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1. 四个实数$1,0,\sqrt{3},-3$中,最大的是(
A.1
B.0
C.$\sqrt{3}$
D.$-3$
C
).A.1
B.0
C.$\sqrt{3}$
D.$-3$
答案
1.C [解析]四个实数 1,0,$\sqrt{3}$,-3 中,$-3＜0＜1＜\sqrt{3}$,故最大的数是$\sqrt{3}$.故选 C.
解析
【分析】
解题时先回忆实数比较大小的基本规则：负数小于0，0小于正数。首先对四个数按正负、0分类，先排除负数和0，再对剩余的正数进行大小比较即可得到最大的数。比较含根号的正数大小时，可以通过平方的方法：同为正数时，平方大的数本身也更大，该方法符合八年级已学的平方根相关知识。
【解析】
根据实数大小比较的基本规律：负数＜0＜正数，首先判断四个数中-3是负数，小于0，0小于正数，因此先排除-3和0。
剩余两个正数1和$\sqrt{3}$，对两数分别平方：$1^2=1$，$(\sqrt{3})^2=3$，因为$3＞1$，所以$\sqrt{3}＞1$。
因此四个数的大小关系为：$-3＜0＜1＜\sqrt{3}$，最大的数是$\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较；无理数估算
【点评】
本题是基础类题型，主要考察实数大小比较的基本方法，掌握实数大小的比较规则，以及简单的无理数大小判断方法就能快速得到答案。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆实数比较大小的基本规则：负数小于0，0小于正数。首先对四个数按正负、0分类，先排除负数和0，再对剩余的正数进行大小比较即可得到最大的数。比较含根号的正数大小时，可以通过平方的方法：同为正数时，平方大的数本身也更大，该方法符合八年级已学的平方根相关知识。
【解析】
根据实数大小比较的基本规律：负数＜0＜正数，首先判断四个数中-3是负数，小于0，0小于正数，因此先排除-3和0。
剩余两个正数1和$\sqrt{3}$，对两数分别平方：$1^2=1$，$(\sqrt{3})^2=3$，因为$3＞1$，所以$\sqrt{3}＞1$。
因此四个数的大小关系为：$-3＜0＜1＜\sqrt{3}$，最大的数是$\sqrt{3}$。
【答案】
C
【知识点】
实数大小比较；无理数估算
【点评】
本题是基础类题型，主要考察实数大小比较的基本方法，掌握实数大小的比较规则，以及简单的无理数大小判断方法就能快速得到答案。
【难度系数】
0.9
2. 计算$-(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2} + π)^0 + (-\dfrac{1}{2})^{-2}$的结果是（
A.1
B.2
C.$\dfrac{11}{4}$
D.3
D
）。A.1
B.2
C.$\dfrac{11}{4}$
D.3
答案
2.D [解析]原式$=-2+1+4=3$.故选 D.
解析
【分析】
本题是实数混合运算题，可拆分原式的三个部分分别计算后再求和：①计算$-(\sqrt{2})^2$时，先依据二次根式的性质求$(\sqrt{2})^2$的结果，再添加负号即可；②计算$(\sqrt{2}+π)^0$时，先判断底数$\sqrt{2}+π$不为0，再结合零指数幂的运算法则得结果；③计算$(-\dfrac{1}{2})^{-2}$时，根据负整数指数幂的运算法则，将其转化为正整数指数幂计算，最后把三项结果相加得到最终答案。
【解析】
分步计算原式各项：
1. 计算$-(\sqrt{2})^2$：根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，可得$(\sqrt{2})^2=2$，因此$-(\sqrt{2})^2=-2$；
2. 计算$(\sqrt{2}+π)^0$：因$\sqrt{2}+π＞0$，根据非零数的0次幂等于1，可得$(\sqrt{2}+π)^0=1$；
3. 计算$(-\dfrac{1}{2})^{-2}$：根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{2})^2}=4$；
将三项结果相加：$-2+1+4=3$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，零指数幂运算，负整数指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，重点考查对幂运算、二次根式基本运算规则的掌握，计算时需注意符号判断，避免因记错规则失分。
【难度系数】
0.8
本题是实数混合运算题，可拆分原式的三个部分分别计算后再求和：①计算$-(\sqrt{2})^2$时，先依据二次根式的性质求$(\sqrt{2})^2$的结果，再添加负号即可；②计算$(\sqrt{2}+π)^0$时，先判断底数$\sqrt{2}+π$不为0，再结合零指数幂的运算法则得结果；③计算$(-\dfrac{1}{2})^{-2}$时，根据负整数指数幂的运算法则，将其转化为正整数指数幂计算，最后把三项结果相加得到最终答案。
【解析】
分步计算原式各项：
1. 计算$-(\sqrt{2})^2$：根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，可得$(\sqrt{2})^2=2$，因此$-(\sqrt{2})^2=-2$；
2. 计算$(\sqrt{2}+π)^0$：因$\sqrt{2}+π＞0$，根据非零数的0次幂等于1，可得$(\sqrt{2}+π)^0=1$；
3. 计算$(-\dfrac{1}{2})^{-2}$：根据负整数指数幂法则$a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}(a≠0)$，可得$(-\dfrac{1}{2})^{-2}=\dfrac{1}{(-\dfrac{1}{2})^2}=4$；
将三项结果相加：$-2+1+4=3$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质，零指数幂运算，负整数指数幂运算
【点评】
本题是实数运算的基础题型，重点考查对幂运算、二次根式基本运算规则的掌握，计算时需注意符号判断，避免因记错规则失分。
【难度系数】
0.8
3.若$\sqrt{3} ＜ a ＜ \sqrt{10}$，则下列结论中正确的是（
A.$1 ＜ a ＜ 3$
B.$1 ＜ a ＜ 4$
C.$2 ＜ a ＜ 3$
D.$2 ＜ a ＜ 4$
B
）。A.$1 ＜ a ＜ 3$
B.$1 ＜ a ＜ 4$
C.$2 ＜ a ＜ 3$
D.$2 ＜ a ＜ 4$
答案
3.B
解析
【分析】
解题时首先需要估算出$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$的大致取值范围，再结合题目给出的$a$的范围$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{10}$，推导得到$a$的整数区间，最后对照选项选出答案。具体思路是：先找到和根号内的数相邻的两个完全平方数，利用“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，得到两个无理数的取值范围，再结合不等式的传递性即可得到$a$的范围。
【解析】
1. 估算$\sqrt{3}$的取值范围
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
$\therefore \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$
2. 估算$\sqrt{10}$的取值范围
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
3. 推导$a$的取值范围
已知$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{10}$，结合上述范围可得：$a＞\sqrt{3}＞1$，且$a＜\sqrt{10}＜4$，因此$1＜a＜4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数的估算方法，解题关键是通过相邻完全平方数确定无理数的整数范围，再结合不等式性质推导未知量的区间，熟练掌握该方法可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时首先需要估算出$\sqrt{3}$和$\sqrt{10}$的大致取值范围，再结合题目给出的$a$的范围$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{10}$，推导得到$a$的整数区间，最后对照选项选出答案。具体思路是：先找到和根号内的数相邻的两个完全平方数，利用“被开方数越大，对应的算术平方根越大”的性质，得到两个无理数的取值范围，再结合不等式的传递性即可得到$a$的范围。
【解析】
1. 估算$\sqrt{3}$的取值范围
$\because 1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜3＜4$
$\therefore \sqrt{1}＜\sqrt{3}＜\sqrt{4}$，即$1＜\sqrt{3}＜2$
2. 估算$\sqrt{10}$的取值范围
$\because 3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜10＜16$
$\therefore \sqrt{9}＜\sqrt{10}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{10}＜4$
3. 推导$a$的取值范围
已知$\sqrt{3}＜a＜\sqrt{10}$，结合上述范围可得：$a＞\sqrt{3}＞1$，且$a＜\sqrt{10}＜4$，因此$1＜a＜4$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 实数大小比较
【点评】
本题属于基础题型，核心考查无理数的估算方法，解题关键是通过相邻完全平方数确定无理数的整数范围，再结合不等式性质推导未知量的区间，熟练掌握该方法可快速解题。
【难度系数】
0.8
4.若$\sqrt{x-1} - \sqrt{1-x} = (x+y)^2$，则$x-y$的值为（
A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
C
）。A.$-1$
B.$1$
C.$2$
D.$3$
答案
4.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先观察到等式左边包含两个二次根式，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数，因此可以先列出关于x的不等式组确定x的取值，再将x的值代入原式求出y的值，最后计算x-y即可得到结果。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），列不等式组：
$\begin{cases}x-1≥0 \\1-x≥0\end{cases}$
解$x-1≥0$得$x≥1$，解$1-x≥0$得$x≤1$，因此$x=1$。
第二步：把$x=1$代入原等式：
左边=$\sqrt{1-1}-\sqrt{1-1}=0$，因此右边$(1+y)^2=0$。
根据平方的非负性可得$1+y=0$，解得$y=-1$。
第三步：计算$x-y$的值：
$x-y=1-(-1)=2$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，解题的突破口是利用二次根式被开方数的非负性确定x的唯一取值，再代入求解未知量，掌握非负性的应用是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先观察到等式左边包含两个二次根式，根据二次根式的定义，被开方数必须是非负数，因此可以先列出关于x的不等式组确定x的取值，再将x的值代入原式求出y的值，最后计算x-y即可得到结果。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件（被开方数≥0），列不等式组：
$\begin{cases}x-1≥0 \\1-x≥0\end{cases}$
解$x-1≥0$得$x≥1$，解$1-x≥0$得$x≤1$，因此$x=1$。
第二步：把$x=1$代入原等式：
左边=$\sqrt{1-1}-\sqrt{1-1}=0$，因此右边$(1+y)^2=0$。
根据平方的非负性可得$1+y=0$，解得$y=-1$。
第三步：计算$x-y$的值：
$x-y=1-(-1)=2$。
【答案】
C
【知识点】
二次根式有意义的条件；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是二次根式相关的基础常考题，解题的突破口是利用二次根式被开方数的非负性确定x的唯一取值，再代入求解未知量，掌握非负性的应用是解决这类题的关键。
【难度系数】
0.7
5. 下列各式化简结果为无理数的是（
A.$\sqrt[3]{-27}$
B.$(\sqrt{2}-1)^0$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{(-2)^2}$
C
）.A.$\sqrt[3]{-27}$
B.$(\sqrt{2}-1)^0$
C.$\sqrt{8}$
D.$\sqrt{(-2)^2}$
答案
5.C
解析
【分析】
要判断哪个选项的化简结果是无理数，首先明确无理数是无限不循环小数，解题时需先逐一化简每个选项的式子，再结合有理数（整数、分数统称有理数）和无理数的定义判断即可。
【解析】
我们对每个选项分别化简判断：
A. $\sqrt[3]{-27}$：因为$(-3)^3=-27$，所以$\sqrt[3]{-27}=-3$，$-3$是整数，属于有理数，不符合要求；
B. $(\sqrt{2}-1)^0$：根据零指数幂的规则，非零数的0次幂等于1，$\sqrt{2}-1≠0$，所以$(\sqrt{2}-1)^0=1$，$1$是整数，属于有理数，不符合要求；
C. $\sqrt{8}$：化简得$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，因此$2\sqrt{2}$是无理数，符合要求；
D. $\sqrt{(-2)^2}$：先算平方得$(-2)^2=4$，所以$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$2$是整数，属于有理数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别；零指数幂运算；根式化简
【点评】
本题是实数认识模块的基础题型，解题关键是熟练掌握根式化简、零指数幂的运算规则，记住开方开不尽的数是常见的无理数类型即可快速作答。
【难度系数】
0.8
要判断哪个选项的化简结果是无理数，首先明确无理数是无限不循环小数，解题时需先逐一化简每个选项的式子，再结合有理数（整数、分数统称有理数）和无理数的定义判断即可。
【解析】
我们对每个选项分别化简判断：
A. $\sqrt[3]{-27}$：因为$(-3)^3=-27$，所以$\sqrt[3]{-27}=-3$，$-3$是整数，属于有理数，不符合要求；
B. $(\sqrt{2}-1)^0$：根据零指数幂的规则，非零数的0次幂等于1，$\sqrt{2}-1≠0$，所以$(\sqrt{2}-1)^0=1$，$1$是整数，属于有理数，不符合要求；
C. $\sqrt{8}$：化简得$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，因此$2\sqrt{2}$是无理数，符合要求；
D. $\sqrt{(-2)^2}$：先算平方得$(-2)^2=4$，所以$\sqrt{(-2)^2}=\sqrt{4}=2$，$2$是整数，属于有理数，不符合要求。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
无理数的识别；零指数幂运算；根式化简
【点评】
本题是实数认识模块的基础题型，解题关键是熟练掌握根式化简、零指数幂的运算规则，记住开方开不尽的数是常见的无理数类型即可快速作答。
【难度系数】
0.8
6.设$n$为正整数，且$n＜\sqrt{65}＜n+1$，则$n$的值为（
A.5
B.6
C.7
D.8
D
）。A.5
B.6
C.7
D.8
答案
6.D
解析
【分析】
要确定n的值，核心是估算$\sqrt{65}$的取值范围。我们可以先找到与65相邻的两个正整数的完全平方数，再利用算术平方根的性质（被开方数越大，对应的算术平方根越大），就能确定$\sqrt{65}$介于哪两个相邻正整数之间，最终得到n的取值。
【解析】
解：先计算与65相邻的完全平方数：
$8^2=64$，$9^2=81$
因为$64＜65＜81$，根据算术平方根的增减性可得：
$\sqrt{64}＜\sqrt{65}＜\sqrt{81}$
即$8＜\sqrt{65}＜9$
已知$n$为正整数，且满足$n＜\sqrt{65}＜n+1$，对比范围可得$n=8$。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 完全平方数 3. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟记常见正整数的平方值，找到与被开方数相邻的两个完全平方数，即可快速确定无理数的取值范围。
【难度系数】
0.9
要确定n的值，核心是估算$\sqrt{65}$的取值范围。我们可以先找到与65相邻的两个正整数的完全平方数，再利用算术平方根的性质（被开方数越大，对应的算术平方根越大），就能确定$\sqrt{65}$介于哪两个相邻正整数之间，最终得到n的取值。
【解析】
解：先计算与65相邻的完全平方数：
$8^2=64$，$9^2=81$
因为$64＜65＜81$，根据算术平方根的增减性可得：
$\sqrt{64}＜\sqrt{65}＜\sqrt{81}$
即$8＜\sqrt{65}＜9$
已知$n$为正整数，且满足$n＜\sqrt{65}＜n+1$，对比范围可得$n=8$。
【答案】
D
【知识点】
1. 无理数的估算 2. 完全平方数 3. 算术平方根的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的关键是熟记常见正整数的平方值，找到与被开方数相邻的两个完全平方数，即可快速确定无理数的取值范围。
【难度系数】
0.9
7. 如图，数轴上A，B两点表示的数分别为$\sqrt{2}$和5.1，则A，B两点之间表示整数的点共有（
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
C
）。A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
答案
7.C
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要估算出无理数$\sqrt{2}$的取值范围，再找出数轴上在$\sqrt{2}$和5.1之间的所有整数，统计个数即可得到答案。首先用平方估算法确定$\sqrt{2}$的大小，再结合数轴上数的大小关系，按顺序列举范围内的整数，避免漏数或多数。
【解析】
首先估算$\sqrt{2}$的大小：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$。
接下来找大于$\sqrt{2}$且小于5.1的整数，符合条件的整数为2、3、4、5，共4个。
【答案】
C
【知识点】
无理数估算，数轴应用，整数概念
【点评】
本题是实数部分的基础题型，重点考查无理数的估算能力和数轴的实际应用，解题关键是准确确定无理数的取值范围，列举整数时注意边界值的取舍，避免多算或漏算。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先需要估算出无理数$\sqrt{2}$的取值范围，再找出数轴上在$\sqrt{2}$和5.1之间的所有整数，统计个数即可得到答案。首先用平方估算法确定$\sqrt{2}$的大小，再结合数轴上数的大小关系，按顺序列举范围内的整数，避免漏数或多数。
【解析】
首先估算$\sqrt{2}$的大小：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，且$1＜2＜4$，所以$1＜\sqrt{2}＜2$。
接下来找大于$\sqrt{2}$且小于5.1的整数，符合条件的整数为2、3、4、5，共4个。
【答案】
C
【知识点】
无理数估算，数轴应用，整数概念
【点评】
本题是实数部分的基础题型，重点考查无理数的估算能力和数轴的实际应用，解题关键是准确确定无理数的取值范围，列举整数时注意边界值的取舍，避免多算或漏算。
【难度系数】
0.7
8. 已知边长为 $ m $ 的正方形面积为12，则下列关于 $ m $ 的说法中，错误的是（
① $ m $ 是无理数；
② $ m $ 是方程 $ m^2 -12=0 $ 的解；
③ $ m $ 满足不等式组 $ \begin{cases} m -4 ＞0, \\ m -5 ＜0; \end{cases} $
④ $ m $ 是12的算术平方根。
A.①②
B.①③
C.③
D.①②④
C
）。① $ m $ 是无理数；
② $ m $ 是方程 $ m^2 -12=0 $ 的解；
③ $ m $ 满足不等式组 $ \begin{cases} m -4 ＞0, \\ m -5 ＜0; \end{cases} $
④ $ m $ 是12的算术平方根。
A.①②
B.①③
C.③
D.①②④
答案
8.C
解析
【分析】
解题时首先根据正方形面积公式确定m的取值：由正方形面积=边长²，已知面积为12，可得m²=12，结合边长为正，得到m=√12。接下来逐一判断4个说法的正误：①根据无理数的定义判断m是否为无理数；②根据方程解的定义，代入验证m是否满足方程；③先解不等式组得到解集，再判断m是否在解集范围内；④根据算术平方根的定义判断m是否为12的算术平方根，最终找出错误的说法对应选项即可。
【解析】
解：由正方形面积公式得：$m^2=12$，
∵m是正方形的边长，
∴$m＞0$，即$m=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx3.464$。
逐个判断结论：
①$m=2\sqrt{3}$，属于开方开不尽的数，是无理数，故①正确；
②将$m=\sqrt{12}$代入方程$m^2-12=0$，左边$=(\sqrt{12})^2-12=12-12=0=$右边，因此m是方程的解，故②正确；
③解不等式组$\begin{cases} m -4 ＞0 \\ m -5 ＜0 \end{cases}$，得解集为$4＜m＜5$，而$m\approx3.464＜4$，不在该解集范围内，故③错误；
④
∵$(\sqrt{12})^2=12$，且$\sqrt{12}＞0$，符合算术平方根的定义，因此m是12的算术平方根，故④正确。
综上，错误的只有③，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根，无理数判定，不等式组解集
【点评】
本题是实数相关概念的综合基础题，需要先结合几何条件求出m的取值，再逐个验证各个结论，熟练掌握相关基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.75
解题时首先根据正方形面积公式确定m的取值：由正方形面积=边长²，已知面积为12，可得m²=12，结合边长为正，得到m=√12。接下来逐一判断4个说法的正误：①根据无理数的定义判断m是否为无理数；②根据方程解的定义，代入验证m是否满足方程；③先解不等式组得到解集，再判断m是否在解集范围内；④根据算术平方根的定义判断m是否为12的算术平方根，最终找出错误的说法对应选项即可。
【解析】
解：由正方形面积公式得：$m^2=12$，
∵m是正方形的边长，
∴$m＞0$，即$m=\sqrt{12}=2\sqrt{3}\approx3.464$。
逐个判断结论：
①$m=2\sqrt{3}$，属于开方开不尽的数，是无理数，故①正确；
②将$m=\sqrt{12}$代入方程$m^2-12=0$，左边$=(\sqrt{12})^2-12=12-12=0=$右边，因此m是方程的解，故②正确；
③解不等式组$\begin{cases} m -4 ＞0 \\ m -5 ＜0 \end{cases}$，得解集为$4＜m＜5$，而$m\approx3.464＜4$，不在该解集范围内，故③错误；
④
∵$(\sqrt{12})^2=12$，且$\sqrt{12}＞0$，符合算术平方根的定义，因此m是12的算术平方根，故④正确。
综上，错误的只有③，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
算术平方根，无理数判定，不等式组解集
【点评】
本题是实数相关概念的综合基础题，需要先结合几何条件求出m的取值，再逐个验证各个结论，熟练掌握相关基础概念是解题的关键。
【难度系数】
0.75
9. $1-\sqrt{3}$的相反数是
$\sqrt{3}-1$
；$\sqrt[3]{-27}$的绝对值是$3$
答案
9.$\sqrt{3}-1\quad 3$
解析
【分析】
本题考查实数的基础概念运算，解题思路分两步：①求$1-\sqrt{3}$的相反数，需回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数只需给这个数整体加上负号后化简即可；②求$\sqrt[3]{-27}$的绝对值，先根据立方根的运算规则求出$\sqrt[3]{-27}$的结果，再根据绝对值的性质（负数的绝对值是它的相反数）计算结果即可。
【解析】
1. 计算$1-\sqrt{3}$的相反数：
根据相反数的定义，数$a$的相反数为$-a$，因此$1-\sqrt{3}$的相反数为：
$-(1-\sqrt{3})=-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1$
2. 计算$\sqrt[3]{-27}$的绝对值：
先计算立方根：$\because (-3)^3=-27$，$\therefore \sqrt[3]{-27}=-3$
再计算绝对值：负数的绝对值是它的相反数，因此$\left|-3\right|=3$
【答案】
$\sqrt{3}-1$；$3$
【知识点】
相反数的定义；立方根的运算；绝对值的性质
【点评】
本题属于实数部分的基础题型，重点考察基础概念的掌握和简单运算能力，解题时要注意先明确运算顺序，求带根号的数的相关运算时可先化简根式再计算，避免符号出错。
【难度系数】
0.9
本题考查实数的基础概念运算，解题思路分两步：①求$1-\sqrt{3}$的相反数，需回忆相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，求一个数的相反数只需给这个数整体加上负号后化简即可；②求$\sqrt[3]{-27}$的绝对值，先根据立方根的运算规则求出$\sqrt[3]{-27}$的结果，再根据绝对值的性质（负数的绝对值是它的相反数）计算结果即可。
【解析】
1. 计算$1-\sqrt{3}$的相反数：
根据相反数的定义，数$a$的相反数为$-a$，因此$1-\sqrt{3}$的相反数为：
$-(1-\sqrt{3})=-1+\sqrt{3}=\sqrt{3}-1$
2. 计算$\sqrt[3]{-27}$的绝对值：
先计算立方根：$\because (-3)^3=-27$，$\therefore \sqrt[3]{-27}=-3$
再计算绝对值：负数的绝对值是它的相反数，因此$\left|-3\right|=3$
【答案】
$\sqrt{3}-1$；$3$
【知识点】
相反数的定义；立方根的运算；绝对值的性质
【点评】
本题属于实数部分的基础题型，重点考察基础概念的掌握和简单运算能力，解题时要注意先明确运算顺序，求带根号的数的相关运算时可先化简根式再计算，避免符号出错。
【难度系数】
0.9
10. 已知$m,n$为两个连续的整数，且$m＜\sqrt{11}＜n$，则$m+n=$
$7$
.答案
10.7
解析
【分析】
要计算m+n的值，首先需要确定m、n的取值。解题核心是估算$\sqrt{11}$的大小范围：先找到与11相邻的两个正整数的完全平方数，再根据算术平方根的性质，即可判断$\sqrt{11}$介于哪两个连续整数之间，进而得到m、n的值，最后求和即可。
【解析】
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且$9 ＜ 11 ＜ 16$
∴ 根据算术平方根的性质（被开方数越大，对应的算术平方根越大），可得$\sqrt{9} ＜ \sqrt{11} ＜ \sqrt{16}$
即 $3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$
又
∵ m、n为连续整数，且$m ＜ \sqrt{11} ＜ n$
∴ $m=3$，$n=4$
∴ $m+n=3+4=7$
【答案】
7
【知识点】
无理数的估值、算术平方根的性质
【点评】
本题属于实数相关的基础常考题，核心考察对无理数大小的估算能力，掌握通过相邻完全平方数确定无理数取值范围的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要计算m+n的值，首先需要确定m、n的取值。解题核心是估算$\sqrt{11}$的大小范围：先找到与11相邻的两个正整数的完全平方数，再根据算术平方根的性质，即可判断$\sqrt{11}$介于哪两个连续整数之间，进而得到m、n的值，最后求和即可。
【解析】
∵ $3^2=9$，$4^2=16$，且$9 ＜ 11 ＜ 16$
∴ 根据算术平方根的性质（被开方数越大，对应的算术平方根越大），可得$\sqrt{9} ＜ \sqrt{11} ＜ \sqrt{16}$
即 $3 ＜ \sqrt{11} ＜ 4$
又
∵ m、n为连续整数，且$m ＜ \sqrt{11} ＜ n$
∴ $m=3$，$n=4$
∴ $m+n=3+4=7$
【答案】
7
【知识点】
无理数的估值、算术平方根的性质
【点评】
本题属于实数相关的基础常考题，核心考察对无理数大小的估算能力，掌握通过相邻完全平方数确定无理数取值范围的方法即可快速解题。
【难度系数】
0.9
11. 若将三个数$-\sqrt{3},\sqrt{7},\sqrt{11}$表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是
（第11题）
$\sqrt{7}$
。（第11题）答案
11.$\sqrt{7}$
解析
【分析】
解题思路：首先先确定数轴上墨迹覆盖的数值范围，再通过“找相邻平方数”的方法分别估算三个无理数的大小，最后判断哪个数落在覆盖范围内即可。第一步：观察数轴，得到墨迹覆盖的数满足$1＜x＜3$；第二步：分别估算$-\sqrt{3}$、$\sqrt{7}$、$\sqrt{11}$的取值范围，逐一比对是否在1~3区间内，符合的就是所求答案。
【解析】
解：由数轴可知，墨迹覆盖的数的取值范围是$1 ＜ x ＜ 3$。
1. 估算$-\sqrt{3}$的范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，所以$1＜3＜4$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，因此$-2＜-\sqrt{3}＜-1$，不在$1＜x＜3$范围内，不符合要求。
2. 估算$\sqrt{7}$的范围：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，所以$4＜7＜9$，即$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，化简得$2＜\sqrt{7}＜3$，刚好落在$1＜x＜3$范围内，符合要求。
3. 估算$\sqrt{11}$的范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，所以$9＜11＜16$，即$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，化简得$3＜\sqrt{11}＜4$，不在$1＜x＜3$范围内，不符合要求。
综上，能被墨迹覆盖的数是$\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
无理数大小估算、数轴的应用、实数与数轴的对应
【点评】
本题是实数部分的基础题型，核心考查无理数的估算方法，即通过找到与被开方数相邻的两个完全平方数，就能快速确定无理数的取值范围，再结合数轴的范围判断即可得出答案，解题方法具有普适性。
【难度系数】
0.8
解题思路：首先先确定数轴上墨迹覆盖的数值范围，再通过“找相邻平方数”的方法分别估算三个无理数的大小，最后判断哪个数落在覆盖范围内即可。第一步：观察数轴，得到墨迹覆盖的数满足$1＜x＜3$；第二步：分别估算$-\sqrt{3}$、$\sqrt{7}$、$\sqrt{11}$的取值范围，逐一比对是否在1~3区间内，符合的就是所求答案。
【解析】
解：由数轴可知，墨迹覆盖的数的取值范围是$1 ＜ x ＜ 3$。
1. 估算$-\sqrt{3}$的范围：
因为$1^2=1$，$2^2=4$，所以$1＜3＜4$，即$1＜\sqrt{3}＜2$，因此$-2＜-\sqrt{3}＜-1$，不在$1＜x＜3$范围内，不符合要求。
2. 估算$\sqrt{7}$的范围：
因为$2^2=4$，$3^2=9$，所以$4＜7＜9$，即$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，化简得$2＜\sqrt{7}＜3$，刚好落在$1＜x＜3$范围内，符合要求。
3. 估算$\sqrt{11}$的范围：
因为$3^2=9$，$4^2=16$，所以$9＜11＜16$，即$\sqrt{9}＜\sqrt{11}＜\sqrt{16}$，化简得$3＜\sqrt{11}＜4$，不在$1＜x＜3$范围内，不符合要求。
综上，能被墨迹覆盖的数是$\sqrt{7}$。
【答案】
$\sqrt{7}$
【知识点】
无理数大小估算、数轴的应用、实数与数轴的对应
【点评】
本题是实数部分的基础题型，核心考查无理数的估算方法，即通过找到与被开方数相邻的两个完全平方数，就能快速确定无理数的取值范围，再结合数轴的范围判断即可得出答案，解题方法具有普适性。
【难度系数】
0.8
12.实数$a$，$b$在数轴上的位置如图所示，则$\sqrt{a^2} - |a - b| =$
$-b$
。答案
12.$-b$
解析
【分析】
首先观察数轴确定实数a、b的正负：a在原点左侧，故a＜0；b在原点右侧，故b＞0，由此可推出a-b＜0。再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，以及绝对值的化简规则：负数的绝对值等于它的相反数，逐步去掉根号和绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴可知：$a＜0$，$b＞0$，因此$a-b＜0$。
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，因为$a＜0$，所以$\sqrt{a^2}=|a|=-a$；
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，所以$|a-b|=-(a-b)=b-a$；
将上述结果代入原式得：
$\sqrt{a^2} - |a-b| = -a - (b - a) = -a - b + a = -b$
【答案】
$-b$
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是实数运算的基础常考题，核心是结合数轴判断代数式的正负，再正确运用二次根式和绝对值的性质化简，解题时要注意去括号时的符号变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
首先观察数轴确定实数a、b的正负：a在原点左侧，故a＜0；b在原点右侧，故b＞0，由此可推出a-b＜0。再结合二次根式的性质$\sqrt{a^2}=|a|$，以及绝对值的化简规则：负数的绝对值等于它的相反数，逐步去掉根号和绝对值符号，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
由数轴可知：$a＜0$，$b＞0$，因此$a-b＜0$。
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，因为$a＜0$，所以$\sqrt{a^2}=|a|=-a$；
根据绝对值的性质，负数的绝对值是它的相反数，所以$|a-b|=-(a-b)=b-a$；
将上述结果代入原式得：
$\sqrt{a^2} - |a-b| = -a - (b - a) = -a - b + a = -b$
【答案】
$-b$
【知识点】
数轴的应用；二次根式的性质；绝对值化简
【点评】
本题是实数运算的基础常考题，核心是结合数轴判断代数式的正负，再正确运用二次根式和绝对值的性质化简，解题时要注意去括号时的符号变化，避免符号错误。
【难度系数】
0.7
13. 在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为
$6\sqrt{2}$
。答案
13.$6\sqrt{2}$
解析
【分析】
首先观察方格，第一行的三个数全部已知，我们可以先计算第一行三个数的乘积，这个乘积就是所有横、竖、斜对角三个数相乘的共同结果。接下来分别找到包含空格的行或列，利用总乘积求出两个空格的数值，最后将两个数值相乘即可得到答案。
【解析】
第一步：计算所有行、列、斜对角的共同乘积，利用第一行已知数计算：
$3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3} = 6\sqrt{6}$
第二步：设第二行中间的空格数值为$a$，根据第二行乘积等于$6\sqrt{6}$列等式：
$1 × a × 6 = 6\sqrt{6}$
解得：$a=\sqrt{6}$
第三步：设第三行第一个的空格数值为$b$，根据第一列乘积等于$6\sqrt{6}$列等式：
$3\sqrt{2} × 1 × b = 6\sqrt{6}$
解得：$b = \frac{6\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = 2\sqrt{3}$
第四步：计算两个空格的乘积：
$a × b = \sqrt{6} × 2\sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式运算，实数乘法
【点评】
本题是实数运算的创新应用，解题关键是先确定乘积定值，再依次求解未知量，计算过程中要注意二次根式化简的规则。
【难度系数】
0.7
首先观察方格，第一行的三个数全部已知，我们可以先计算第一行三个数的乘积，这个乘积就是所有横、竖、斜对角三个数相乘的共同结果。接下来分别找到包含空格的行或列，利用总乘积求出两个空格的数值，最后将两个数值相乘即可得到答案。
【解析】
第一步：计算所有行、列、斜对角的共同乘积，利用第一行已知数计算：
$3\sqrt{2} × 2 × \sqrt{3} = 6\sqrt{6}$
第二步：设第二行中间的空格数值为$a$，根据第二行乘积等于$6\sqrt{6}$列等式：
$1 × a × 6 = 6\sqrt{6}$
解得：$a=\sqrt{6}$
第三步：设第三行第一个的空格数值为$b$，根据第一列乘积等于$6\sqrt{6}$列等式：
$3\sqrt{2} × 1 × b = 6\sqrt{6}$
解得：$b = \frac{6\sqrt{6}}{3\sqrt{2}} = 2\sqrt{3}$
第四步：计算两个空格的乘积：
$a × b = \sqrt{6} × 2\sqrt{3} = 2\sqrt{18} = 6\sqrt{2}$
【答案】
$6\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式运算，实数乘法
【点评】
本题是实数运算的创新应用，解题关键是先确定乘积定值，再依次求解未知量，计算过程中要注意二次根式化简的规则。
【难度系数】
0.7
14.已知一个正数的两个不同的平方根是$3x-2$和$4-x$，则$x=$
$-1$
。答案
14.$-1$
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆正数平方根的核心性质：一个正数的两个不同平方根互为相反数，而互为相反数的两个数之和为0。因此我们可以利用这个性质列出关于x的一元一次方程，再解方程求出x的值，最后验证结果是否符合题意即可。
【解析】
根据正数的两个平方根互为相反数，可得两个平方根的和为0，据此列方程：
$(3x - 2) + (4 - x) = 0$
整理方程：
$3x - 2 + 4 - x = 0$
合并同类项得：
$2x + 2 = 0$
移项计算：
$2x = -2$
解得：
$x = -1$
验证：当x=-1时，3x-2=-5，4-x=5，二者是互为相反数的不同平方根，符合题意。
【答案】
$-1$
【知识点】
平方根的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是实数章节的基础题型，核心考点是正数平方根的性质，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数，据此建立方程求解即可，整体计算量小，掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先回忆正数平方根的核心性质：一个正数的两个不同平方根互为相反数，而互为相反数的两个数之和为0。因此我们可以利用这个性质列出关于x的一元一次方程，再解方程求出x的值，最后验证结果是否符合题意即可。
【解析】
根据正数的两个平方根互为相反数，可得两个平方根的和为0，据此列方程：
$(3x - 2) + (4 - x) = 0$
整理方程：
$3x - 2 + 4 - x = 0$
合并同类项得：
$2x + 2 = 0$
移项计算：
$2x = -2$
解得：
$x = -1$
验证：当x=-1时，3x-2=-5，4-x=5，二者是互为相反数的不同平方根，符合题意。
【答案】
$-1$
【知识点】
平方根的性质；一元一次方程的解法
【点评】
本题是实数章节的基础题型，核心考点是正数平方根的性质，解题的关键是牢记正数的两个平方根互为相反数，据此建立方程求解即可，整体计算量小，掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
15. 规定用符号$[x]$表示一个实数的整数部分，例如$[3.69]=3$，$[\sqrt{3}]=1$，当按此规定，则$[\sqrt{13}-1]=$
$2$
。答案
15.2
解析
【分析】
要计算$[\sqrt{13}-1]$的值，首先需要明确符号$[x]$的含义：$[x]$表示不超过$x$的最大整数，也就是$x$的整数部分。解题的核心是先估算出$\sqrt{13}$的取值范围，再通过不等式变形得到$\sqrt{13}-1$的取值范围，最后根据定义确定其整数部分。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{13}$的取值范围
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，
根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$。
第二步：推导$\sqrt{13}-1$的取值范围
对上述不等式三边同时减1，不等号方向不变，可得：
$3-1＜\sqrt{13}-1＜4-1$，即$2＜\sqrt{13}-1＜3$。
第三步：根据新定义确定整数部分
$[x]$表示实数的整数部分，介于2和3之间的数的整数部分为2，因此$[\sqrt{13}-1]=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 新定义运算
3. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查对无理数大小的估算能力和对新定义规则的应用能力，解题关键是先确定无理数$\sqrt{13}$的取值范围，再通过简单的不等式变形得到所求式子的范围，即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
要计算$[\sqrt{13}-1]$的值，首先需要明确符号$[x]$的含义：$[x]$表示不超过$x$的最大整数，也就是$x$的整数部分。解题的核心是先估算出$\sqrt{13}$的取值范围，再通过不等式变形得到$\sqrt{13}-1$的取值范围，最后根据定义确定其整数部分。
【解析】
第一步：估算$\sqrt{13}$的取值范围
因为$3^2=9$，$4^2=16$，且$9＜13＜16$，
根据算术平方根的性质，可得$\sqrt{9}＜\sqrt{13}＜\sqrt{16}$，即$3＜\sqrt{13}＜4$。
第二步：推导$\sqrt{13}-1$的取值范围
对上述不等式三边同时减1，不等号方向不变，可得：
$3-1＜\sqrt{13}-1＜4-1$，即$2＜\sqrt{13}-1＜3$。
第三步：根据新定义确定整数部分
$[x]$表示实数的整数部分，介于2和3之间的数的整数部分为2，因此$[\sqrt{13}-1]=2$。
【答案】
2
【知识点】
1. 无理数的估算
2. 新定义运算
3. 不等式的基本性质
【点评】
本题属于基础常考题，重点考查对无理数大小的估算能力和对新定义规则的应用能力，解题关键是先确定无理数$\sqrt{13}$的取值范围，再通过简单的不等式变形得到所求式子的范围，即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
