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8.有下列说法:①平行四边形具有四边形的所有性质;②平行四边形是中心对称图形;③平行四边形的任一条对角线可把平行四边形分成两个全等的三角形;④平行四边形的两条对角线把平行四边形分成4个面积相等的小三角形.其中正确说法的序号是
①②③④
.答案
8.①②③④
解析
【分析】
本题考查平行四边形相关性质的正误判断，解题时需逐一结合平行四边形的定义、性质及相关基础概念对4个说法逐个验证：首先回忆平行四边形属于特殊四边形，先判断①；再结合中心对称图形的定义判断②；接着利用平行四边形对边相等、对角相等的性质结合全等判定判断③；最后根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合三角形面积公式判断④即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 对于①：平行四边形是特殊的四边形，因此具备四边形的所有性质（如内角和为360°、有4条边、4个内角等），故①正确；
2. 对于②：中心对称图形是指绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形，平行四边形绕对角线的交点旋转180°后可与自身重合，因此是中心对称图形，故②正确；
3. 对于③：平行四边形的对边相等、对角相等，任选一条对角线作为两个三角形的公共边，根据SAS全等判定定理，可证明这条对角线分成的两个三角形全等，故③正确；
4. 对于④：平行四边形的对角线互相平分，因此两条对角线分成的4个小三角形满足等底同高的条件，面积均相等，故④正确。
综上，4个说法均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
平行四边形的性质；中心对称图形；全等三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质的基础考查题，要求学生熟练掌握平行四边形边、角、对角线的相关性质，结合中心对称、全等、面积的基础概念逐一判断即可，属于必须拿分的基础题型。
【难度系数】
0.85
本题考查平行四边形相关性质的正误判断，解题时需逐一结合平行四边形的定义、性质及相关基础概念对4个说法逐个验证：首先回忆平行四边形属于特殊四边形，先判断①；再结合中心对称图形的定义判断②；接着利用平行四边形对边相等、对角相等的性质结合全等判定判断③；最后根据平行四边形对角线互相平分的性质，结合三角形面积公式判断④即可。
【解析】
我们逐个分析每个说法：
1. 对于①：平行四边形是特殊的四边形，因此具备四边形的所有性质（如内角和为360°、有4条边、4个内角等），故①正确；
2. 对于②：中心对称图形是指绕某一点旋转180°后能与自身重合的图形，平行四边形绕对角线的交点旋转180°后可与自身重合，因此是中心对称图形，故②正确；
3. 对于③：平行四边形的对边相等、对角相等，任选一条对角线作为两个三角形的公共边，根据SAS全等判定定理，可证明这条对角线分成的两个三角形全等，故③正确；
4. 对于④：平行四边形的对角线互相平分，因此两条对角线分成的4个小三角形满足等底同高的条件，面积均相等，故④正确。
综上，4个说法均正确。
【答案】
①②③④
【知识点】
平行四边形的性质；中心对称图形；全等三角形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质的基础考查题，要求学生熟练掌握平行四边形边、角、对角线的相关性质，结合中心对称、全等、面积的基础概念逐一判断即可，属于必须拿分的基础题型。
【难度系数】
0.85
9. 在平面直角坐标系中,已知点$O(0,0)$,$A(2,2)$,$B(3,0)$,若以点$O$,$A$,$B$,$C$为顶点的四边形是平行四边形,有以下四个坐标:①$(-1,2)$;②$(5,2)$;③$(1,-2)$;④$(2,-2)$.其中点$C$的坐标不可能为________(填序号).
答案
9.④
解析
【分析】
已知平行四边形的三个顶点求第四个顶点时，由于未明确哪两条边是邻边，需分三种情况讨论：分别将线段OA、OB、AB作为平行四边形的对角线。结合平行四边形对角线互相平分的性质，即两条对角线的中点坐标相同，利用中点坐标公式计算出三种情况下点C的坐标，再与给出的四个坐标对比，即可找出不可能的坐标。
【解析】
若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。根据平行四边形对角线互相平分的性质，两条对角线的中点重合，分三种情况计算点C坐标：
1. 若以OB为平行四边形的对角线：
OB的中点坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{0+0}{2})=(1.5,0)$，设点C坐标为$(x,y)$，则AC的中点与OB中点重合，可得：
$\frac{2+x}{2}=1.5$，解得$x=1$；$\frac{2+y}{2}=0$，解得$y=-2$，即$C(1,-2)$，对应序号③，符合要求。
2. 若以OA为平行四边形的对角线：
OA的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2})=(1,1)$，则BC的中点与OA中点重合，可得：
$\frac{3+x}{2}=1$，解得$x=-1$；$\frac{0+y}{2}=1$，解得$y=2$，即$C(-1,2)$，对应序号①，符合要求。
3. 若以AB为平行四边形的对角线：
AB的中点坐标为$(\frac{2+3}{2},\frac{2+0}{2})=(2.5,1)$，则OC的中点与AB中点重合，可得：
$\frac{0+x}{2}=2.5$，解得$x=5$；$\frac{0+y}{2}=1$，解得$y=2$，即$C(5,2)$，对应序号②，符合要求。
综上，序号④的坐标不可能是点C的坐标。
【答案】
④
【知识点】
平行四边形的性质，中点坐标公式，分类讨论
【点评】
本题考查平行四边形性质在平面直角坐标系中的应用，解题的关键是按照对角线的不同情况分类讨论，避免漏解，利用对角线中点重合建立等量关系就能快速求出对应点的坐标。
【难度系数】
0.7
已知平行四边形的三个顶点求第四个顶点时，由于未明确哪两条边是邻边，需分三种情况讨论：分别将线段OA、OB、AB作为平行四边形的对角线。结合平行四边形对角线互相平分的性质，即两条对角线的中点坐标相同，利用中点坐标公式计算出三种情况下点C的坐标，再与给出的四个坐标对比，即可找出不可能的坐标。
【解析】
若两点坐标为$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，则它们的中点坐标为$(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$。根据平行四边形对角线互相平分的性质，两条对角线的中点重合，分三种情况计算点C坐标：
1. 若以OB为平行四边形的对角线：
OB的中点坐标为$(\frac{0+3}{2},\frac{0+0}{2})=(1.5,0)$，设点C坐标为$(x,y)$，则AC的中点与OB中点重合，可得：
$\frac{2+x}{2}=1.5$，解得$x=1$；$\frac{2+y}{2}=0$，解得$y=-2$，即$C(1,-2)$，对应序号③，符合要求。
2. 若以OA为平行四边形的对角线：
OA的中点坐标为$(\frac{0+2}{2},\frac{0+2}{2})=(1,1)$，则BC的中点与OA中点重合，可得：
$\frac{3+x}{2}=1$，解得$x=-1$；$\frac{0+y}{2}=1$，解得$y=2$，即$C(-1,2)$，对应序号①，符合要求。
3. 若以AB为平行四边形的对角线：
AB的中点坐标为$(\frac{2+3}{2},\frac{2+0}{2})=(2.5,1)$，则OC的中点与AB中点重合，可得：
$\frac{0+x}{2}=2.5$，解得$x=5$；$\frac{0+y}{2}=1$，解得$y=2$，即$C(5,2)$，对应序号②，符合要求。
综上，序号④的坐标不可能是点C的坐标。
【答案】
④
【知识点】
平行四边形的性质，中点坐标公式，分类讨论
【点评】
本题考查平行四边形性质在平面直角坐标系中的应用，解题的关键是按照对角线的不同情况分类讨论，避免漏解，利用对角线中点重合建立等量关系就能快速求出对应点的坐标。
【难度系数】
0.7
10. 如图17-35,在四边形ABCD中,P是对角线BD的中点,E,F分别是AB,CD的中点,AD=BC,∠PEF=30°,则∠PFE的度数是
图17-35
30°
。图17-35
答案
10.30°
解析
【分析】
题目中出现了多个边的中点，可联想到三角形中位线定理解决问题：首先根据P、E分别是BD、AB的中点，可得PE是△ABD的中位线，得到PE与AD的数量关系；同理可得PF是△BCD的中位线，得到PF与BC的数量关系。结合已知AD=BC，可推出PE=PF，即△PEF是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合已知∠PEF的度数即可求出∠PFE的度数。
【解析】
解：
∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE = $\frac{1}{2}$AD。
∵P是BD的中点，F是CD的中点，
∴PF是△BCD的中位线，
∴PF = $\frac{1}{2}$BC。
又
∵AD = BC，
∴PE = PF，即△PEF为等腰三角形，
∴∠PFE = ∠PEF。
∵∠PEF = 30°，
∴∠PFE = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
三角形中位线定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，解题的关键是结合中点条件构造三角形中位线，得到线段相等关系进而判断等腰三角形，是中位线和等腰三角形性质结合的典型考法。
【难度系数】
0.7
题目中出现了多个边的中点，可联想到三角形中位线定理解决问题：首先根据P、E分别是BD、AB的中点，可得PE是△ABD的中位线，得到PE与AD的数量关系；同理可得PF是△BCD的中位线，得到PF与BC的数量关系。结合已知AD=BC，可推出PE=PF，即△PEF是等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等的性质，结合已知∠PEF的度数即可求出∠PFE的度数。
【解析】
解：
∵P是BD的中点，E是AB的中点，
∴PE是△ABD的中位线，
∴PE = $\frac{1}{2}$AD。
∵P是BD的中点，F是CD的中点，
∴PF是△BCD的中位线，
∴PF = $\frac{1}{2}$BC。
又
∵AD = BC，
∴PE = PF，即△PEF为等腰三角形，
∴∠PFE = ∠PEF。
∵∠PEF = 30°，
∴∠PFE = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
三角形中位线定理；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何基础题，解题的关键是结合中点条件构造三角形中位线，得到线段相等关系进而判断等腰三角形，是中位线和等腰三角形性质结合的典型考法。
【难度系数】
0.7
三、解答题
11. 如图17-36, 在$□ ABCD$中, 连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使$BF=DE$,连接AF, CE. 求证:$AF// CE$.
图17-36
11. 如图17-36, 在$□ ABCD$中, 连接BD,在BD的延长线上取一点E,在DB的延长线上取一点F,使$BF=DE$,连接AF, CE. 求证:$AF// CE$.
图17-36
答案
11.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD//BC,AD=CB.
∴ ∠ADF=∠CBE.
∵ BF=DE,
∴ BF+BD=DE+BD.
∴ DF=BE. 在 $△ ADF$ 和 $△ CBE$ 中, $\begin{cases} AD=CB,\\ ∠ ADF=∠ CBE,\\ DF=BE, \end{cases}$
∴ $△ ADF≌△ CBE(\mathrm{SAS}).$
∴ ∠AFD=∠CEB.
∴ AF//CE.
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形,
∴ AD//BC,AD=CB.
∴ ∠ADF=∠CBE.
∵ BF=DE,
∴ BF+BD=DE+BD.
∴ DF=BE. 在 $△ ADF$ 和 $△ CBE$ 中, $\begin{cases} AD=CB,\\ ∠ ADF=∠ CBE,\\ DF=BE, \end{cases}$
∴ $△ ADF≌△ CBE(\mathrm{SAS}).$
∴ ∠AFD=∠CEB.
∴ AF//CE.
解析
【分析】
要证明$AF// CE$，可利用平行线的判定定理，证明两条直线被直线$FE$所截形成的内错角$∠ AFD=∠ CEB$即可，因此需证明$∠ AFD$和$∠ CEB$所在的$△ ADF$与$△ CBE$全等。首先根据平行四边形的性质可得$AD// BC$、$AD=CB$，进而得到$∠ ADF=∠ CBE$；再结合已知$BF=DE$，根据等式的性质，两边同时加$BD$即可推出$DF=BE$，满足全等三角形SAS的判定条件，证得两三角形全等后得到对应角相等，即可推出$AF// CE$。
【解析】
证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=CB$，
∴ $∠ ADF=∠ CBE$。
∵ $BF=DE$，
∴ $BF+BD=DE+BD$，即$DF=BE$。
在$△ ADF$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AD=CB,\\∠ ADF=∠ CBE,\\DF=BE,\end{cases}$
∴ $△ ADF≌△ CBE(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠ AFD=∠ CEB$，
∴ $AF// CE$。
【答案】
$AF// CE$，得证。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定
【点评】
本题属于基础证明题，将平行四边形性质、全等三角形判定、平行线判定结合考查，解题关键是通过线段和的关系得到全等所需的等边，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
要证明$AF// CE$，可利用平行线的判定定理，证明两条直线被直线$FE$所截形成的内错角$∠ AFD=∠ CEB$即可，因此需证明$∠ AFD$和$∠ CEB$所在的$△ ADF$与$△ CBE$全等。首先根据平行四边形的性质可得$AD// BC$、$AD=CB$，进而得到$∠ ADF=∠ CBE$；再结合已知$BF=DE$，根据等式的性质，两边同时加$BD$即可推出$DF=BE$，满足全等三角形SAS的判定条件，证得两三角形全等后得到对应角相等，即可推出$AF// CE$。
【解析】
证明：
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $AD// BC$，$AD=CB$，
∴ $∠ ADF=∠ CBE$。
∵ $BF=DE$，
∴ $BF+BD=DE+BD$，即$DF=BE$。
在$△ ADF$和$△ CBE$中：
$\begin{cases}AD=CB,\\∠ ADF=∠ CBE,\\DF=BE,\end{cases}$
∴ $△ ADF≌△ CBE(\mathrm{SAS})$，
∴ $∠ AFD=∠ CEB$，
∴ $AF// CE$。
【答案】
$AF// CE$，得证。
【知识点】
平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定
【点评】
本题属于基础证明题，将平行四边形性质、全等三角形判定、平行线判定结合考查，解题关键是通过线段和的关系得到全等所需的等边，熟练掌握相关性质和判定定理即可快速解答。
【难度系数】
0.7
12. 如图17-37,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=30°,以线段AB为边向外作等边三角形ABD,E是线段AB的中点,连接CE并延长交线段AD于点F.求证:四边形BCFD为平行四边形.
图17-37
图17-37
答案
12.
∵ △ABD 为等边三角形,
∴ AB=AD=BD,∠BAD=60°.
∵ ∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴ ∠ABC=60°.
∴ ∠ABC=∠BAD.
∴ BC//AD.
∵ E 是 AB 的中点,
∴ CE=BE.
∴ △BCE 是等边三角形.
∴ ∠BEC=∠ABD=60°.
∴ BD//CF.
∴ 四边形 BCFD 为平行四边形.
∵ △ABD 为等边三角形,
∴ AB=AD=BD,∠BAD=60°.
∵ ∠ACB=90°,∠CAB=30°,
∴ ∠ABC=60°.
∴ ∠ABC=∠BAD.
∴ BC//AD.
∵ E 是 AB 的中点,
∴ CE=BE.
∴ △BCE 是等边三角形.
∴ ∠BEC=∠ABD=60°.
∴ BD//CF.
∴ 四边形 BCFD 为平行四边形.
解析
【分析】要证明四边形BCFD是平行四边形，可通过证明两组对边分别平行推导结论。首先结合直角△ABC的角度特征和等边△ABD的角度性质，先推导BC与AD的平行关系；再利用直角三角形斜边中线的性质得到等边△BCE，通过角度相等推导BD与CF的平行关系，最终证明两组对边分别平行即可得证。
【解析】
∵ △ABD 为等边三角形，
∴ AB=AD=BD，∠BAD=60°。
∵ ∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴ ∠ABC=180°-90°-30°=60°，
∴ ∠ABC=∠BAD，
∴ BC//AD（内错角相等，两直线平行）。
∵ E 是 AB 的中点，∠ACB=90°，
∴ CE=BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
又
∵ ∠ABC=60°，
∴ △BCE 是等边三角形，
∴ ∠BEC=60°，
∵ △ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴ ∠BEC=∠ABD，
∴ BD//CF（同位角相等，两直线平行）。
∵ BC//AD，BD//CF，即四边形BCFD两组对边分别平行，
∴ 四边形 BCFD 为平行四边形。
【答案】四边形BCFD为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；等边三角形的性质与判定；直角三角形斜边中线性质
【点评】本题属于基础几何证明题，综合考查了特殊三角形的性质和平行四边形的判定，解题核心是通过角度推导得到两组对边分别平行，解题时需注意挖掘中点、特殊角度的隐含条件梳理几何关系。
【难度系数】0.7
【解析】
∵ △ABD 为等边三角形，
∴ AB=AD=BD，∠BAD=60°。
∵ ∠ACB=90°，∠CAB=30°，
∴ ∠ABC=180°-90°-30°=60°，
∴ ∠ABC=∠BAD，
∴ BC//AD（内错角相等，两直线平行）。
∵ E 是 AB 的中点，∠ACB=90°，
∴ CE=BE（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
又
∵ ∠ABC=60°，
∴ △BCE 是等边三角形，
∴ ∠BEC=60°，
∵ △ABD是等边三角形，
∴∠ABD=60°，
∴ ∠BEC=∠ABD，
∴ BD//CF（同位角相等，两直线平行）。
∵ BC//AD，BD//CF，即四边形BCFD两组对边分别平行，
∴ 四边形 BCFD 为平行四边形。
【答案】四边形BCFD为平行四边形
【知识点】平行四边形的判定；等边三角形的性质与判定；直角三角形斜边中线性质
【点评】本题属于基础几何证明题，综合考查了特殊三角形的性质和平行四边形的判定，解题核心是通过角度推导得到两组对边分别平行，解题时需注意挖掘中点、特殊角度的隐含条件梳理几何关系。
【难度系数】0.7
