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16. 若实数 $ x,y $ 满足 $ |x - 4| + \sqrt{y - 8} = 0 $，则以 $ x,y $ 的值为边长的等腰三角形的周长为
$20$
。答案
16.20 [解析]根据题意,得 $ x-4=0,y-8=0 $,解得 $ x=4,y=8 $。①当 4 是腰长时,三角形的三边分别为 4,4,8。$ \because 4+4=8,\therefore $ 不能组成三角形；②当 4 是底边时,三角形的三边分别为 4,8,8,能组成三角形,周长 $ =8+8+4=20 $。综上所述,等腰三角形的周长为 20。
易错警示 注意分情况讨论后,第①种情况不能构成三角形,需要舍去。
易错警示 注意分情况讨论后,第①种情况不能构成三角形,需要舍去。
解析
【分析】
解题首先从已知等式入手，我们知道绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数相加得0，说明每个非负数都为0，据此先求出x、y的值；接下来结合等腰三角形两腰相等的特点，分两种情况讨论边长组合：一种是4为腰长，另一种是4为底边长；最后每种组合都要用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，舍去不符合的情况，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
根据非负数的性质，由$|x - 4| + \sqrt{y - 8} = 0$可得：
$x-4=0$，$y-8=0$，
解得$x=4$，$y=8$。
分情况讨论等腰三角形的边长：
① 当4为腰长时，三角形三边长分别为4、4、8，
$\because 4+4=8$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，$\therefore$ 该组合不能构成三角形，需舍去；
② 当4为底边长时，三角形三边长分别为4、8、8，
$\because 4+8＞8$，$8+8＞4$，满足三角形三边关系，可以构成三角形，
此时周长为$4+8+8=20$。
综上，该等腰三角形的周长为20。
【答案】
20
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题的关键在于两点：一是熟练掌握非负数和为0的运算规律，二是针对等腰三角形的边长分类讨论后，必须验证三边是否满足三角形的构成条件，避免因忽略验证而导致错解。
【难度系数】
0.7
解题首先从已知等式入手，我们知道绝对值和算术平方根都具有非负性，两个非负数相加得0，说明每个非负数都为0，据此先求出x、y的值；接下来结合等腰三角形两腰相等的特点，分两种情况讨论边长组合：一种是4为腰长，另一种是4为底边长；最后每种组合都要用三角形三边关系（两边之和大于第三边）验证是否能构成三角形，舍去不符合的情况，计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
根据非负数的性质，由$|x - 4| + \sqrt{y - 8} = 0$可得：
$x-4=0$，$y-8=0$，
解得$x=4$，$y=8$。
分情况讨论等腰三角形的边长：
① 当4为腰长时，三角形三边长分别为4、4、8，
$\because 4+4=8$，不满足三角形两边之和大于第三边的要求，$\therefore$ 该组合不能构成三角形，需舍去；
② 当4为底边长时，三角形三边长分别为4、8、8，
$\because 4+8＞8$，$8+8＞4$，满足三角形三边关系，可以构成三角形，
此时周长为$4+8+8=20$。
综上，该等腰三角形的周长为20。
【答案】
20
【知识点】
非负数的性质；等腰三角形的性质；三角形三边关系
【点评】
本题是代数与几何的综合基础题，解题的关键在于两点：一是熟练掌握非负数和为0的运算规律，二是针对等腰三角形的边长分类讨论后，必须验证三边是否满足三角形的构成条件，避免因忽略验证而导致错解。
【难度系数】
0.7
17.已知$\sqrt{13}$的整数部分是$a$，$\sqrt{5}$的小数部分是$b$，则$a+b=$
$1+\sqrt{5}$
答案
17.$1+\sqrt{5}$
解析
【分析】
解题核心是先通过平方法估算无理数的取值范围，再根据范围确定无理数的整数部分和小数部分：整数部分是取值范围中较小的正整数，小数部分是原无理数减去自身的整数部分。具体思路为：先估算$\sqrt{13}$的范围求出$a$，再估算$\sqrt{5}$的范围求出$b$，最后代入$a+b$计算结果。
【解析】
1. 求$a$的值：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，所以$3＜\sqrt{13}＜4$，因此$\sqrt{13}$的整数部分$a=3$。
2. 求$b$的值：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，因此$\sqrt{5}$的整数部分是2，小数部分$b=\sqrt{5}-2$。
3. 计算$a+b$：
$a+b=3+(\sqrt{5}-2)=1+\sqrt{5}$。
【答案】
$1+\sqrt{5}$
【知识点】
无理数的估算；实数的运算
【点评】
本题重点考查无理数整数、小数部分的确定方法，解题关键是掌握用平方法估算无理数的大致范围，再按定义求出对应部分后代入计算即可，属于基础类运算题。
【难度系数】
0.7
解题核心是先通过平方法估算无理数的取值范围，再根据范围确定无理数的整数部分和小数部分：整数部分是取值范围中较小的正整数，小数部分是原无理数减去自身的整数部分。具体思路为：先估算$\sqrt{13}$的范围求出$a$，再估算$\sqrt{5}$的范围求出$b$，最后代入$a+b$计算结果。
【解析】
1. 求$a$的值：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，所以$3＜\sqrt{13}＜4$，因此$\sqrt{13}$的整数部分$a=3$。
2. 求$b$的值：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，且$4＜5＜9$，所以$2＜\sqrt{5}＜3$，因此$\sqrt{5}$的整数部分是2，小数部分$b=\sqrt{5}-2$。
3. 计算$a+b$：
$a+b=3+(\sqrt{5}-2)=1+\sqrt{5}$。
【答案】
$1+\sqrt{5}$
【知识点】
无理数的估算；实数的运算
【点评】
本题重点考查无理数整数、小数部分的确定方法，解题关键是掌握用平方法估算无理数的大致范围，再按定义求出对应部分后代入计算即可，属于基础类运算题。
【难度系数】
0.7
18.定义:对于实数$a$,我们规定:$[\sqrt{a}]$表示不小于$\sqrt{a}$的最小整数,例如$[\sqrt{9}]=3,[\sqrt{11}]=4$.若$[\sqrt{4+n}]=4$,则$n$的取值范围为
$5＜n≤ 12$
.答案
18.$5＜n≤ 12$ [解析]$ \because [\sqrt{4+n}]=4 $，$ \therefore 3＜\sqrt{4+n}≤ 4 $，$ \therefore 9＜4+n≤ 16 $，$ \therefore 9-4＜4+n-4≤ 16-4,\therefore 5＜n≤ 12 $。
解析
【分析】
首先要准确理解题目给出的新定义：$[\sqrt{a}]$表示不小于$\sqrt{a}$的最小整数。已知$[\sqrt{4+n}]=4$，说明不小于$\sqrt{4+n}$的最小整数是4，由此可得$\sqrt{4+n}$的取值范围是大于3且小于等于4（若$\sqrt{4+n}≤3$，则最小整数会≤3；若$\sqrt{4+n}＞4$，则最小整数会≥5，均不符合题意）。接下来利用不等式的性质，对三边同时平方去掉根号，再解关于$n$的一元一次不等式即可得到$n$的取值范围。
【解析】
$\because [\sqrt{4+n}]=4$，根据新定义可得：
$3 ＜ \sqrt{4+n} ≤ 4$
$\because$ 不等式三边均为非负数，同时平方后不等号方向不变，得：
$3^2 ＜ 4+n ≤ 4^2$
即$9 ＜ 4+n ≤ 16$
不等式三边同时减去4，得：
$9-4 ＜ n ≤ 16-4$
$\therefore 5 ＜ n ≤ 12$
【答案】
$5 ＜ n ≤ 12$
【知识点】
新定义运算，无理数估值，解不等式
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是将陌生的新定义运算转化为熟悉的不等式问题，解题时要注意根据定义准确确定不等号的方向，避免因边界取值错误导致失分。
【难度系数】
0.7
首先要准确理解题目给出的新定义：$[\sqrt{a}]$表示不小于$\sqrt{a}$的最小整数。已知$[\sqrt{4+n}]=4$，说明不小于$\sqrt{4+n}$的最小整数是4，由此可得$\sqrt{4+n}$的取值范围是大于3且小于等于4（若$\sqrt{4+n}≤3$，则最小整数会≤3；若$\sqrt{4+n}＞4$，则最小整数会≥5，均不符合题意）。接下来利用不等式的性质，对三边同时平方去掉根号，再解关于$n$的一元一次不等式即可得到$n$的取值范围。
【解析】
$\because [\sqrt{4+n}]=4$，根据新定义可得：
$3 ＜ \sqrt{4+n} ≤ 4$
$\because$ 不等式三边均为非负数，同时平方后不等号方向不变，得：
$3^2 ＜ 4+n ≤ 4^2$
即$9 ＜ 4+n ≤ 16$
不等式三边同时减去4，得：
$9-4 ＜ n ≤ 16-4$
$\therefore 5 ＜ n ≤ 12$
【答案】
$5 ＜ n ≤ 12$
【知识点】
新定义运算，无理数估值，解不等式
【点评】
本题属于新定义类题型，核心是将陌生的新定义运算转化为熟悉的不等式问题，解题时要注意根据定义准确确定不等号的方向，避免因边界取值错误导致失分。
【难度系数】
0.7
19. 已知 a 为实数,求代数式$\sqrt{a+2}-\sqrt{8-4a}+\sqrt{-a^2}$的值.
答案
19.原式$=-\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要计算该代数式的值，首先需明确二次根式有意义的前提是被开方数为非负数。观察代数式中含有$\sqrt{-a^2}$，结合平方数的非负性可先确定a的取值，再将a的值代入原式化简计算即可得到结果。
【解析】
解：根据二次根式被开方数为非负数的性质，可得：
$\begin{cases}a+2≥0 \\8-4a≥0 \\-a^2≥0\end{cases}$
由$-a^2≥0$可得$a^2≤0$，又因为任意实数的平方均为非负数，即$a^2≥0$，因此仅当$a^2=0$时两个条件同时成立，即$a=0$。
将$a=0$代入原式：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{0+2}-\sqrt{8-4×0}+\sqrt{-0^2} \\&=\sqrt{2}-\sqrt{8}+0 \\&=\sqrt{2}-2\sqrt{2} \\&=-\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；非负数的性质
【点评】
本题的解题突破口是结合$\sqrt{-a^2}$的被开方数限制以及平方数的非负性确定a的取值，无需对复杂根式进行变形，先确定未知参数取值再代入计算即可，是二次根式计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
要计算该代数式的值，首先需明确二次根式有意义的前提是被开方数为非负数。观察代数式中含有$\sqrt{-a^2}$，结合平方数的非负性可先确定a的取值，再将a的值代入原式化简计算即可得到结果。
【解析】
解：根据二次根式被开方数为非负数的性质，可得：
$\begin{cases}a+2≥0 \\8-4a≥0 \\-a^2≥0\end{cases}$
由$-a^2≥0$可得$a^2≤0$，又因为任意实数的平方均为非负数，即$a^2≥0$，因此仅当$a^2=0$时两个条件同时成立，即$a=0$。
将$a=0$代入原式：
$\begin{aligned}原式&=\sqrt{0+2}-\sqrt{8-4×0}+\sqrt{-0^2} \\&=\sqrt{2}-\sqrt{8}+0 \\&=\sqrt{2}-2\sqrt{2} \\&=-\sqrt{2}\end{aligned}$
【答案】
$-\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式有意义的条件；二次根式的化简；非负数的性质
【点评】
本题的解题突破口是结合$\sqrt{-a^2}$的被开方数限制以及平方数的非负性确定a的取值，无需对复杂根式进行变形，先确定未知参数取值再代入计算即可，是二次根式计算的典型题型。
【难度系数】
0.6
20. “欲穷千里目，更上一层楼”，说的是登得高看得远，若观测点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d，则$d=\sqrt{2hR}$，其中R是地球半径（通常取6 400 km）。如图，小丽站在海边一块岩石上，眼睛离海平面的高度h为20 m，她观测到远处一艘船刚露出海平面，求此时d的值。
答案
20.由 $ R=6\ 400\ \mathrm{km},h=0.02\ \mathrm{km} $,得 $ d=\sqrt{2hR}=\sqrt{2× 0.02× 6\ 400}=\sqrt{256}=16(\mathrm{km}) $. 故此时 $ d $ 的值为 16 km.
解析
【分析】
本题已给出观测最远距离的计算公式，解题首先要统一单位：题目中地球半径R的单位是km，给出的高度h单位是m，需先将h换算成以km为单位的数值，再把R和换算后的h代入公式，最后计算算术平方根就能得到d的值。
【解析】
先进行单位换算：$20\ \mathrm{m}=0.02\ \mathrm{km}$，已知$R=6400\ \mathrm{km}$，$h=0.02\ \mathrm{km}$，代入公式$d=\sqrt{2hR}$得：
$d=\sqrt{2×0.02×6400}$
先计算根号内的乘积：$2×0.02×6400=256$
再计算算术平方根：$\sqrt{256}=16$，单位为$\mathrm{km}$。
【答案】
16 km
【知识点】
代数式求值，单位换算，算术平方根计算
【点评】
本题结合生活实际考查基础代数计算，难度较低，解题的易错点是忘记统一单位，计算时需细心。
【难度系数】
0.8
本题已给出观测最远距离的计算公式，解题首先要统一单位：题目中地球半径R的单位是km，给出的高度h单位是m，需先将h换算成以km为单位的数值，再把R和换算后的h代入公式，最后计算算术平方根就能得到d的值。
【解析】
先进行单位换算：$20\ \mathrm{m}=0.02\ \mathrm{km}$，已知$R=6400\ \mathrm{km}$，$h=0.02\ \mathrm{km}$，代入公式$d=\sqrt{2hR}$得：
$d=\sqrt{2×0.02×6400}$
先计算根号内的乘积：$2×0.02×6400=256$
再计算算术平方根：$\sqrt{256}=16$，单位为$\mathrm{km}$。
【答案】
16 km
【知识点】
代数式求值，单位换算，算术平方根计算
【点评】
本题结合生活实际考查基础代数计算，难度较低，解题的易错点是忘记统一单位，计算时需细心。
【难度系数】
0.8
21.已知a的立方根是3，b的算术平方根是4，一个正数c的两个平方根分别是d+1和2d-7，求a+b-2c的平方根.
答案
21.$ \because a $ 的立方根是 3,$ b $ 的算术平方根是 4,$ \therefore a=27,b=16 $。$ \because $ 一个正数 $ c $ 的两个平方根分别是 $ d+1 $ 和 $ 2d-7 $,$ \therefore d+1+2d-7=0 $,解得 $ d=2 $,$ \therefore c=(2+1)^2=9 $,$ \therefore a+b-2c=27+16-2× 9=25 $,$ \therefore a+b-2c $ 的平方根是 $ \pm 5 $。
解析
【分析】
解题时可分四步思考：第一步，根据立方根的定义，已知a的立方根是3，即可求出a的值；第二步，根据算术平方根的定义，已知b的算术平方根是4，即可求出b的值；第三步，利用正数的两个平方根互为相反数的性质，两个平方根的和为0，列方程求出d的值，再代入平方根计算平方即可得到c的值；第四步，将a、b、c的值代入a+b-2c算出结果，再求该结果的平方根即可。
【解析】
解：
∵a的立方根是3，
∴$a=3^3=27$，
∵b的算术平方根是4，
∴$b=4^2=16$，
∵正数c的两个平方根分别是$d+1$和$2d-7$，正数的两个平方根互为相反数，
∴$d+1+2d-7=0$，
解得$d=2$，
∴$c=(d+1)^2=(2+1)^2=9$，
∴$a+b-2c=27+16-2×9=25$，
∵25的平方根是$\pm5$，
∴$a+b-2c$的平方根是$\pm5$。
【答案】
$\pm5$
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题属于实数概念的基础综合题，解题关键是准确掌握各类根的概念及性质，注意区分平方根和算术平方根的差异，避免漏写平方根的负号。
【难度系数】
0.8
解题时可分四步思考：第一步，根据立方根的定义，已知a的立方根是3，即可求出a的值；第二步，根据算术平方根的定义，已知b的算术平方根是4，即可求出b的值；第三步，利用正数的两个平方根互为相反数的性质，两个平方根的和为0，列方程求出d的值，再代入平方根计算平方即可得到c的值；第四步，将a、b、c的值代入a+b-2c算出结果，再求该结果的平方根即可。
【解析】
解：
∵a的立方根是3，
∴$a=3^3=27$，
∵b的算术平方根是4，
∴$b=4^2=16$，
∵正数c的两个平方根分别是$d+1$和$2d-7$，正数的两个平方根互为相反数，
∴$d+1+2d-7=0$，
解得$d=2$，
∴$c=(d+1)^2=(2+1)^2=9$，
∴$a+b-2c=27+16-2×9=25$，
∵25的平方根是$\pm5$，
∴$a+b-2c$的平方根是$\pm5$。
【答案】
$\pm5$
【知识点】
立方根的定义；算术平方根的定义；平方根的性质
【点评】
本题属于实数概念的基础综合题，解题关键是准确掌握各类根的概念及性质，注意区分平方根和算术平方根的差异，避免漏写平方根的负号。
【难度系数】
0.8
