一、平行四边形的性质
1. 平行四边形的两条对角线分别为6和10，则其中一条边$ x $的取值范围为
（）

A.$ 4＜x＜6 $
B.$ 2＜x＜8 $
C.$ 0＜x＜10 $
D.$ 0＜x＜6 $

1.B

【分析】
解题时首先回忆平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，由此可以先求出两条对角线的一半长度；此时这两条半对角线与平行四边形的任意一条边可构成三角形，再结合三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）即可求出边x的取值范围。
【解析】
∵ 平行四边形的对角线互相平分
∴ 两条对角线的一半长度分别为：$6÷2=3$，$10÷2=5$
∵ 长度为3、5的两条线段与边长为x的边可构成三角形
根据三角形三边关系：两边之差＜第三边＜两边之和
可得：$5-3 ＜ x ＜ 5+3$
即$2 ＜ x ＜ 8$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是平行四边形性质与三角形三边关系结合的典型基础题，解题的核心是利用平行四边形对角线互相平分的性质，将对角线长度转化为三角形的边长，再借助三边关系求解，也是平行四边形相关题型中的常见考法。
【难度系数】
0.8

2. 如图17-1,在$□ ABCD$中,将$△ ADC$沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E处.若$∠ B=60°,AB=3$,则$△ ADE$的周长为 ()

A.12
B.15
C.18
D.21


图17-1
图17-2

2.C

【分析】
解题时可按照以下思路推导：第一步，根据平行四边形的性质，得出已知角∠B对应的对角∠D的度数，以及边AB的对边CD的长度；第二步，结合折叠的性质，得到折叠后对应边相等的关系，进而算出DE的总长度，同时得到AD=AE的等腰关系；第三步，结合∠D=60°和AD=AE的条件，判定△ADE为等边三角形，最后根据等边三角形三边相等的性质计算周长即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=60°，CD=AB=3，
∵△ADC沿AC折叠后，点D落在DC的延长线的点E处，
∴AE=AD，CE=CD=3，
∴DE=CD+CE=3+3=6，
又
∵AD=AE，∠D=60°，
∴△ADE是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AD=AE=DE=6，
∴△ADE的周长=AD+AE+DE=6×3=18。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的性质，折叠的性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是几何基础综合题，将平行四边形、图形折叠、等边三角形的知识点结合考查，解题的核心是通过折叠性质推导得到△ADE的形状，要求熟练掌握常见几何图形的基本性质并灵活运用。
【难度系数】
0.7

3. 如图17-2,在$□ ABCD$中,延长AB至点E,使$BE=AB$,连接DE交BC于点F,则下列结论不一定成立的是 ()

A.$∠ E=∠ CDF$
B.$EF=DF$
C.$AD=2BF$
D.$BE=2CF$

3.D

【分析】
首先回忆平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知BE=AB，可推出BE与CD平行且相等，进而可证明△BEF和△CDF全等，再根据全等三角形的性质逐一验证每个选项是否一定成立，最终选出不一定成立的结论即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD，AD=BC，
∴∠E和∠CDF是直线AB、CD被DE所截的内错角，即∠E=∠CDF，故A选项一定成立，不符合题意；
∵BE=AB，
∴BE=CD，
在△BEF和△CDF中：
$\{\begin{array}{l}∠ E=∠ CDF\\ ∠ BFE=∠ CFD\\ BE=CD\end{array} $
∴△BEF≌△CDF（AAS），
∴EF=DF，BF=CF，故B选项一定成立，不符合题意；
∵BC=BF+CF=2BF，且AD=BC，
∴AD=2BF，故C选项一定成立，不符合题意；
∵BE=AB，CF=$\frac{1}{2}$BC，而平行四边形中AB和BC的长度不一定相等，
∴BE不一定等于2CF，故D选项不一定成立，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形和全等三角形的综合题，解题的关键是先利用平行四边形的边的性质推导得到全等三角形，再结合全等的对应边、对应角相等的性质判断选项，做题时要注意题干要求选“不一定成立”的结论，避免因审题失误出错。
【难度系数】
0.7

4. 如图17-3, 在$□ ABCD$中, $∠ B = 110°$, 延长AD至点F, 延长CD至点E, 连接EF, 则$∠ E+∠ F$等于 ()

A.$110°$
B.$30°$
C.$50°$
D.$70°$


图17-3
图17-4

4.D

【分析】
解题时首先结合平行四边形的性质找到已知角∠B的对应等角，再结合对顶角相等得到△DEF中一个内角的度数，最后利用三角形内角和定理即可求出∠E与∠F的和。第一步：回忆平行四边形对角相等的性质，可得到∠ADC与∠B相等；第二步：∠EDF与∠ADC是对顶角，二者相等，由此得到△DEF中∠EDF的度数；第三步：根据三角形内角和为180°，用180°减去∠EDF的度数就能得到∠E+∠F的结果。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ADC=∠B=110°（平行四边形的对角相等）。
∵∠EDF与∠ADC是对顶角，
∴∠EDF=∠ADC=110°。
在△DEF中，根据三角形内角和定理得：
∠E+∠F=180°-∠EDF=180°-110°=70°。
故选：D。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形的性质；对顶角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是平行四边形性质与三角形内角和的基础综合题，解题关键是熟练掌握相关几何性质，找到已知角和待求角之间的关联。
【难度系数】
0.8

5. 如图17-4,在$□ ABCD$中,$AB=2$,$BC=3$.以点C为圆心,适当长为半径画弧,交BC于点P,交CD于点Q,再分别以点P,Q为圆心,大于$\frac{1}{2}PQ$的长为半径画弧,两弧相交于点N,射线CN交BA的延长线于点E,则AE的长是 ()

A.$\frac{1}{2}$
B.1
C.$\frac{6}{5}$
D.$\frac{3}{2}$

5.B
提示:由题意可知,CE是∠BCD的平分线,
∴ ∠BCE = ∠DCE.
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB// CD.
∴ ∠DCE = ∠E.
∴ ∠BCE = ∠E.
∴ BE = BC=3.
∵ AB=2,
∴ AE=BE-AB=1.

【分析】
解题时首先识别题中的尺规作图属于角平分线的作法，可得出CE平分∠BCD；再结合平行四边形对边平行的性质，得到内错角相等，通过角的等量代换推出等角，利用等角对等边得到BE与BC长度相等，最后通过线段的和差关系计算AE的长度即可。
【解析】
由尺规作图的步骤可知，CE是∠BCD的平分线，
∴ ∠BCE = ∠DCE，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，
∴ ∠DCE = ∠E（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠BCE = ∠E，
∴ BE = BC = 3（等角对等边），
又
∵ AB = 2，
∴ AE = BE - AB = 3 - 2 = 1。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的尺规作图、平行四边形的性质、等腰三角形的判定
【点评】
本题属于基础综合题，解题关键是先识别尺规作图得到角平分线，再结合平行线的性质和等腰三角形的判定求出BE的长度，最终通过线段差得到结果，重点考查学生对基础知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.8

6. 如图17-5,在$□ ABCD$中,对角线AC,BD相交于点O,过点O的一条直线分别交AD,BC于点E,F.求证:$AE=CF.$

图17-5

6.
∵ ▱ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O,
∴ AO = CO, AD // BC.
∴ ∠EAO = ∠FCO. 在
$△ AOE$ 和 $△ COF$ 中, $\begin{cases} ∠ EAO=∠ FCO,\\ AO=CO,\\ ∠ AOE=∠ COF, \end{cases}$
∴ $△ AOE≌△ COF(\mathrm{ASA}).$
∴ AE=CF.

【分析】
要证明$AE=CF$，可通过证明两条线段所在的$△ AOE$和$△ COF$全等来推导。首先结合平行四边形的性质，可得对角线互相平分即$AO=CO$，且对边$AD// BC$，进而得到一组内错角相等，再搭配对顶角相等的条件，即可用ASA判定两个三角形全等，最后根据全等三角形对应边相等得出结论。
【解析】
证明：$\because □ ABCD$的对角线$AC$、$BD$交于点$O$，
$\therefore AO = CO$，$AD// BC$，
$\therefore ∠ EAO = ∠ FCO$。
在$△ AOE$和$△ COF$中：
$\begin{cases} ∠ EAO=∠ FCO,\\ AO=CO,\\ ∠ AOE=∠ COF, \end{cases}$
$\therefore △ AOE≌△ COF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE=CF$。
【答案】
$AE=CF$
【知识点】
平行四边形的性质；全等三角形的判定；全等三角形的性质
【点评】
本题是平行四边形与全等三角形结合的基础典型题，解题关键是熟练运用平行四边形的性质找到全等三角形的判定条件，通过证三角形全等得到对应边相等，侧重考察基础性质的应用能力。
【难度系数】
0.8