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22. 新考法 归纳一般结论 求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如$\sqrt{4}$，有些数则不能直接求得，如$\sqrt{5}$，但可以通过计算器求得。还有一种方法可以通过一组数的内在联系，运用规律求得，请同学们观察下表：
（1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：
已知$\sqrt{2.06} \approx 1.435$，求下列各数的算术平方根：①0.020 6；②206；③20 600。
（1）表中所给的信息中，你能发现什么规律？（请将规律用文字表达出来）
（2）运用你发现的规律，探究下列问题：
已知$\sqrt{2.06} \approx 1.435$，求下列各数的算术平方根：①0.020 6；②206；③20 600。
答案
22.(1)被开方数扩大或缩小 $ 10^{2n} $ 倍,这个非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小 $ 10^n $ 倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动 $ 2n $ 位,算术平方根的小数点就向左或向右移动 $ n $ 位。
(2)①0.143 5；②14.35；③143.5。
(2)①0.143 5；②14.35；③143.5。
解析
【分析】
解决第(1)问时，可先逐组对比表格中被开方数$n$的小数点变化情况，以及对应算术平方根$\sqrt{n}$的小数点变化情况，寻找两者变化的共性，就能总结出规律；解决第(2)问时，先分别确定三个待求算术平方根的被开方数，和已知的$\sqrt{2.06}$的被开方数2.06相比，小数点移动的方向和位数，再套用第(1)问得到的规律，对应移动1.435的小数点即可得到结果。
【解析】
(1) 对比表格数据：
当被开方数16的小数点向左移动2位得到0.16时，算术平方根4的小数点向左移动1位得到0.4；
当16的小数点向左移动4位得到0.0016时，4的小数点向左移动2位得到0.04；
当16的小数点向右移动2位得到1600时，4的小数点向右移动1位得到40；
当16的小数点向右移动4位得到160000时，4的小数点向右移动2位得到400；
由此可总结规律：被开方数的小数点向左或向右移动$2n$位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动$n$位（$n$为正整数），也可表述为：被开方数扩大或缩小$10^{2n}$倍，其非负算术平方根就相应扩大或缩小$10^n$倍。
(2) 已知$\sqrt{2.06} \approx 1.435$，根据上述规律计算：
①0.0206是将2.06的小数点向左移动2位得到的，所以它的算术平方根要将1.435的小数点向左移动1位，即$\sqrt{0.0206}\approx0.1435$；
②206是将2.06的小数点向右移动2位得到的，所以它的算术平方根要将1.435的小数点向右移动1位，即$\sqrt{206}\approx14.35$；
③20600是将2.06的小数点向右移动4位得到的，所以它的算术平方根要将1.435的小数点向右移动2位，即$\sqrt{20600}\approx143.5$。
【答案】
(1) 被开方数扩大或缩小$10^{2n}$倍，这个非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小$10^n$倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动$2n$位，算术平方根的小数点就向左或向右移动$n$位（$n$为正整数）。
(2) ①0.1435；②14.35；③143.5
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 小数点移动规律
3. 规律探究应用
【点评】
本题侧重考查观察归纳能力和规律迁移应用能力，体现了从特殊到一般的数学思想，掌握该规律可快速求解同类算术平方根问题，无需借助计算器计算，是算术平方根相关计算的实用技巧。
【难度系数】
0.7
解决第(1)问时，可先逐组对比表格中被开方数$n$的小数点变化情况，以及对应算术平方根$\sqrt{n}$的小数点变化情况，寻找两者变化的共性，就能总结出规律；解决第(2)问时，先分别确定三个待求算术平方根的被开方数，和已知的$\sqrt{2.06}$的被开方数2.06相比，小数点移动的方向和位数，再套用第(1)问得到的规律，对应移动1.435的小数点即可得到结果。
【解析】
(1) 对比表格数据：
当被开方数16的小数点向左移动2位得到0.16时，算术平方根4的小数点向左移动1位得到0.4；
当16的小数点向左移动4位得到0.0016时，4的小数点向左移动2位得到0.04；
当16的小数点向右移动2位得到1600时，4的小数点向右移动1位得到40；
当16的小数点向右移动4位得到160000时，4的小数点向右移动2位得到400；
由此可总结规律：被开方数的小数点向左或向右移动$2n$位，它的算术平方根的小数点就相应地向左或向右移动$n$位（$n$为正整数），也可表述为：被开方数扩大或缩小$10^{2n}$倍，其非负算术平方根就相应扩大或缩小$10^n$倍。
(2) 已知$\sqrt{2.06} \approx 1.435$，根据上述规律计算：
①0.0206是将2.06的小数点向左移动2位得到的，所以它的算术平方根要将1.435的小数点向左移动1位，即$\sqrt{0.0206}\approx0.1435$；
②206是将2.06的小数点向右移动2位得到的，所以它的算术平方根要将1.435的小数点向右移动1位，即$\sqrt{206}\approx14.35$；
③20600是将2.06的小数点向右移动4位得到的，所以它的算术平方根要将1.435的小数点向右移动2位，即$\sqrt{20600}\approx143.5$。
【答案】
(1) 被开方数扩大或缩小$10^{2n}$倍，这个非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小$10^n$倍；或者说成被开方数的小数点向左或向右移动$2n$位，算术平方根的小数点就向左或向右移动$n$位（$n$为正整数）。
(2) ①0.1435；②14.35；③143.5
【知识点】
1. 算术平方根的性质
2. 小数点移动规律
3. 规律探究应用
【点评】
本题侧重考查观察归纳能力和规律迁移应用能力，体现了从特殊到一般的数学思想，掌握该规律可快速求解同类算术平方根问题，无需借助计算器计算，是算术平方根相关计算的实用技巧。
【难度系数】
0.7
23. 新考法 解题方法型阅读理解题 阅读下面的文字，解答问题.
大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 $\sqrt{2} -1$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.
请解答：
(1) 求 $\sqrt{5} +2$ 的整数部分和小数部分；
(2) 已知 $10+\sqrt{3}=x+y$，其中 $x$ 是整数，且 $0＜y＜1$，请确定 $x-y$ 的相反数的值.
大家知道 $\sqrt{2}$ 是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此 $\sqrt{2}$ 的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用 $\sqrt{2} -1$ 来表示 $\sqrt{2}$ 的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为 $\sqrt{2}$ 的整数部分是1，用这个数减去其整数部分，差就是小数部分.
请解答：
(1) 求 $\sqrt{5} +2$ 的整数部分和小数部分；
(2) 已知 $10+\sqrt{3}=x+y$，其中 $x$ 是整数，且 $0＜y＜1$，请确定 $x-y$ 的相反数的值.
答案
23.(1)$ \because 4＜5＜9,\therefore 2＜\sqrt{5}＜3 $。$ \therefore \sqrt{5} $ 的整数部分是 2,小数部分是 $ \sqrt{5}-2 $。$ \therefore \sqrt{5}+2 $ 的整数部分是 $ 2+2=4 $,小数部分是 $ \sqrt{5}-2 $。
(2)$ \because \sqrt{3} $ 的整数部分是 1,小数部分是 $ \sqrt{3}-1 $,$ \therefore 10+\sqrt{3} $ 的整数部分是 $ 10+1=11 $,小数部分是 $ \sqrt{3}-1 $,$ \therefore x=11,y=\sqrt{3}-1 $,$ \therefore x-y $ 的相反数为 $ y-x=\sqrt{3}-12 $。
(2)$ \because \sqrt{3} $ 的整数部分是 1,小数部分是 $ \sqrt{3}-1 $,$ \therefore 10+\sqrt{3} $ 的整数部分是 $ 10+1=11 $,小数部分是 $ \sqrt{3}-1 $,$ \therefore x=11,y=\sqrt{3}-1 $,$ \therefore x-y $ 的相反数为 $ y-x=\sqrt{3}-12 $。
解析
【分析】
解决这类问题的核心思路是先用夹逼法估算无理数的取值范围，确定其整数部分，再根据“小数部分=原数-整数部分”得到小数部分，最后结合题目要求完成后续计算。第(1)问先估算$\sqrt{5}$的范围，再推导$\sqrt{5}+2$的整数和小数部分；第(2)问先估算$\sqrt{3}$的范围，得到$10+\sqrt{3}$的整数部分$x$和小数部分$y$，再计算$x-y$的相反数即可。
【解析】
(1) 因为$4＜5＜9$，对不等式同时开平方可得$2＜\sqrt{5}＜3$，因此$\sqrt{5}$的整数部分是2，小数部分是$\sqrt{5}-2$。
给$\sqrt{5}$加整数2后，整数部分增加2，小数部分不变，所以$\sqrt{5}+2$的整数部分为$2+2=4$，小数部分为$\sqrt{5}-2$。
(2) 因为$1＜3＜4$，对不等式同时开平方可得$1＜\sqrt{3}＜2$，因此$\sqrt{3}$的整数部分是1，小数部分是$\sqrt{3}-1$。
所以$10+\sqrt{3}$的整数部分为$10+1=11$，小数部分为$\sqrt{3}-1$。
结合题意“$x$是整数，且$0＜y＜1$”，可得$x=11$，$y=\sqrt{3}-1$。
$x-y$的相反数为$-(x-y)=y-x$，代入数值计算得：$y-x=(\sqrt{3}-1)-11=\sqrt{3}-12$。
【答案】
(1) 整数部分是$4$，小数部分是$\sqrt{5}-2$；
(2) $\sqrt{3}-12$
【知识点】
无理数的估算；实数的组成；相反数的定义
【点评】
本题属于阅读理解类题型，解题关键是掌握夹逼法估算无理数范围的方法，牢记“一个数的小数部分等于原数减去它的整数部分”的核心规律，侧重对解题方法迁移应用能力的考查，运算难度较低。
【难度系数】
0.7
解决这类问题的核心思路是先用夹逼法估算无理数的取值范围，确定其整数部分，再根据“小数部分=原数-整数部分”得到小数部分，最后结合题目要求完成后续计算。第(1)问先估算$\sqrt{5}$的范围，再推导$\sqrt{5}+2$的整数和小数部分；第(2)问先估算$\sqrt{3}$的范围，得到$10+\sqrt{3}$的整数部分$x$和小数部分$y$，再计算$x-y$的相反数即可。
【解析】
(1) 因为$4＜5＜9$，对不等式同时开平方可得$2＜\sqrt{5}＜3$，因此$\sqrt{5}$的整数部分是2，小数部分是$\sqrt{5}-2$。
给$\sqrt{5}$加整数2后，整数部分增加2，小数部分不变，所以$\sqrt{5}+2$的整数部分为$2+2=4$，小数部分为$\sqrt{5}-2$。
(2) 因为$1＜3＜4$，对不等式同时开平方可得$1＜\sqrt{3}＜2$，因此$\sqrt{3}$的整数部分是1，小数部分是$\sqrt{3}-1$。
所以$10+\sqrt{3}$的整数部分为$10+1=11$，小数部分为$\sqrt{3}-1$。
结合题意“$x$是整数，且$0＜y＜1$”，可得$x=11$，$y=\sqrt{3}-1$。
$x-y$的相反数为$-(x-y)=y-x$，代入数值计算得：$y-x=(\sqrt{3}-1)-11=\sqrt{3}-12$。
【答案】
(1) 整数部分是$4$，小数部分是$\sqrt{5}-2$；
(2) $\sqrt{3}-12$
【知识点】
无理数的估算；实数的组成；相反数的定义
【点评】
本题属于阅读理解类题型，解题关键是掌握夹逼法估算无理数范围的方法，牢记“一个数的小数部分等于原数减去它的整数部分”的核心规律，侧重对解题方法迁移应用能力的考查，运算难度较低。
【难度系数】
0.7
