直线平行），
又
∵DE//BC，
∴四边形BCED是平行四边形，故A不符合题意。
B选项：若∠AEB=∠BCD，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠CBF（两直线平行，内错角相等），
∴∠CBF=∠BCD，可得CF=BF，无法推出BD//CE或DE=BC，不能判定四边形BCED是平行四边形，故B符合题意。
C选项：若DF=CF，
在△DEF和△CBF中：
$\{\begin{array}{l}∠ EDF=∠ BCF(\mathrm{DE}// \mathrm{BC},\mathrm{内错角相等})\\ DF=CF\\ ∠ DFE=∠ CFB(\mathrm{对顶角相等})\end{array} $
∴△DEF≌△CBF（ASA），
∴DE=BC，
又
∵DE//BC，
∴四边形BCED是平行四边形，故C不符合题意。
D选项：若∠AEC=∠CBD，
∵DE//BC，
∴∠AEC+∠BCE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
代入∠AEC=∠CBD得：∠CBD+∠BCE=180°，
∴BD//CE（同旁内角互补，两直线平行），
又
∵DE//BC，
∴四边形BCED是平行四边形，故D不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题围绕平行四边形的判定展开，解题的突破口是先利用平行四边形ABCD的性质得到DE//BC这一隐含条件，再结合各选项条件推导是否满足平行四边形的判定要求，能有效考查对平行四边形相关定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
已知四边形ABCD是平行四边形，可得AD//BC，即DE//BC，要判定四边形BCED为平行四边形，只需再证明DE=BC，或者BD//CE即可。我们只需逐个分析选项给出的条件，判断能否推导出上述两个结论之一，就能选出符合要求的选项。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，AB//CD，
∴DE//BC。
A选项：若∠ABD=∠DCE，
∵AB//CD，
∴∠ABD=∠CDB（两直线平行，内错角相等），
∴∠DCE=∠CDB，
∴BD//CE（内错角相等，两直线平行），
又
∵DE//BC，
∴四边形BCED是平行四边形，故A不符合题意。
B选项：若∠AEB=∠BCD，
∵AD//BC，
∴∠AEB=∠CBF（两直线平行，内错角相等），
∴∠CBF=∠BCD，可得CF=BF，无法推出BD//CE或DE=BC，不能判定四边形BCED是平行四边形，故B符合题意。
C选项：若DF=CF，
在△DEF和△CBF中：
$\{\begin{array}{l}∠ EDF=∠ BCF(\mathrm{DE}// \mathrm{BC},\mathrm{内错角相等})\\ DF=CF\\ ∠ DFE=∠ CFB(\mathrm{对顶角相等})\end{array} $
∴△DEF≌△CBF（ASA），
∴DE=BC，
又
∵DE//BC，
∴四边形BCED是平行四边形，故C不符合题意。
D选项：若∠AEC=∠CBD，
∵DE//BC，
∴∠AEC+∠BCE=180°（两直线平行，同旁内角互补），
代入∠AEC=∠CBD得：∠CBD+∠BCE=180°，
∴BD//CE（同旁内角互补，两直线平行），
又
∵DE//BC，
∴四边形BCED是平行四边形，故D不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题围绕平行四边形的判定展开，解题的突破口是先利用平行四边形ABCD的性质得到DE//BC这一隐含条件，再结合各选项条件推导是否满足平行四边形的判定要求，能有效考查对平行四边形相关定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
6. 如图17-33，$△ ABC$的周长为19，点D,E在边BC上，$∠ ABC$的平分线垂直于AE，垂足为N，$∠ ACB$的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=8，则MN的长为 （
图17-33
A.$\frac{3}{2}$
B.$2$
C.$\frac{5}{2}$
D.$3$
A
）图17-33
A.$\frac{3}{2}$
B.$2$
C.$\frac{5}{2}$
D.$3$
答案
6.A
解析
【分析】
遇到角平分线与对应线段垂直的组合条件，优先考虑等腰三角形“三线合一”的性质，先通过全等证明△ABE、△ACD为等腰三角形，得到N是AE中点、M是AD中点，同时得到AB=BE、AC=CD；再由两个中点联想到三角形中位线定理，可知MN是△ADE的中位线，即MN长为DE的一半；接下来结合△ABC的周长求出AB+AC的长度，通过线段和的关系推导出BE+CD=BC+DE，代入数据求出DE的长度，最后计算出MN的长度即可。
【解析】
解：
1. 证明N是AE中点、AB=BE：
∵BN平分∠ABC，且BN⊥AE，
∴∠ABN=∠EBN，∠ANB=∠ENB=90°，
在△ABN和△EBN中：
$\{\begin{array}{l}∠ABN=∠EBN \\BN=BN \\∠ANB=∠ENB\end{array} $
∴△ABN≌△EBN（ASA），
∴AB=BE，AN=NE，即N为AE的中点。
2. 证明M是AD中点、AC=CD：
∵CM平分∠ACB，且CM⊥AD，
∴∠ACM=∠DCM，∠AMC=∠DMC=90°，
在△ACM和△DCM中：
$\{\begin{array}{l}∠ACM=∠DCM \\CM=CM \\∠AMC=∠DMC\end{array} $
∴△ACM≌△DCM（ASA），
∴AC=CD，AM=MD，即M为AD的中点。
3. 利用中位线定理建立MN与DE的关系：
∵M是AD中点，N是AE中点，
∴MN是△ADE的中位线，
∴$MN=\frac{1}{2}DE$。
4. 计算DE的长度：
已知△ABC的周长为19，BC=8，
∴$AB+AC=19-BC=19-8=11$，
∵BE=AB，CD=AC，
∴$BE+CD=AB+AC=11$，
又
∵$BE+CD=(BD+DE)+(DE+EC)=BD+DE+EC+DE=BC+DE$，
代入BC=8得：$11=8+DE$，解得$DE=3$。
5. 计算MN：
$MN=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，解题的突破口是利用“角平分线+垂线”的特征推导出等腰三角形，得到线段中点，再结合中位线性质求解，需要熟练掌握线段和差的转化方法。
【难度系数】
0.6
遇到角平分线与对应线段垂直的组合条件，优先考虑等腰三角形“三线合一”的性质，先通过全等证明△ABE、△ACD为等腰三角形，得到N是AE中点、M是AD中点，同时得到AB=BE、AC=CD；再由两个中点联想到三角形中位线定理，可知MN是△ADE的中位线，即MN长为DE的一半；接下来结合△ABC的周长求出AB+AC的长度，通过线段和的关系推导出BE+CD=BC+DE，代入数据求出DE的长度，最后计算出MN的长度即可。
【解析】
解：
1. 证明N是AE中点、AB=BE：
∵BN平分∠ABC，且BN⊥AE，
∴∠ABN=∠EBN，∠ANB=∠ENB=90°，
在△ABN和△EBN中：
$\{\begin{array}{l}∠ABN=∠EBN \\BN=BN \\∠ANB=∠ENB\end{array} $
∴△ABN≌△EBN（ASA），
∴AB=BE，AN=NE，即N为AE的中点。
2. 证明M是AD中点、AC=CD：
∵CM平分∠ACB，且CM⊥AD，
∴∠ACM=∠DCM，∠AMC=∠DMC=90°，
在△ACM和△DCM中：
$\{\begin{array}{l}∠ACM=∠DCM \\CM=CM \\∠AMC=∠DMC\end{array} $
∴△ACM≌△DCM（ASA），
∴AC=CD，AM=MD，即M为AD的中点。
3. 利用中位线定理建立MN与DE的关系：
∵M是AD中点，N是AE中点，
∴MN是△ADE的中位线，
∴$MN=\frac{1}{2}DE$。
4. 计算DE的长度：
已知△ABC的周长为19，BC=8，
∴$AB+AC=19-BC=19-8=11$，
∵BE=AB，CD=AC，
∴$BE+CD=AB+AC=11$，
又
∵$BE+CD=(BD+DE)+(DE+EC)=BD+DE+EC+DE=BC+DE$，
代入BC=8得：$11=8+DE$，解得$DE=3$。
5. 计算MN：
$MN=\frac{1}{2}DE=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何综合类基础题，解题的突破口是利用“角平分线+垂线”的特征推导出等腰三角形，得到线段中点，再结合中位线性质求解，需要熟练掌握线段和差的转化方法。
【难度系数】
0.6
7. 如图17-34,4×4的方格中每个小正方形的边长都是1,则$S_{四边形ABDC}$与$S_{四边形ECDF}$的大小关系是
相等
。答案
7.相等
解析
【分析】
要比较两个四边形的面积大小，可分别计算二者的面积再比较。首先判断形状：四边形ABDC是矩形，四边形ECDF是平行四边形，二者的面积都可以用“底×高”计算。先确定两个四边形的底和对应高的长度，代入公式求出面积后即可得出大小关系。
【解析】
已知每个小正方形的边长为1：
1. 计算$S_{四边形ABDC}$：
四边形ABDC是矩形，它的宽$CD=1$，长为竖直方向的边长，等于4，根据矩形面积公式：
$S_{四边形ABDC}=底×高=1×4=4$
2. 计算$S_{四边形ECDF}$：
四边形ECDF是平行四边形，它的一组对边$CD=EF=1$，CD边与EF边平行，两组对边的垂直距离（即对应CD的高）为4，根据平行四边形面积公式：
$S_{四边形ECDF}=底×高=1×4=4$
因此$S_{四边形ABDC}=S_{四边形ECDF}$。
【答案】
相等
【知识点】
矩形面积计算；平行四边形面积计算
【点评】
本题考查平面图形的面积比较，解题的关键是准确识别图形形状，找到对应底和高的长度，不要被平行四边形的倾斜外观干扰，牢记面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
要比较两个四边形的面积大小，可分别计算二者的面积再比较。首先判断形状：四边形ABDC是矩形，四边形ECDF是平行四边形，二者的面积都可以用“底×高”计算。先确定两个四边形的底和对应高的长度，代入公式求出面积后即可得出大小关系。
【解析】
已知每个小正方形的边长为1：
1. 计算$S_{四边形ABDC}$：
四边形ABDC是矩形，它的宽$CD=1$，长为竖直方向的边长，等于4，根据矩形面积公式：
$S_{四边形ABDC}=底×高=1×4=4$
2. 计算$S_{四边形ECDF}$：
四边形ECDF是平行四边形，它的一组对边$CD=EF=1$，CD边与EF边平行，两组对边的垂直距离（即对应CD的高）为4，根据平行四边形面积公式：
$S_{四边形ECDF}=底×高=1×4=4$
因此$S_{四边形ABDC}=S_{四边形ECDF}$。
【答案】
相等
【知识点】
矩形面积计算；平行四边形面积计算
【点评】
本题考查平面图形的面积比较，解题的关键是准确识别图形形状，找到对应底和高的长度，不要被平行四边形的倾斜外观干扰，牢记面积公式即可快速求解。
【难度系数】
0.8
