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11.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,踩伤了花草.则他们仅仅少走了
8
步路.(假设2步为1m)答案
11. 8
[解析]
∵∠C=90°,AC=6 m,BC=8 m,
∴AB²=AC²+BC²=6²+8²=100,即AB=10 m,
则(8+6-10)×2=8(步),
∴他们仅仅少走了8步路.
[解析]
∵∠C=90°,AC=6 m,BC=8 m,
∴AB²=AC²+BC²=6²+8²=100,即AB=10 m,
则(8+6-10)×2=8(步),
∴他们仅仅少走了8步路.
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确少走的步数由少走的路程换算得到：走拐角需要走AC+BC的总长度，走“捷径”是走AB的长度，二者的差值就是少走的米数，再结合“2步为1m”的换算规则就能得到少走的步数。由于△ABC是直角三角形，∠C为直角，已知两条直角边的长度，我们可以用勾股定理先算出斜边AB的长度，再计算路程差，最后换算为步数即可。
【解析】
由图可知△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6m，BC=8m。
根据勾股定理可得：$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$，
因为边长为正数，所以$AB=\sqrt{100}=10\mathrm{m}$。
走拐角的总路程为$AC+BC=6+8=14\mathrm{m}$，走捷径的路程为10m，
因此少走的路程为$14-10=4\mathrm{m}$。
已知2步为1m，所以少走的步数为$4×2=8$步。
【答案】
8
【知识点】
勾股定理；路程计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查勾股定理的基础应用，解题核心是明确直角三角形的边长关系，同时也引导学生要爱护公共环境，不要为了少走几步路破坏花草。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确少走的步数由少走的路程换算得到：走拐角需要走AC+BC的总长度，走“捷径”是走AB的长度，二者的差值就是少走的米数，再结合“2步为1m”的换算规则就能得到少走的步数。由于△ABC是直角三角形，∠C为直角，已知两条直角边的长度，我们可以用勾股定理先算出斜边AB的长度，再计算路程差，最后换算为步数即可。
【解析】
由图可知△ABC为直角三角形，∠C=90°，AC=6m，BC=8m。
根据勾股定理可得：$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$，
因为边长为正数，所以$AB=\sqrt{100}=10\mathrm{m}$。
走拐角的总路程为$AC+BC=6+8=14\mathrm{m}$，走捷径的路程为10m，
因此少走的路程为$14-10=4\mathrm{m}$。
已知2步为1m，所以少走的步数为$4×2=8$步。
【答案】
8
【知识点】
勾股定理；路程计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查勾股定理的基础应用，解题核心是明确直角三角形的边长关系，同时也引导学生要爱护公共环境，不要为了少走几步路破坏花草。
【难度系数】
0.8
12. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，分别以$AC$，$AB$为边长向外作正方形，且它们的面积分别为9和25，则$BC$的长为
4
。答案
12.4
解析
【分析】
解题时首先根据正方形面积等于边长平方的性质，可直接得到直角△ABC的直角边AC的平方、斜边AB的平方；再结合∠ACB=90°的条件，利用勾股定理列出关系式，代入数值计算即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵以AC为边的正方形面积为9，
∴$AC^2=9$，
∵以AB为边的正方形面积为25，
∴$AB^2=25$，
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
∴$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 25 - 9 = 16$
又
∵BC为线段长度，$BC＞0$，
∴$BC=\sqrt{16}=4$
【答案】
4
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，将正方形面积与直角三角形边长关系结合，解题核心是通过正方形面积快速得到直角三角形两边的平方值，再代入勾股定理求解，是勾股定理章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.85
解题时首先根据正方形面积等于边长平方的性质，可直接得到直角△ABC的直角边AC的平方、斜边AB的平方；再结合∠ACB=90°的条件，利用勾股定理列出关系式，代入数值计算即可求出BC的长度。
【解析】
解：
∵以AC为边的正方形面积为9，
∴$AC^2=9$，
∵以AB为边的正方形面积为25，
∴$AB^2=25$，
在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，由勾股定理得：
$AC^2 + BC^2 = AB^2$
∴$BC^2 = AB^2 - AC^2 = 25 - 9 = 16$
又
∵BC为线段长度，$BC＞0$，
∴$BC=\sqrt{16}=4$
【答案】
4
【知识点】
勾股定理；正方形面积计算
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用类题目，将正方形面积与直角三角形边长关系结合，解题核心是通过正方形面积快速得到直角三角形两边的平方值，再代入勾股定理求解，是勾股定理章节的常见基础题型。
【难度系数】
0.85
13. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，若$c=3$，则$a^2 + b^2 + c^2 = \_\_\_\_\_\_$。
答案
13.18
解析
【分析】
遇到直角三角形且明确直角的情况，首先联想到勾股定理的应用。本题要求计算$a^2+b^2+c^2$的值，我们可以先通过勾股定理得到$a^2+b^2$和$c^2$的等量关系，将所求式子转化为仅含$c$的表达式，再代入已知的$c$的数值计算即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ 根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$
已知$c=3$，因此$c^2=3^2=9$
则$a^2 + b^2 + c^2 = c^2 + c^2 = 2c^2$
将$c^2=9$代入得：$2×9=18$
【答案】
18
【知识点】
勾股定理、代数式求值
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题核心是利用勾股定理对所求式子做等量代换，简化计算过程，只要牢记勾股定理的内容就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
遇到直角三角形且明确直角的情况，首先联想到勾股定理的应用。本题要求计算$a^2+b^2+c^2$的值，我们可以先通过勾股定理得到$a^2+b^2$和$c^2$的等量关系，将所求式子转化为仅含$c$的表达式，再代入已知的$c$的数值计算即可。
【解析】
解：
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$
∴ 根据勾股定理可得：$a^2 + b^2 = c^2$
已知$c=3$，因此$c^2=3^2=9$
则$a^2 + b^2 + c^2 = c^2 + c^2 = 2c^2$
将$c^2=9$代入得：$2×9=18$
【答案】
18
【知识点】
勾股定理、代数式求值
【点评】
本题属于勾股定理的基础应用题型，解题核心是利用勾股定理对所求式子做等量代换，简化计算过程，只要牢记勾股定理的内容就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
14.如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC$的平分线$AD$交$BC$于点$D$,$E$为$AB$的中点,若$BC=12$,$AD=8$,则$DE$的长为
5
.答案
14.5
[解析]
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,BD=CD=6,
∴∠ADB=90°,
∴AB=$\sqrt{AD^2+BD^2}$=10.
∵E为AB的中点,
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=5.
[解析]
∵AB=AC,AD平分∠BAC,
∴AD⊥BC,BD=CD=6,
∴∠ADB=90°,
∴AB=$\sqrt{AD^2+BD^2}$=10.
∵E为AB的中点,
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=5.
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，AD是∠BAC的平分线，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD垂直BC且平分BC，由此得到BD的长度及△ABD为直角三角形；接着在Rt△ABD中，利用勾股定理求出斜边AB的长度；最后根据E是AB中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，即可求出DE的长。
【解析】
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×12=6$，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，AD=8，BD=6，由勾股定理得：
AB=$\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$，
∵E为AB的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础综合题，将等腰三角形、勾股定理、直角三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，先通过三线合一构造直角三角形，再逐步计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：首先由AB=AC可知△ABC是等腰三角形，AD是∠BAC的平分线，结合等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD垂直BC且平分BC，由此得到BD的长度及△ABD为直角三角形；接着在Rt△ABD中，利用勾股定理求出斜边AB的长度；最后根据E是AB中点，结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，即可求出DE的长。
【解析】
∵AB=AC，AD平分∠BAC，
∴AD⊥BC，BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}×12=6$，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ABD中，AD=8，BD=6，由勾股定理得：
AB=$\sqrt{AD^2+BD^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10$，
∵E为AB的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{1}{2}×10=5$。
【答案】
5
【知识点】
等腰三角形三线合一；勾股定理；直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题属于基础综合题，将等腰三角形、勾股定理、直角三角形的性质结合考查，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，先通过三线合一构造直角三角形，再逐步计算即可得到结果。
【难度系数】
0.7
15. 传统文化 赵爽弦图 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别为$a,b$,那么$(a+b)^2$的值是
25
.答案
15.25
归纳总结 本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理,直角三角形斜边中线定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.利用勾股定理求出AB,再利用直角三角形斜边中线定理求解即可.
归纳总结 本题考查了等腰三角形的性质,勾股定理,直角三角形斜边中线定理等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.利用勾股定理求出AB,再利用直角三角形斜边中线定理求解即可.
解析
【分析】
解题可按以下思路推导：首先，大正方形的边长是直角三角形的斜边，结合勾股定理可直接得到$a^2+b^2$的值等于大正方形的面积；其次，小正方形的边长为直角三角形两条直角边的差，因此小正方形的面积等于$(b-a)^2$（不妨设$b＞a$）；最后，将待求的$(a+b)^2$用完全平方公式展开，发现只需要通过$(b-a)^2$求出$2ab$的值，代入即可算出结果。
【解析】
解：
∵大正方形的面积为13，大正方形的边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = 13$
∵小正方形的面积为1，小正方形的边长为两条直角边的差$b-a$，因此：
$(b-a)^2 = 1$
将左边展开得：$a^2 - 2ab + b^2 = 1$
把$a^2 + b^2=13$代入上式：
$13 - 2ab = 1$
解得：$2ab=12$
根据完全平方公式展开$(a+b)^2$：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
代入$a^2 + b^2=13$、$2ab=12$得：
$(a+b)^2=13+12=25$
【答案】
25
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学成就赵爽弦图设计，考查勾股定理和代数公式的综合应用，解题关键是找准图形边长与面积之间的对应关系，属于勾股定理相关的高频基础题。
【难度系数】
0.7
解题可按以下思路推导：首先，大正方形的边长是直角三角形的斜边，结合勾股定理可直接得到$a^2+b^2$的值等于大正方形的面积；其次，小正方形的边长为直角三角形两条直角边的差，因此小正方形的面积等于$(b-a)^2$（不妨设$b＞a$）；最后，将待求的$(a+b)^2$用完全平方公式展开，发现只需要通过$(b-a)^2$求出$2ab$的值，代入即可算出结果。
【解析】
解：
∵大正方形的面积为13，大正方形的边长为直角三角形的斜边，根据勾股定理可得：
$a^2 + b^2 = 13$
∵小正方形的面积为1，小正方形的边长为两条直角边的差$b-a$，因此：
$(b-a)^2 = 1$
将左边展开得：$a^2 - 2ab + b^2 = 1$
把$a^2 + b^2=13$代入上式：
$13 - 2ab = 1$
解得：$2ab=12$
根据完全平方公式展开$(a+b)^2$：
$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
代入$a^2 + b^2=13$、$2ab=12$得：
$(a+b)^2=13+12=25$
【答案】
25
【知识点】
勾股定理，完全平方公式，正方形面积计算
【点评】
本题结合我国古代数学成就赵爽弦图设计，考查勾股定理和代数公式的综合应用，解题关键是找准图形边长与面积之间的对应关系，属于勾股定理相关的高频基础题。
【难度系数】
0.7
16. 如图所示，分别以直角三角形的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积$ S_1 = \frac{25}{8}π, S_2 = 2π $，则$ S_3 = $
$\frac{9}{8}π$
。答案
16.$\frac{9}{8}π$
解析
【分析】
解题时先利用半圆面积公式将三个阴影部分的面积用直角三角形的三边长表示，再结合勾股定理推导三个半圆面积的数量关系，最后代入已知面积数值计算即可。首先回忆半圆面积公式：半圆面积=½πr²（r为半径），设直角三角形三边分别为a、b（直角边）、c（斜边），分别写出S₁、S₂、S₃的表达式，再根据勾股定理a²+b²=c²推导面积关系，进而求解S₃。
【解析】
设直角三角形的斜边长为c（即S₁对应的半圆直径），两条直角边长分别为b（即S₂对应的半圆直径）、a（即S₃对应的半圆直径）。
根据半圆面积公式可得：
$S_1=\frac{1}{2}π·(\frac{c}{2})^2=\frac{π c^2}{8}$，
$S_2=\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=\frac{π b^2}{8}$，
$S_3=\frac{1}{2}π·(\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{8}$。
由勾股定理可知直角三角形三边满足$a^2+b^2=c^2$，等式两边同时乘$\frac{π}{8}$，可得$\frac{π a^2}{8}+\frac{π b^2}{8}=\frac{π c^2}{8}$，即$S_3+S_2=S_1$。
已知$S_1=\frac{25}{8}π$，$S_2=2π=\frac{16}{8}π$，代入得：
$S_3=S_1-S_2=\frac{25}{8}π-\frac{16}{8}π=\frac{9}{8}π$。
【答案】
$\frac{9}{8}π$
【知识点】
勾股定理；半圆面积计算
【点评】
本题是勾股定理与圆面积计算的综合基础题，核心是通过勾股定理推导得出以直角三角形三边为直径的半圆面积满足“斜边对应的半圆面积等于两条直角边对应的半圆面积之和”的规律，掌握基础公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7
解题时先利用半圆面积公式将三个阴影部分的面积用直角三角形的三边长表示，再结合勾股定理推导三个半圆面积的数量关系，最后代入已知面积数值计算即可。首先回忆半圆面积公式：半圆面积=½πr²（r为半径），设直角三角形三边分别为a、b（直角边）、c（斜边），分别写出S₁、S₂、S₃的表达式，再根据勾股定理a²+b²=c²推导面积关系，进而求解S₃。
【解析】
设直角三角形的斜边长为c（即S₁对应的半圆直径），两条直角边长分别为b（即S₂对应的半圆直径）、a（即S₃对应的半圆直径）。
根据半圆面积公式可得：
$S_1=\frac{1}{2}π·(\frac{c}{2})^2=\frac{π c^2}{8}$，
$S_2=\frac{1}{2}π·(\frac{b}{2})^2=\frac{π b^2}{8}$，
$S_3=\frac{1}{2}π·(\frac{a}{2})^2=\frac{π a^2}{8}$。
由勾股定理可知直角三角形三边满足$a^2+b^2=c^2$，等式两边同时乘$\frac{π}{8}$，可得$\frac{π a^2}{8}+\frac{π b^2}{8}=\frac{π c^2}{8}$，即$S_3+S_2=S_1$。
已知$S_1=\frac{25}{8}π$，$S_2=2π=\frac{16}{8}π$，代入得：
$S_3=S_1-S_2=\frac{25}{8}π-\frac{16}{8}π=\frac{9}{8}π$。
【答案】
$\frac{9}{8}π$
【知识点】
勾股定理；半圆面积计算
【点评】
本题是勾股定理与圆面积计算的综合基础题，核心是通过勾股定理推导得出以直角三角形三边为直径的半圆面积满足“斜边对应的半圆面积等于两条直角边对应的半圆面积之和”的规律，掌握基础公式即可快速解题。
【难度系数】
0.7
17.已知三角形的三边长分别是$2m+1,2m^2+2n,2n^2+2n+1$（n为正整数），则最大角的度数为
90
°。答案
17.90
解析
【分析】
要解决这个问题，首先利用三角形“大边对大角”的性质，先确定三条边中的最长边，最长边所对的角就是最大角；再结合勾股定理的逆定理，验证最长边的平方是否等于另外两条较短边的平方和，若相等则最大角为直角，即可得到答案。第一步先比较三边长度确定最长边，第二步分别计算较短两边的平方和与最长边的平方，对比二者是否相等即可。
【解析】
首先判断三条边的长度关系（注：题干中$2m+1$为输入笔误，应为$2n+1$，否则无法求解）：
∵n为正整数，
∴$(2n^2+2n+1)-(2n^2+2n)=1＞0$，
$(2n^2+2n)-(2n+1)=2n^2-1≥2×1^2-1=1＞0$，
∴最长边为$2n^2+2n+1$，它所对的角是最大角。
接下来计算两条较短边的平方和：
$\begin{aligned}(2n+1)^2+(2n^2+2n)^2&=4n^2+4n+1+4n^4+8n^3+4n^2\\&=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1\end{aligned}$
再计算最长边的平方：
$\begin{aligned}(2n^2+2n+1)^2&=(2n^2+2n)^2+2×(2n^2+2n)×1+1^2\\&=4n^4+8n^3+4n^2+4n^2+4n+1\\&=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1\end{aligned}$
可得$(2n+1)^2+(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n+1)^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形，最长边对的角为直角。
【答案】
90
【知识点】
大边对大角；勾股定理的逆定理
【点评】
本题主要考查勾股定理逆定理的应用，解题的核心是先确定最长边，再通过完全平方公式计算验证三边的平方关系，既考查了代数运算能力，也考查了几何定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
要解决这个问题，首先利用三角形“大边对大角”的性质，先确定三条边中的最长边，最长边所对的角就是最大角；再结合勾股定理的逆定理，验证最长边的平方是否等于另外两条较短边的平方和，若相等则最大角为直角，即可得到答案。第一步先比较三边长度确定最长边，第二步分别计算较短两边的平方和与最长边的平方，对比二者是否相等即可。
【解析】
首先判断三条边的长度关系（注：题干中$2m+1$为输入笔误，应为$2n+1$，否则无法求解）：
∵n为正整数，
∴$(2n^2+2n+1)-(2n^2+2n)=1＞0$，
$(2n^2+2n)-(2n+1)=2n^2-1≥2×1^2-1=1＞0$，
∴最长边为$2n^2+2n+1$，它所对的角是最大角。
接下来计算两条较短边的平方和：
$\begin{aligned}(2n+1)^2+(2n^2+2n)^2&=4n^2+4n+1+4n^4+8n^3+4n^2\\&=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1\end{aligned}$
再计算最长边的平方：
$\begin{aligned}(2n^2+2n+1)^2&=(2n^2+2n)^2+2×(2n^2+2n)×1+1^2\\&=4n^4+8n^3+4n^2+4n^2+4n+1\\&=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1\end{aligned}$
可得$(2n+1)^2+(2n^2+2n)^2=(2n^2+2n+1)^2$，根据勾股定理的逆定理，该三角形为直角三角形，最长边对的角为直角。
【答案】
90
【知识点】
大边对大角；勾股定理的逆定理
【点评】
本题主要考查勾股定理逆定理的应用，解题的核心是先确定最长边，再通过完全平方公式计算验证三边的平方关系，既考查了代数运算能力，也考查了几何定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.65
18. 新考法 操作探究 动手操作:在长方形纸片ABCD中，$AB=3$，$AD=5$.如图所示，折叠纸片，使点A落在边BC上的点$A'$处，折痕为PQ.当点$A'$在边BC上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动.若限定点P，Q分别在边AB，AD上移动，则点$A'$在边BC上可移动的最大距离为
2
.答案
18.2
[解析]当点P与点B重合时,BA'取最大值是3,
当点Q与点D重合时(如图),
由折叠的性质,得A'D=AD.
∵四边形ABCD是长方形,
∴AD=BC=5,CD=AB=3,∠C=90°,
∴A'D=AD=5.
由勾股定理,得A'C=$\sqrt{A'D^2-CD^2}$=$\sqrt{5^2-3^2}$=4,
此时BA'取最小值为1,
则点A'在BC边上移动的最大距离为3-1=2.
解析
【分析】
要解决本题，首先利用折叠前后对应边相等的性质，找到点A'在BC上移动的两个边界位置：①当折痕端点P与点B重合时，A'最靠近点B，此时BA'长度最大；②当折痕端点Q与点D重合时，A'最靠近点C，此时BA'长度最小。两个边界的BA'长度差就是A'可移动的最大距离，再结合矩形性质和勾股定理分别计算两个边界的BA'长度即可。
【解析】
解：分两种极端情况分析：
1. 当点P与点B重合时，根据折叠的性质，$BA'=BA=3$，此时$BA'$取最大值3；
2. 当点Q与点D重合时（如图），根据折叠的性质可得$A'D=AD$。
∵四边形ABCD是长方形，
∴$AD=BC=5$，$CD=AB=3$，$∠ C=90°$，
∴$A'D=AD=5$。
在$\mathrm{Rt}△ A'CD$中，由勾股定理得：
$A'C=\sqrt{A'D^2-CD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
此时$BA'=BC-A'C=5-4=1$，即$BA'$取最小值1。
因此点$A'$在BC边上可移动的最大距离为$3-1=2$。
【答案】2
【知识点】
折叠的性质；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于操作探究类题型，解题核心是将动态动点问题转化为静态边界计算问题，能很好地考查几何性质的综合运用能力和动态问题的分析思维。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先利用折叠前后对应边相等的性质，找到点A'在BC上移动的两个边界位置：①当折痕端点P与点B重合时，A'最靠近点B，此时BA'长度最大；②当折痕端点Q与点D重合时，A'最靠近点C，此时BA'长度最小。两个边界的BA'长度差就是A'可移动的最大距离，再结合矩形性质和勾股定理分别计算两个边界的BA'长度即可。
【解析】
解：分两种极端情况分析：
1. 当点P与点B重合时，根据折叠的性质，$BA'=BA=3$，此时$BA'$取最大值3；
2. 当点Q与点D重合时（如图），根据折叠的性质可得$A'D=AD$。
∵四边形ABCD是长方形，
∴$AD=BC=5$，$CD=AB=3$，$∠ C=90°$，
∴$A'D=AD=5$。
在$\mathrm{Rt}△ A'CD$中，由勾股定理得：
$A'C=\sqrt{A'D^2-CD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$，
此时$BA'=BC-A'C=5-4=1$，即$BA'$取最小值1。
因此点$A'$在BC边上可移动的最大距离为$3-1=2$。
【答案】2
【知识点】
折叠的性质；矩形的性质；勾股定理
【点评】
本题属于操作探究类题型，解题核心是将动态动点问题转化为静态边界计算问题，能很好地考查几何性质的综合运用能力和动态问题的分析思维。
【难度系数】
0.6
三、解答题
19. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，AD=13，DC=12，AB=3，BC=4，求四边形ABCD的面积.
19. 如图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，AD=13，DC=12，AB=3，BC=4，求四边形ABCD的面积.
答案
19. 在Rt△ACD中,AC=$\sqrt{AD^2-CD^2}$=$\sqrt{13^2-12^2}$=5,
在△ABC中,
∵AB²+BC²=9+16=25,AC²=5²=25,
∴AB²+BC²=AC²,
∴△ABC是直角三角形,
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AB·BC+$\frac{1}{2}$AC·CD
=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×5×12=36.
在△ABC中,
∵AB²+BC²=9+16=25,AC²=5²=25,
∴AB²+BC²=AC²,
∴△ABC是直角三角形,
∴四边形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$AB·BC+$\frac{1}{2}$AC·CD
=$\frac{1}{2}$×3×4+$\frac{1}{2}$×5×12=36.
解析
【分析】
要求四边形ABCD的面积，可将其拆分为△ACD和△ABC两个三角形，分别计算面积后求和。首先由AC⊥DC可知△ACD是直角三角形，已知AD和DC的长度，可先用勾股定理求出AC的长度；再结合△ABC的三边AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，若为直角三角形即可分别计算两个三角形的面积，相加得到四边形总面积。
【解析】
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AD=13，DC=12，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2-DC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。
在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，
∵$AB^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25$，$AC^2=5^2=25$，
∴$AB^2+BC^2=AC^2$，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°。
则四边形ABCD的面积 = $S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
=$\frac{1}{2}AB·BC+\frac{1}{2}AC·DC$
=$\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12$
=$6+30=36$。
【答案】
36
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题核心是将不规则四边形分割为两个三角形求解，解题时需先通过勾股定理求出公共边AC的长度，再用勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，最后分别计算面积求和即可，注意不要遗漏判断△ABC形状的步骤。
【难度系数】
0.75
要求四边形ABCD的面积，可将其拆分为△ACD和△ABC两个三角形，分别计算面积后求和。首先由AC⊥DC可知△ACD是直角三角形，已知AD和DC的长度，可先用勾股定理求出AC的长度；再结合△ABC的三边AB、BC的长度，利用勾股定理的逆定理判断△ABC是否为直角三角形，若为直角三角形即可分别计算两个三角形的面积，相加得到四边形总面积。
【解析】
在Rt△ACD中，∠ACD=90°，AD=13，DC=12，
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AD^2-DC^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{25}=5$。
在△ABC中，AB=3，BC=4，AC=5，
∵$AB^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25$，$AC^2=5^2=25$，
∴$AB^2+BC^2=AC^2$，
∴△ABC是直角三角形，且∠B=90°。
则四边形ABCD的面积 = $S_{△ ABC}+S_{△ ACD}$
=$\frac{1}{2}AB·BC+\frac{1}{2}AC·DC$
=$\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12$
=$6+30=36$。
【答案】
36
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理；不规则图形面积计算
【点评】
本题核心是将不规则四边形分割为两个三角形求解，解题时需先通过勾股定理求出公共边AC的长度，再用勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，最后分别计算面积求和即可，注意不要遗漏判断△ABC形状的步骤。
【难度系数】
0.75
20. 如图，在$△ ABC$中，CD是高，$AD=4$，$CD=2$，$BD=1$，求证：$∠ ACB=90°$。
答案
20.
∵CD是△ABC的高,
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵AD=4,CD=2,BD=1,
∴AC²=AD²+CD²=4²+2²=20,BC²=BD²+CD²=1²+2²=5,AB=AD+BD=4+1=5,
∴AC²+BC²=AB².
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.
方法诠释 本题主要考查了勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形就是直角三角形.
∵CD是△ABC的高,
∴∠ADC=∠BDC=90°.
∵AD=4,CD=2,BD=1,
∴AC²=AD²+CD²=4²+2²=20,BC²=BD²+CD²=1²+2²=5,AB=AD+BD=4+1=5,
∴AC²+BC²=AB².
∴△ABC是直角三角形,且∠ACB=90°.
方法诠释 本题主要考查了勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a²+b²=c²,那么这个三角形就是直角三角形.
解析
【分析】
要证明∠ACB=90°，可运用勾股定理的逆定理，只要验证△ABC的三边满足AC²+BC²=AB²即可。首先CD是△ABC的高，可知△ADC和△BDC均为直角三角形，先借助勾股定理分别求出AC²、BC²，再结合AD、BD的长度求出AB及AB²，最后验证AC²与BC²的和是否等于AB²，若相等即可证明∠ACB为直角。
【解析】
∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°。
已知AD=4，CD=2，BD=1，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+2^2=20$，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：$BC^2=BD^2+CD^2=1^2+2^2=5$，
又$AB=AD+BD=4+1=5$，因此$AB^2=5^2=25$，
可得$AC^2+BC^2=20+5=25=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且AB为斜边，
∴∠ACB=90°。
【答案】
∠ACB=90°，得证
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的基础应用类题目，解题关键是利用两个小直角三角形的边长求出大三角形三边的平方，再通过逆定理判定直角，能帮助学生巩固勾股定理及逆定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.8
要证明∠ACB=90°，可运用勾股定理的逆定理，只要验证△ABC的三边满足AC²+BC²=AB²即可。首先CD是△ABC的高，可知△ADC和△BDC均为直角三角形，先借助勾股定理分别求出AC²、BC²，再结合AD、BD的长度求出AB及AB²，最后验证AC²与BC²的和是否等于AB²，若相等即可证明∠ACB为直角。
【解析】
∵CD是△ABC的高，
∴∠ADC=∠BDC=90°。
已知AD=4，CD=2，BD=1，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：$AC^2=AD^2+CD^2=4^2+2^2=20$，
在Rt△BDC中，由勾股定理得：$BC^2=BD^2+CD^2=1^2+2^2=5$，
又$AB=AD+BD=4+1=5$，因此$AB^2=5^2=25$，
可得$AC^2+BC^2=20+5=25=AB^2$，
根据勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，且AB为斜边，
∴∠ACB=90°。
【答案】
∠ACB=90°，得证
【知识点】
勾股定理；勾股定理的逆定理
【点评】
本题是勾股定理及其逆定理的基础应用类题目，解题关键是利用两个小直角三角形的边长求出大三角形三边的平方，再通过逆定理判定直角，能帮助学生巩固勾股定理及逆定理的应用逻辑。
【难度系数】
0.8
