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一、选择题
1. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为(
A.2a
B.$2\sqrt{2}a$
C.3a
D.$\frac{4\sqrt{3}}{3}a$
1. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,E是AB的中点,CD=DE=a,则AB的长为(
B
).A.2a
B.$2\sqrt{2}a$
C.3a
D.$\frac{4\sqrt{3}}{3}a$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先观察题目条件，出现直角三角形和斜边中点，优先联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，因此要求AB的长，可先求斜边中线CE的长度；再结合CD⊥AB、CD=DE=a的条件，可知△CDE是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出CE的长度，最后结合斜边中线与AB的关系求出AB即可。
【解析】
解：
∵CD⊥AB，垂足为D，
∴∠CDE=90°，
在Rt△CDE中，CD=DE=a，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点，
∴CE是Rt△ABC斜边AB的中线，根据直角三角形斜边中线的性质可得：
$CE=\frac{1}{2}AB$，
∴$AB=2CE=2×\sqrt{2}a=2\sqrt{2}a$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、勾股定理
【点评】
本题是直角三角形性质与勾股定理的综合应用题，解题的突破口是利用斜边中线的性质将求AB的问题转化为求CE的问题，解题思路清晰，是对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察题目条件，出现直角三角形和斜边中点，优先联想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，因此要求AB的长，可先求斜边中线CE的长度；再结合CD⊥AB、CD=DE=a的条件，可知△CDE是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出CE的长度，最后结合斜边中线与AB的关系求出AB即可。
【解析】
解：
∵CD⊥AB，垂足为D，
∴∠CDE=90°，
在Rt△CDE中，CD=DE=a，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{CD^2+DE^2}=\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2}a$，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，E是AB的中点，
∴CE是Rt△ABC斜边AB的中线，根据直角三角形斜边中线的性质可得：
$CE=\frac{1}{2}AB$，
∴$AB=2CE=2×\sqrt{2}a=2\sqrt{2}a$。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形斜边中线性质、勾股定理
【点评】
本题是直角三角形性质与勾股定理的综合应用题，解题的突破口是利用斜边中线的性质将求AB的问题转化为求CE的问题，解题思路清晰，是对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
2.分别以下列四组数为一个三角形的三边的长:①6,8,10;②5,12,13;③8,15,17;④7,8,9.其中能构成直角三角形的有(
A.4组
B.3组
C.2组
D.1组
B
).A.4组
B.3组
C.2组
D.1组
答案
2.B
解析
【分析】
要判断给定三边能否构成直角三角形，需用到勾股定理的逆定理：如果三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。解题时先找出每组数中的最长边，再计算另外两条短边的平方和，将其与最长边的平方比较，若相等则能构成直角三角形，反之不能。
【解析】
根据勾股定理的逆定理逐一验证：
① 最长边为10，$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$，则$6^2 + 8^2 = 10^2$，能构成直角三角形；
② 最长边为13，$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$，则$5^2 + 12^2 = 13^2$，能构成直角三角形；
③ 最长边为17，$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$，$17^2 = 289$，则$8^2 + 15^2 = 17^2$，能构成直角三角形；
④ 最长边为9，$7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$，$9^2 = 81$，$113 ≠ 81$，不能构成直角三角形。
综上，能构成直角三角形的有①②③，共3组。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题，解题核心是先确定最长边，再验证两短边平方和是否等于最长边的平方，熟记常见的勾股数可以提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要判断给定三边能否构成直角三角形，需用到勾股定理的逆定理：如果三角形两条较短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。解题时先找出每组数中的最长边，再计算另外两条短边的平方和，将其与最长边的平方比较，若相等则能构成直角三角形，反之不能。
【解析】
根据勾股定理的逆定理逐一验证：
① 最长边为10，$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$，$10^2 = 100$，则$6^2 + 8^2 = 10^2$，能构成直角三角形；
② 最长边为13，$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$，$13^2 = 169$，则$5^2 + 12^2 = 13^2$，能构成直角三角形；
③ 最长边为17，$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$，$17^2 = 289$，则$8^2 + 15^2 = 17^2$，能构成直角三角形；
④ 最长边为9，$7^2 + 8^2 = 49 + 64 = 113$，$9^2 = 81$，$113 ≠ 81$，不能构成直角三角形。
综上，能构成直角三角形的有①②③，共3组。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理逆定理的基础应用题，解题核心是先确定最长边，再验证两短边平方和是否等于最长边的平方，熟记常见的勾股数可以提升解题效率。
【难度系数】
0.8
3. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$CM$平分$∠ ACB$交$AB$于点$M$,过点$M$作$MN// BC$交$AC$于点$N$,且$MN$平分$∠ AMC$,若$AN=1$,则$BC$的长为(
A.4
B.6
C.$4\sqrt{3}$
D.8
B
).A.4
B.6
C.$4\sqrt{3}$
D.8
答案
3.B
解析
【分析】
解题时我们从已知的角平分线、平行线条件入手，利用“平行线+角平分线”的常见几何模型推导等腰三角形，再通过角的等量代换求出Rt△ABC中∠B的度数，结合含30°角的直角三角形的性质逐步计算边长，最终得到BC的长度。步骤如下：①先根据角平分线和平行线的性质推导角相等，得到MN=NC，同时推出∠B=∠MCB=∠ACM，计算得出∠B=30°；②在Rt△AMN中利用30°角的性质求MN的长，进而得到NC的长，算出AC的总长度；③在Rt△ABC中利用30°角对应的直角边是斜边一半的性质求BC的长。
【解析】
解：
∵CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM
∵MN//BC，
∴∠NMC=∠BCM，∠AMN=∠B
∴∠ACM=∠NMC，根据等角对等边可得MN=NC
∵MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC
∴∠AMN=∠NMC=∠B=∠BCM，即∠ACB=∠ACM+∠BCM=2∠B
∵Rt△ABC中∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°
代入得∠B+2∠B=90°，解得∠B=30°，即∠AMN=30°
在Rt△AMN中，∠BAC=90°，∠AMN=30°，AN=1
∴MN=2AN=2，
∴NC=MN=2
∴AC=AN+NC=1+2=3
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=3
∴BC=2AC=6
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是通过角的等量代换得到∠B=30°，再结合等腰三角形的判定得到边的数量关系，对几何基础模型的掌握要求较高。
【难度系数】
0.65
解题时我们从已知的角平分线、平行线条件入手，利用“平行线+角平分线”的常见几何模型推导等腰三角形，再通过角的等量代换求出Rt△ABC中∠B的度数，结合含30°角的直角三角形的性质逐步计算边长，最终得到BC的长度。步骤如下：①先根据角平分线和平行线的性质推导角相等，得到MN=NC，同时推出∠B=∠MCB=∠ACM，计算得出∠B=30°；②在Rt△AMN中利用30°角的性质求MN的长，进而得到NC的长，算出AC的总长度；③在Rt△ABC中利用30°角对应的直角边是斜边一半的性质求BC的长。
【解析】
解：
∵CM平分∠ACB，
∴∠ACM=∠BCM
∵MN//BC，
∴∠NMC=∠BCM，∠AMN=∠B
∴∠ACM=∠NMC，根据等角对等边可得MN=NC
∵MN平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC
∴∠AMN=∠NMC=∠B=∠BCM，即∠ACB=∠ACM+∠BCM=2∠B
∵Rt△ABC中∠BAC=90°，
∴∠B+∠ACB=90°
代入得∠B+2∠B=90°，解得∠B=30°，即∠AMN=30°
在Rt△AMN中，∠BAC=90°，∠AMN=30°，AN=1
∴MN=2AN=2，
∴NC=MN=2
∴AC=AN+NC=1+2=3
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AC=3
∴BC=2AC=6
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是通过角的等量代换得到∠B=30°，再结合等腰三角形的判定得到边的数量关系，对几何基础模型的掌握要求较高。
【难度系数】
0.65
4.在$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别是$a$，$b$，$c$，下列说法不正确的是（
A.若$∠ C - ∠ B = ∠ A$，则$△ ABC$是直角三角形
B.若$c^2 = b^2 - a^2$，则$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C = 90°$
C.若$(c+a)(c-a) = b^2$，则$△ ABC$是直角三角形
D.若$∠ A : ∠ B : ∠ C = 5:2:3$，则$△ ABC$是直角三角形
B
）.A.若$∠ C - ∠ B = ∠ A$，则$△ ABC$是直角三角形
B.若$c^2 = b^2 - a^2$，则$△ ABC$是直角三角形，且$∠ C = 90°$
C.若$(c+a)(c-a) = b^2$，则$△ ABC$是直角三角形
D.若$∠ A : ∠ B : ∠ C = 5:2:3$，则$△ ABC$是直角三角形
答案
4.B
解析
【分析】
本题考查直角三角形的判定，解题需结合三角形内角和定理、勾股定理逆定理对每个选项逐一验证。首先明确直角三角形的两类判定方法：一是通过角度计算，证明三角形有一个内角为90°；二是通过三边关系，验证两边平方和等于最长边的平方，此时最长边对应的内角为直角，据此逐个分析选项即可找到错误说法。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：已知∠C - ∠B = ∠A，变形得∠A + ∠B = ∠C。根据三角形内角和为180°，可得∠C + ∠C = 180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形，A说法正确，不符合题意。
B选项：已知$c^2 = b^2 - a^2$，移项得$a^2 + c^2 = b^2$，根据勾股定理逆定理，最长边为b，其对应的内角∠B为直角，即∠B=90°，不是∠C=90°，因此B说法错误，符合题意。
C选项：将$(c+a)(c-a) = b^2$展开得$c^2 - a^2 = b^2$，变形得$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理逆定理，△ABC是直角三角形，C说法正确，不符合题意。
D选项：已知∠A:∠B:∠C=5:2:3，总份数为$5+2+3=10$，每份角度为$180°÷10=18°$，则∠A=$5×18°=90°$，因此△ABC是直角三角形，D说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是使用勾股定理逆定理时，混淆最长边与直角的对应关系，解题时只要牢记“直角是最长边对应的内角”，结合内角和计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
本题考查直角三角形的判定，解题需结合三角形内角和定理、勾股定理逆定理对每个选项逐一验证。首先明确直角三角形的两类判定方法：一是通过角度计算，证明三角形有一个内角为90°；二是通过三边关系，验证两边平方和等于最长边的平方，此时最长边对应的内角为直角，据此逐个分析选项即可找到错误说法。
【解析】
我们逐个判断选项：
A选项：已知∠C - ∠B = ∠A，变形得∠A + ∠B = ∠C。根据三角形内角和为180°，可得∠C + ∠C = 180°，解得∠C=90°，因此△ABC是直角三角形，A说法正确，不符合题意。
B选项：已知$c^2 = b^2 - a^2$，移项得$a^2 + c^2 = b^2$，根据勾股定理逆定理，最长边为b，其对应的内角∠B为直角，即∠B=90°，不是∠C=90°，因此B说法错误，符合题意。
C选项：将$(c+a)(c-a) = b^2$展开得$c^2 - a^2 = b^2$，变形得$a^2 + b^2 = c^2$，根据勾股定理逆定理，△ABC是直角三角形，C说法正确，不符合题意。
D选项：已知∠A:∠B:∠C=5:2:3，总份数为$5+2+3=10$，每份角度为$180°÷10=18°$，则∠A=$5×18°=90°$，因此△ABC是直角三角形，D说法正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是使用勾股定理逆定理时，混淆最长边与直角的对应关系，解题时只要牢记“直角是最长边对应的内角”，结合内角和计算即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
5. 如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD,CE交于点H,已知EH=EB=3,AE=4,则CH的长是(
A.1
B.2
C.3
D.4
A
).A.1
B.2
C.3
D.4
答案
5.A
解析
【分析】
解题时先从已知的垂直条件入手，可得∠AEH、∠CEB、∠ADB均为直角；再根据同角的余角相等推出∠EAH=∠BCE，结合已知EH=EB，可证明△AEH和△CEB全等，得到CE的长度，最后用CE的长度减去EH的长度即可求出CH的长。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEH=∠CEB=∠ADB=90°，
∴∠EAH + ∠B = 90°，∠BCE + ∠B = 90°，
∴∠EAH = ∠BCE（同角的余角相等）。
在△AEH和△CEB中：
$\begin{cases}∠EAH=∠BCE \\∠AEH=∠CEB \\EH=EB\end{cases}$
∴△AEH≌△CEB（AAS），
∴CE=AE=4，
又
∵EH=3，
∴CH=CE - EH=4 - 3=1。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等
【点评】
本题将垂直的性质、全等三角形的判定与性质结合考查，解题的突破口是利用余角的性质得到一组相等的角，进而证明三角形全等，再通过线段的和差计算得到结果，难度适中。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知的垂直条件入手，可得∠AEH、∠CEB、∠ADB均为直角；再根据同角的余角相等推出∠EAH=∠BCE，结合已知EH=EB，可证明△AEH和△CEB全等，得到CE的长度，最后用CE的长度减去EH的长度即可求出CH的长。
【解析】
解：
∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠AEH=∠CEB=∠ADB=90°，
∴∠EAH + ∠B = 90°，∠BCE + ∠B = 90°，
∴∠EAH = ∠BCE（同角的余角相等）。
在△AEH和△CEB中：
$\begin{cases}∠EAH=∠BCE \\∠AEH=∠CEB \\EH=EB\end{cases}$
∴△AEH≌△CEB（AAS），
∴CE=AE=4，
又
∵EH=3，
∴CH=CE - EH=4 - 3=1。
【答案】
A
【知识点】
全等三角形的判定与性质，同角的余角相等
【点评】
本题将垂直的性质、全等三角形的判定与性质结合考查，解题的突破口是利用余角的性质得到一组相等的角，进而证明三角形全等，再通过线段的和差计算得到结果，难度适中。
【难度系数】
0.7
6.如图，矩形ABCD的边AD沿折痕AE折叠，使点D落在BC上的点F处，已知AB=6，△ABF的面积是24，则FC等于（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）。A.1
B.2
C.3
D.4
答案
6.B
解析
【分析】
解题时先梳理已知条件：首先矩形ABCD中∠B是直角，△ABF是直角三角形，已知AB长和△ABF的面积，可先通过三角形面积公式求出BF的长度；再根据折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得AD=AF，而矩形对边相等AD=BC，因此可在Rt△ABF中用勾股定理求出AF的长度，即得到BC的长度；最后用BC减去BF即可求出FC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC。
∵△ABF的面积是24，AB=6，
∴$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}AB· BF=24$，
即$\frac{1}{2}×6× BF=24$，解得$BF=8$。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
由折叠的性质可知，$AD=AF=10$，
∴$BC=AD=10$，
∴$FC=BC-BF=10-8=2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础的几何折叠类题型，解题关键是掌握折叠前后对应边相等的性质，结合矩形的直角特征，通过面积计算和勾股定理逐步推导线段长度，是几何部分的常规考法。
【难度系数】
0.7
解题时先梳理已知条件：首先矩形ABCD中∠B是直角，△ABF是直角三角形，已知AB长和△ABF的面积，可先通过三角形面积公式求出BF的长度；再根据折叠的性质，折叠前后对应边相等，可得AD=AF，而矩形对边相等AD=BC，因此可在Rt△ABF中用勾股定理求出AF的长度，即得到BC的长度；最后用BC减去BF即可求出FC的长度。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD=BC。
∵△ABF的面积是24，AB=6，
∴$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}AB· BF=24$，
即$\frac{1}{2}×6× BF=24$，解得$BF=8$。
在Rt△ABF中，由勾股定理得：
$AF=\sqrt{AB^2+BF^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$。
由折叠的性质可知，$AD=AF=10$，
∴$BC=AD=10$，
∴$FC=BC-BF=10-8=2$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
矩形的性质；折叠的性质；勾股定理
【点评】
本题属于基础的几何折叠类题型，解题关键是掌握折叠前后对应边相等的性质，结合矩形的直角特征，通过面积计算和勾股定理逐步推导线段长度，是几何部分的常规考法。
【难度系数】
0.7
7.如图,在高为5 m,坡面长为13 m的楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要(
A.17 m
B.18 m
C.25 m
D.26 m
A
).A.17 m
B.18 m
C.25 m
D.26 m
答案
7.A
解析
【分析】
要求地毯的最小长度，可利用平移思想求解：将每级台阶的水平段向下平移，所有水平段的总长度等于直角三角形的水平直角边长；将每级台阶的竖直段向右平移，所有竖直段的总长度等于直角三角形的竖直高度（5m）。因此先通过勾股定理求出水平直角边的长度，再将水平边长与竖直高度相加，即可得到地毯的最小长度。
【解析】
由题意可知，楼梯所在直角三角形的斜边长为13m，竖直直角边长为5m，根据勾股定理，水平直角边的长度为：
$\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12(\mathrm{m})$
结合平移的性质，地毯的总长度等于水平直角边长与竖直直角边长的和，即：
$12 + 5 = 17(\mathrm{m})$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，平移的应用
【点评】
本题是勾股定理结合平移思想的实际应用题，不用逐段计算台阶长度，通过平移将分散的线段转化为直角三角形的两条直角边求和即可，解题的关键是理解平移后各段长度的对应关系。
【难度系数】
0.7
要求地毯的最小长度，可利用平移思想求解：将每级台阶的水平段向下平移，所有水平段的总长度等于直角三角形的水平直角边长；将每级台阶的竖直段向右平移，所有竖直段的总长度等于直角三角形的竖直高度（5m）。因此先通过勾股定理求出水平直角边的长度，再将水平边长与竖直高度相加，即可得到地毯的最小长度。
【解析】
由题意可知，楼梯所在直角三角形的斜边长为13m，竖直直角边长为5m，根据勾股定理，水平直角边的长度为：
$\sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12(\mathrm{m})$
结合平移的性质，地毯的总长度等于水平直角边长与竖直直角边长的和，即：
$12 + 5 = 17(\mathrm{m})$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
勾股定理，平移的应用
【点评】
本题是勾股定理结合平移思想的实际应用题，不用逐段计算台阶长度，通过平移将分散的线段转化为直角三角形的两条直角边求和即可，解题的关键是理解平移后各段长度的对应关系。
【难度系数】
0.7
8. 新考法 归纳一般结论 如图，$△ OA_1A_2$为等腰直角三角形，$OA_1=1$，以斜边$OA_2$为直角边作等腰直角三角形$OA_2A_3$，再以$OA_3$为直角边作等腰直角三角形$OA_3A_4$，…，按此规律作下去，则$OA_n$的长度为(
A.$(\sqrt{2})^n$
B.$(\sqrt{2})^{n-1}$
C.$(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^n$
D.$(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^{n-1}$
B
).A.$(\sqrt{2})^n$
B.$(\sqrt{2})^{n-1}$
C.$(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^n$
D.$(\dfrac{\sqrt{2}}{2})^{n-1}$
答案
8.B
[解析]
∵△OA₁A₂为等腰直角三角形,OA₁=1,
∴OA₂=√2.
∵△OA₂A₃为等腰直角三角形,
∴OA₃=2=(√2)².
∵△OA₃A₄为等腰直角三角形,
∴OA₄=2√2=(√2 )³.
∵△OA₄A₅为等腰直角三角形,
∴OA₅=4=(√2)⁴,…,
∴OAₙ的长度为(√2)ⁿ⁻¹.故选B.
方法诠释 本题考查等腰直角三角形的性质以及勾股定理,解答本题先要计算出OA₁,OA₂,OA₃的值,然后再找出规律.这种规律的探究,一般需要先求出前几个图形中的线段的长度,并把它写成一列,然后把数值与序号进行关联,本题中√2的指数与序号相差1,所以OAₙ的长度为(√2)ⁿ⁻¹.
[解析]
∵△OA₁A₂为等腰直角三角形,OA₁=1,
∴OA₂=√2.
∵△OA₂A₃为等腰直角三角形,
∴OA₃=2=(√2)².
∵△OA₃A₄为等腰直角三角形,
∴OA₄=2√2=(√2 )³.
∵△OA₄A₅为等腰直角三角形,
∴OA₅=4=(√2)⁴,…,
∴OAₙ的长度为(√2)ⁿ⁻¹.故选B.
方法诠释 本题考查等腰直角三角形的性质以及勾股定理,解答本题先要计算出OA₁,OA₂,OA₃的值,然后再找出规律.这种规律的探究,一般需要先求出前几个图形中的线段的长度,并把它写成一列,然后把数值与序号进行关联,本题中√2的指数与序号相差1,所以OAₙ的长度为(√2)ⁿ⁻¹.
解析
【分析】
这是一道图形规律探究题，解题时先利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，依次计算前几个$OA_n$的长度，再观察所得结果与对应下标$n$的关系，归纳得出通用规律即可。本题中每一个新的等腰直角三角形都以前一个三角形的斜边为直角边，因此每段$OA$的长度都是前一段的$\sqrt{2}$倍，先计算前几项的数值，再推导通项即可。
【解析】
解：已知$△ OA_1A_2$是等腰直角三角形，$OA_1=1$，
根据勾股定理，$OA_2=\sqrt{OA_1^2+A_1A_2^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}=(\sqrt{2})^1$；
$\because△ OA_2A_3$是等腰直角三角形，
$\therefore OA_3=\sqrt{OA_2^2+A_2A_3^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2=(\sqrt{2})^2$；
$\because△ OA_3A_4$是等腰直角三角形，
$\therefore OA_4=\sqrt{OA_3^2+A_3A_4^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}=(\sqrt{2})^3$；
同理可得$OA_5=(\sqrt{2})^4$，……
观察规律可得：$OA_n$的长度为$(\sqrt{2})^{n-1}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质；勾股定理；规律探究
【点评】
本题需要从特殊情况入手计算，再归纳得到一般结论，是规律类题型的典型考法，侧重考查学生的观察归纳能力和对勾股定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
这是一道图形规律探究题，解题时先利用等腰直角三角形的性质和勾股定理，依次计算前几个$OA_n$的长度，再观察所得结果与对应下标$n$的关系，归纳得出通用规律即可。本题中每一个新的等腰直角三角形都以前一个三角形的斜边为直角边，因此每段$OA$的长度都是前一段的$\sqrt{2}$倍，先计算前几项的数值，再推导通项即可。
【解析】
解：已知$△ OA_1A_2$是等腰直角三角形，$OA_1=1$，
根据勾股定理，$OA_2=\sqrt{OA_1^2+A_1A_2^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}=(\sqrt{2})^1$；
$\because△ OA_2A_3$是等腰直角三角形，
$\therefore OA_3=\sqrt{OA_2^2+A_2A_3^2}=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{4}=2=(\sqrt{2})^2$；
$\because△ OA_3A_4$是等腰直角三角形，
$\therefore OA_4=\sqrt{OA_3^2+A_3A_4^2}=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}=(\sqrt{2})^3$；
同理可得$OA_5=(\sqrt{2})^4$，……
观察规律可得：$OA_n$的长度为$(\sqrt{2})^{n-1}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
等腰直角三角形的性质；勾股定理；规律探究
【点评】
本题需要从特殊情况入手计算，再归纳得到一般结论，是规律类题型的典型考法，侧重考查学生的观察归纳能力和对勾股定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
9. 一个三角形的三边长分别为5，12，13，则这个三角形最长边上的中线为
$\frac{13}{2}$
.答案
9.$\frac{13}{2}$
[解析]
∵三角形的三边长分别为5,12,13,符合勾股定理的逆定理5²+12²=13²,
∴此三角形为直角三角形,则13为直角三角形的斜边.
∵三角形斜边上的中线是斜边的一半,
∴三角形最长边上的中线长为$\frac{13}{2}$.
[解析]
∵三角形的三边长分别为5,12,13,符合勾股定理的逆定理5²+12²=13²,
∴此三角形为直角三角形,则13为直角三角形的斜边.
∵三角形斜边上的中线是斜边的一半,
∴三角形最长边上的中线长为$\frac{13}{2}$.
解析
【分析】
解题时首先观察三角形三边长的数值特征，先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则该三角形为直角三角形，最长边为斜边；再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可直接求出最长边上的中线长度。
【解析】
解：
∵三角形的三边长分别为5，12，13，
计算得：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，符合勾股定理的逆定理，
∴此三角形为直角三角形，且长度为13的边是直角三角形的斜边，也就是最长边。
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴最长边上的中线长为$\frac{1}{2} × 13 = \frac{13}{2}$。
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先通过勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形的特殊性质计算结果，掌握相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察三角形三边长的数值特征，先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状：验证两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则该三角形为直角三角形，最长边为斜边；再利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可直接求出最长边上的中线长度。
【解析】
解：
∵三角形的三边长分别为5，12，13，
计算得：$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$，符合勾股定理的逆定理，
∴此三角形为直角三角形，且长度为13的边是直角三角形的斜边，也就是最长边。
根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
∴最长边上的中线长为$\frac{1}{2} × 13 = \frac{13}{2}$。
【答案】
$\frac{13}{2}$
【知识点】
勾股定理的逆定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是先通过勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形，再结合直角三角形的特殊性质计算结果，掌握相关定理即可快速作答。
【难度系数】
0.85
10. 在$△ ABC$中，若$AB=AC=5$，$BC=6$，则$△ ABC$的面积是
12
。答案
10. 12
[解析]如图,取BC的中点D,连接AD,
∵AB=AC=5,
∴AD⊥BC,BD=3,
∴AD=$\sqrt{AB^2-BD^2}$=4,
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}×6×4$=12.
解析
【分析】
首先观察到△ABC是AB=AC的等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角三角形：取底边BC的中点D，连接AD，可得AD垂直BC，且BD长度为BC的一半。此时△ABD为直角三角形，已知斜边AB和直角边BD的长度，通过勾股定理即可求出高AD的长度，最后代入三角形面积公式就能算出△ABC的面积。
【解析】
取BC的中点D，连接AD，
∵AB=AC=5，D为BC中点，
∴AD⊥BC，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$，
∴△ABC的面积$=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×6×4=12$。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，是等腰三角形性质和勾股定理结合的典型题型，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质作辅助线构造直角三角形，掌握基础定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.85
首先观察到△ABC是AB=AC的等腰三角形，可利用等腰三角形“三线合一”的性质构造直角三角形：取底边BC的中点D，连接AD，可得AD垂直BC，且BD长度为BC的一半。此时△ABD为直角三角形，已知斜边AB和直角边BD的长度，通过勾股定理即可求出高AD的长度，最后代入三角形面积公式就能算出△ABC的面积。
【解析】
取BC的中点D，连接AD，
∵AB=AC=5，D为BC中点，
∴AD⊥BC，$BD=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×6=3$，
在Rt△ABD中，由勾股定理可得：
$AD=\sqrt{AB^2-BD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$，
∴△ABC的面积$=\frac{1}{2}×BC×AD=\frac{1}{2}×6×4=12$。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形的性质，勾股定理，三角形面积计算
【点评】
本题是几何基础计算题，是等腰三角形性质和勾股定理结合的典型题型，解题关键是利用等腰三角形三线合一的性质作辅助线构造直角三角形，掌握基础定理就能顺利求解。
【难度系数】
0.85
