登录
21.如图,有两条公路OM,ON相交成$30°$角,沿公路OM方向离点O 80米处有一所学校A.当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时,在以P为圆心、50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响,且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大.若已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/小时.
(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离;
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间.
(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离;
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间.
答案
21. (1)如图,过点A作AD⊥ON于点D.
∵∠NOM=30°,AO=80米,
∴AD=40米.
即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米.
(2)由图可知,在点A处以50米为半径画圆,分别交ON于B,C两点,
AD⊥BC,BD=CD=$\frac{1}{2}$BC,OA=80米.
∵在Rt△AOD中,∠AOB=30°,
∴AD=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{1}{2}$×80=40(米).
在Rt△ABD中,AB=50米,AD=40米,
由勾股定理,得
BD=$\sqrt{AB^2-AD^2}$=$\sqrt{50^2-40^2}$=30(米).
故BC=2×30=60(米),即重型运输卡车在经过BC时对学校产生影响.
∵重型运输卡车的速度为18千米/小时,
即$\frac{18000}{60}$=300(米/分钟),
∴重型运输卡车经过BC时需要60÷300=0.2(分钟)=12(秒).故卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒.
解析
【分析】
(1) 噪声影响最大时卡车P与学校A的距离最近，根据垂线段最短，该最短距离就是点A到直线ON的垂线段长度。过A作AD⊥ON于D，结合已知的∠MON=30°和OA=80米，利用含30°角的直角三角形的性质即可计算出AD的长度。
(2) 当卡车P到A的距离≤50米时会产生噪声影响，因此以A为圆心、50米为半径作圆，与ON交于B、C两点，BC段就是卡车会产生噪声影响的行驶路段。先通过勾股定理求出BD的长度，进而得到BC的总长度，再将卡车速度换算为统一单位，根据路程、速度、时间的关系即可求出噪声影响的总时长。
【解析】
(1) 过点A作AD⊥ON于点D。
∵∠NOM=30°，AO=80米，
在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴$AD=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×80=40$米。
即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米。
(2) 以点A为圆心，50米为半径画圆，分别交ON于B、C两点。
∵AB=AC=50米，AD⊥BC，
∴$BD=CD=\frac{1}{2}BC$。
在Rt△ABD中，AB=50米，AD=40米，
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{50^2-40^2}=\sqrt{900}=30$米，
∴$BC=2×BD=60$米，即卡车在BC段行驶时会对学校产生噪声影响。
卡车行驶速度：$18千米/小时=\frac{18000米}{60分钟}=300米/分钟$，
则经过BC段的时间为：$60÷300=0.2分钟=12秒$。
【答案】
(1) 对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；
(2) 卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒。
【知识点】
含30°角直角三角形性质；勾股定理；路程计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题核心是将实际问题转化为几何模型，明确最短距离和噪声影响范围对应的几何特征，能够有效锻炼学生的数学建模和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 噪声影响最大时卡车P与学校A的距离最近，根据垂线段最短，该最短距离就是点A到直线ON的垂线段长度。过A作AD⊥ON于D，结合已知的∠MON=30°和OA=80米，利用含30°角的直角三角形的性质即可计算出AD的长度。
(2) 当卡车P到A的距离≤50米时会产生噪声影响，因此以A为圆心、50米为半径作圆，与ON交于B、C两点，BC段就是卡车会产生噪声影响的行驶路段。先通过勾股定理求出BD的长度，进而得到BC的总长度，再将卡车速度换算为统一单位，根据路程、速度、时间的关系即可求出噪声影响的总时长。
【解析】
(1) 过点A作AD⊥ON于点D。
∵∠NOM=30°，AO=80米，
在含30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴$AD=\frac{1}{2}OA=\frac{1}{2}×80=40$米。
即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米。
(2) 以点A为圆心，50米为半径画圆，分别交ON于B、C两点。
∵AB=AC=50米，AD⊥BC，
∴$BD=CD=\frac{1}{2}BC$。
在Rt△ABD中，AB=50米，AD=40米，
由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{50^2-40^2}=\sqrt{900}=30$米，
∴$BC=2×BD=60$米，即卡车在BC段行驶时会对学校产生噪声影响。
卡车行驶速度：$18千米/小时=\frac{18000米}{60分钟}=300米/分钟$，
则经过BC段的时间为：$60÷300=0.2分钟=12秒$。
【答案】
(1) 对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离为40米；
(2) 卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒。
【知识点】
含30°角直角三角形性质；勾股定理；路程计算
【点评】
本题结合生活实际场景考查几何知识的应用，解题核心是将实际问题转化为几何模型，明确最短距离和噪声影响范围对应的几何特征，能够有效锻炼学生的数学建模和实际应用能力。
【难度系数】
0.6
22. 如图，一根长2.5 m的木棍(AB)，斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上，此时OB的距离为0.7 m，设木棍的中点为P. 木棍A端沿墙下滑，且B端沿地面向右滑行.
(1)如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4 m，那么木棍的底端B向外移动多少距离？
(2)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由.
(3)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，$△ AOB$的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值.
(1)如果木棍的顶端A沿墙下滑0.4 m，那么木棍的底端B向外移动多少距离？
(2)请判断木棍滑动的过程中，点P到点O的距离是否变化，并简述理由.
(3)在木棍滑动的过程中，当滑动到什么位置时，$△ AOB$的面积最大？简述理由，并求出面积的最大值.
答案
22. (1)如图(1),设木棍A端沿墙下滑0.4 m到达点C,同时B端沿地面向右滑行到点D,
在Rt△ABO中,已知AB=2.5 m,BO=0.7 m,
则AO²=2.5²-0.7²=5.76=2.4²,即AO=2.4 m.
∵AO=AC+OC,
∴OC=2 m.
∵在Rt△CDO中,AB=CD,且CD为斜边,
∴OD²=CD²-OC²=2.25,即OD=1.5 m.
∴BD=OD-OB=1.5-0.7=0.8(m).
故木棍的底端B向外移动0.8 m.
(2)不变.理由:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,因为斜边AB不变,所以斜边上的中线OP不变.
(3)当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时,面积最大.
如图(2),若h与OP不相等,则总有h＜OP,
故根据三角形面积公式,当h与OP相等时,△AOB的面积最大,此时 S△AOB=$\frac{1}{2}$AB·h=$\frac{1}{2}$×2.5×1.25=1.5625(m²),故△AOB的最大面积为1.5625 m².
解析
【分析】
(1) 求解B端移动距离时，首先利用勾股定理算出初始状态下墙的高度AO；再结合A端下滑的距离算出下滑后墙的高度OC，再次用勾股定理求出此时B端到O点的距离OD，最后用OD减去初始OB的长度，就能得到B端向外移动的距离。
(2) 判断P到O的距离是否变化，可结合直角三角形的性质分析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，木棍滑动时斜边AB长度始终不变，因此斜边上的中线OP长度也不会变化。
(3) 求△AOB的最大面积时，可将固定长度的AB作为三角形的底，那么斜边上的高越大，三角形面积越大；根据点到直线的距离性质，斜边上的高最大不会超过斜边中线OP的长度，当高与中线长度相等时，面积达到最大值，代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) 设木棍A端沿墙下滑0.4 m到达点C，同时B端沿地面向右滑行到点D。
在$Rt△ ABO$中，已知$AB=2.5\ \mathrm{m}$，$BO=0.7\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AO^2=AB^2-BO^2=2.5^2-0.7^2=5.76=2.4^2$，即$AO=2.4\ \mathrm{m}$。
因为A端下滑了0.4 m，所以$OC=AO-AC=2.4-0.4=2\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ CDO$中，$CD=AB=2.5\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$OD^2=CD^2-OC^2=2.5^2-2^2=2.25$，即$OD=1.5\ \mathrm{m}$。
因此B端向外移动的距离$BD=OD-OB=1.5-0.7=0.8\ \mathrm{m}$。
(2) 点P到点O的距离不变。理由：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，木棍滑动过程中斜边AB的长度始终不变，因此斜边上的中线OP的长度也保持不变。
(3) 当$△ AOB$斜边上的高$h$等于中线$OP$时，$△ AOB$的面积最大。理由：若$h$与$OP$不相等，总有$h＜OP$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$，当底$AB$固定时，高$h$越大，面积越大，因此当$h=OP$时，面积取得最大值。
此时$OP=\frac{1}{2}AB=1.25\ \mathrm{m}$，代入公式得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× h=\frac{1}{2}×2.5×1.25=1.5625\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
22. (1)如图(1),设木棍A端沿墙下滑0.4 m到达点C,同时B端沿地面向右滑行到点D,
在Rt△ABO中,已知AB=2.5 m,BO=0.7 m,
则AO²=2.5²-0.7²=5.76=2.4²,即AO=2.4 m.
∵AO=AC+OC,
∴OC=2 m.
∵在Rt△CDO中,AB=CD,且CD为斜边,
∴OD²=CD²-OC²=2.25,即OD=1.5 m.
∴BD=OD-OB=1.5-0.7=0.8(m).
故木棍的底端B向外移动0.8 m.
(2)不变.理由:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,因为斜边AB不变,所以斜边上的中线OP不变.
(3)当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时,面积最大.
如图(2),若h与OP不相等,则总有h＜OP,
故根据三角形面积公式,当h与OP相等时,△AOB的面积最大,此时 S△AOB=$\frac{1}{2}$AB·h=$\frac{1}{2}$×2.5×1.25=1.5625(m²),故△AOB的最大面积为1.5625 m².
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质；三角形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景，综合考查了勾股定理的应用、直角三角形的性质以及面积最值的推导，既要求学生熟练掌握基础几何定理的应用，也需要学生具备一定的逻辑推理能力分析动态变化中的最值情况。
【难度系数】
0.7
(1) 求解B端移动距离时，首先利用勾股定理算出初始状态下墙的高度AO；再结合A端下滑的距离算出下滑后墙的高度OC，再次用勾股定理求出此时B端到O点的距离OD，最后用OD减去初始OB的长度，就能得到B端向外移动的距离。
(2) 判断P到O的距离是否变化，可结合直角三角形的性质分析：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，木棍滑动时斜边AB长度始终不变，因此斜边上的中线OP长度也不会变化。
(3) 求△AOB的最大面积时，可将固定长度的AB作为三角形的底，那么斜边上的高越大，三角形面积越大；根据点到直线的距离性质，斜边上的高最大不会超过斜边中线OP的长度，当高与中线长度相等时，面积达到最大值，代入面积公式计算即可。
【解析】
(1) 设木棍A端沿墙下滑0.4 m到达点C，同时B端沿地面向右滑行到点D。
在$Rt△ ABO$中，已知$AB=2.5\ \mathrm{m}$，$BO=0.7\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$AO^2=AB^2-BO^2=2.5^2-0.7^2=5.76=2.4^2$，即$AO=2.4\ \mathrm{m}$。
因为A端下滑了0.4 m，所以$OC=AO-AC=2.4-0.4=2\ \mathrm{m}$。
在$Rt△ CDO$中，$CD=AB=2.5\ \mathrm{m}$，由勾股定理得：
$OD^2=CD^2-OC^2=2.5^2-2^2=2.25$，即$OD=1.5\ \mathrm{m}$。
因此B端向外移动的距离$BD=OD-OB=1.5-0.7=0.8\ \mathrm{m}$。
(2) 点P到点O的距离不变。理由：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，木棍滑动过程中斜边AB的长度始终不变，因此斜边上的中线OP的长度也保持不变。
(3) 当$△ AOB$斜边上的高$h$等于中线$OP$时，$△ AOB$的面积最大。理由：若$h$与$OP$不相等，总有$h＜OP$，根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×\mathrm{底}×\mathrm{高}$，当底$AB$固定时，高$h$越大，面积越大，因此当$h=OP$时，面积取得最大值。
此时$OP=\frac{1}{2}AB=1.25\ \mathrm{m}$，代入公式得：
$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}× AB× h=\frac{1}{2}×2.5×1.25=1.5625\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
22. (1)如图(1),设木棍A端沿墙下滑0.4 m到达点C,同时B端沿地面向右滑行到点D,
在Rt△ABO中,已知AB=2.5 m,BO=0.7 m,
则AO²=2.5²-0.7²=5.76=2.4²,即AO=2.4 m.
∵AO=AC+OC,
∴OC=2 m.
∵在Rt△CDO中,AB=CD,且CD为斜边,
∴OD²=CD²-OC²=2.25,即OD=1.5 m.
∴BD=OD-OB=1.5-0.7=0.8(m).
故木棍的底端B向外移动0.8 m.
(2)不变.理由:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,因为斜边AB不变,所以斜边上的中线OP不变.
(3)当△AOB的斜边上的高h等于中线OP时,面积最大.
如图(2),若h与OP不相等,则总有h＜OP,
故根据三角形面积公式,当h与OP相等时,△AOB的面积最大,此时 S△AOB=$\frac{1}{2}$AB·h=$\frac{1}{2}$×2.5×1.25=1.5625(m²),故△AOB的最大面积为1.5625 m².
【知识点】
勾股定理；直角三角形斜边中线性质；三角形面积计算
【点评】
本题结合生活实际场景，综合考查了勾股定理的应用、直角三角形的性质以及面积最值的推导，既要求学生熟练掌握基础几何定理的应用，也需要学生具备一定的逻辑推理能力分析动态变化中的最值情况。
【难度系数】
0.7
23. 如图(1),有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为6 m,8 m.现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以8 m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长.(图(2)、图(3)备用)
答案
23. 在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
由勾股定理,得AB=10,应分以下三种情况:
①如图(1),当AB=AD=10时,
∵AC⊥BD,
∴CD=CB=6 m.
∴△ABD的周长为10+10+2×6=32 m;
②如图(2),当AB=BD=10时,
∵BC=6 m,
∴CD=10-6=4 m.
∴AD=$\sqrt{AC^2+CD^2}$=$\sqrt{8^2+4^2}$=4$\sqrt{5}$ m;
∴△ABD的周长为10+10+4$\sqrt{5}$=(20+4$\sqrt{5}$) m;
③如图(3),当AB为底边时,
设AD=BD=x,则CD=x-6,
由勾股定理,得AC²+CD²=AD²,
即8²+(x-6)²=x²,解得x=$\frac{25}{3}$.
∴△ABD的周长为$\frac{25}{3}$+$\frac{25}{3}$+10=$\frac{80}{3}$ m.
综上所述,扩充后等腰三角形绿地的周长为32 m或(20+4$\sqrt{5}$) m或$\frac{80}{3}$ m.
解析
【分析】
首先先处理原直角三角形：已知Rt△ABC中∠C=90°，AC=8m，BC=6m，先用勾股定理求出斜边AB的长度。题目要求扩充为等腰三角形，且扩充部分是以AC为直角边的直角三角形，即需延长BC到点D，连接AD，使△ACD为直角三角形（∠C=90°），且△ABD为等腰三角形。由于等腰三角形的腰和底未明确，因此分三种情况讨论：①AB=AD；②AB=BD；③AD=BD，分别计算每种情况下△ABD的各边长，再求和得到周长。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8m，BC=6m，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$m。
扩充部分是以AC为直角边的直角三角形，故延长BC至D，连接AD，△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，分以下三种情况：
① 当AB=AD=10m时，
∵AC⊥BD，根据等腰三角形三线合一性质，
∴CD=CB=6m，
∴BD=6+6=12m，
△ABD的周长=AB+AD+BD=10+10+12=32m；
② 当AB=BD=10m时，
∵BC=6m，
∴CD=BD-BC=10-6=4m，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$m，
△ABD的周长=AB+BD+AD=10+10+$4\sqrt{5}$=$(20+4\sqrt{5})$m；
③ 当AB为底边，即AD=BD时，
设AD=BD=x m，则CD=BD-BC=(x-6)m，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AC^2+CD^2=AD^2$，
代入得：$8^2+(x-6)^2=x^2$，
展开计算：$64+x^2-12x+36=x^2$，
化简得：$12x=100$，解得$x=\frac{25}{3}$，
∴AD=BD=$\frac{25}{3}$m，
△ABD的周长=AD+BD+AB=$\frac{25}{3}+\frac{25}{3}+10=\frac{80}{3}$m。
综上，扩充后等腰三角形绿地的周长为32m或$(20+4\sqrt{5})$m或$\frac{80}{3}$m。
【答案】
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
由勾股定理,得AB=10,应分以下三种情况:
①如图(1),当AB=AD=10时,
∵AC⊥BD,
∴CD=CB=6 m.
∴△ABD的周长为10+10+2×6=32 m;
②如图(2),当AB=BD=10时,
∵BC=6 m,
∴CD=10-6=4 m.
∴AD=$\sqrt{AC^2+CD^2}$=$\sqrt{8^2+4^2}$=4$\sqrt{5}$ m;
∴△ABD的周长为10+10+4$\sqrt{5}$=(20+4$\sqrt{5}$) m;
③如图(3),当AB为底边时,
设AD=BD=x,则CD=x-6,
由勾股定理,得AC²+CD²=AD²,
即8²+(x-6)²=x²,解得x=$\frac{25}{3}$.
∴△ABD的周长为$\frac{25}{3}$+$\frac{25}{3}$+10=$\frac{80}{3}$ m.
综上所述,扩充后等腰三角形绿地的周长为32 m或(20+4$\sqrt{5}$) m或$\frac{80}{3}$ m.
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，分类讨论
【点评】
本题是几何综合应用题，解题的关键是结合题意明确扩充图形的特征，再根据等腰三角形腰和底的不确定性合理分类讨论，结合勾股定理计算对应边长，解题时要注意考虑所有情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先先处理原直角三角形：已知Rt△ABC中∠C=90°，AC=8m，BC=6m，先用勾股定理求出斜边AB的长度。题目要求扩充为等腰三角形，且扩充部分是以AC为直角边的直角三角形，即需延长BC到点D，连接AD，使△ACD为直角三角形（∠C=90°），且△ABD为等腰三角形。由于等腰三角形的腰和底未明确，因此分三种情况讨论：①AB=AD；②AB=BD；③AD=BD，分别计算每种情况下△ABD的各边长，再求和得到周长。
【解析】
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8m，BC=6m，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$m。
扩充部分是以AC为直角边的直角三角形，故延长BC至D，连接AD，△ACD为直角三角形，∠ACD=90°，分以下三种情况：
① 当AB=AD=10m时，
∵AC⊥BD，根据等腰三角形三线合一性质，
∴CD=CB=6m，
∴BD=6+6=12m，
△ABD的周长=AB+AD+BD=10+10+12=32m；
② 当AB=BD=10m时，
∵BC=6m，
∴CD=BD-BC=10-6=4m，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2+CD^2}=\sqrt{8^2+4^2}=4\sqrt{5}$m，
△ABD的周长=AB+BD+AD=10+10+$4\sqrt{5}$=$(20+4\sqrt{5})$m；
③ 当AB为底边，即AD=BD时，
设AD=BD=x m，则CD=BD-BC=(x-6)m，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：$AC^2+CD^2=AD^2$，
代入得：$8^2+(x-6)^2=x^2$，
展开计算：$64+x^2-12x+36=x^2$，
化简得：$12x=100$，解得$x=\frac{25}{3}$，
∴AD=BD=$\frac{25}{3}$m，
△ABD的周长=AD+BD+AB=$\frac{25}{3}+\frac{25}{3}+10=\frac{80}{3}$m。
综上，扩充后等腰三角形绿地的周长为32m或$(20+4\sqrt{5})$m或$\frac{80}{3}$m。
【答案】
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
由勾股定理,得AB=10,应分以下三种情况:
①如图(1),当AB=AD=10时,
∵AC⊥BD,
∴CD=CB=6 m.
∴△ABD的周长为10+10+2×6=32 m;
②如图(2),当AB=BD=10时,
∵BC=6 m,
∴CD=10-6=4 m.
∴AD=$\sqrt{AC^2+CD^2}$=$\sqrt{8^2+4^2}$=4$\sqrt{5}$ m;
∴△ABD的周长为10+10+4$\sqrt{5}$=(20+4$\sqrt{5}$) m;
③如图(3),当AB为底边时,
设AD=BD=x,则CD=x-6,
由勾股定理,得AC²+CD²=AD²,
即8²+(x-6)²=x²,解得x=$\frac{25}{3}$.
∴△ABD的周长为$\frac{25}{3}$+$\frac{25}{3}$+10=$\frac{80}{3}$ m.
综上所述,扩充后等腰三角形绿地的周长为32 m或(20+4$\sqrt{5}$) m或$\frac{80}{3}$ m.
【知识点】
勾股定理，等腰三角形性质，分类讨论
【点评】
本题是几何综合应用题，解题的关键是结合题意明确扩充图形的特征，再根据等腰三角形腰和底的不确定性合理分类讨论，结合勾股定理计算对应边长，解题时要注意考虑所有情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
