20. 如图，$△ ACD$ 和 $△ BCE$ 都是等腰直角三角形，$∠ ACD = ∠ BCE = 90°$，$AE$ 交 $DC$ 于点 $F$，$BD$ 分别交 $CE$，$AE$ 于点 $G$，$H$. 试猜想线段 $AE$ 和 $BD$ 的数量和位置关系，并说明理由.

20. 猜想AE=BD,AE⊥BD.理由如下:
∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,
∴AC=DC,EC=BC,∠ACD=∠BCE=90°,
∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,
即∠ACE=∠DCB.
在△ACE和△DCB中,
$\begin{cases}AC=DC,\\∠ACE=∠DCB,\\EC=BC,\end{cases}$
∴△ACE≌△DCB(SAS),
∴AE=BD,∠CAE=∠CDB.
∵∠CAF+∠AFC=90°,∠AFC=∠DFH,
∠CAF=∠FDH,
∴∠FDH+∠DFH=90°,
∴∠FHD=90°,
∴AE⊥BD.

【分析】
要解决本题，首先结合已知的等腰直角三角形条件，先猜想AE和BD的数量关系为相等，位置关系为垂直。第一步证线段相等：可通过证明两条线段所在的三角形全等实现，由等腰直角三角形可得两组对应边相等，再结合已知的两个直角，同时加公共角∠DCE即可得到全等需要的等夹角，用SAS判定△ACE和△DCB全等，就能得到AE=BD。第二步证垂直：利用全等得到的对应角相等，结合对顶角相等、直角三角形两锐角互余的性质，推导得到交点处的角为90°，即可证明AE⊥BD。
【解析】
猜想$AE=BD$，$AE⊥BD$，理由如下：
∵$△ ACD$和$△ BCE$都是等腰直角三角形，
∴$AC=DC$，$EC=BC$，$∠ACD=∠BCE=90°$，
∴$∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE$，
即$∠ACE=∠DCB$。
在$△ ACE$和$△ DCB$中，
$\begin{cases}AC=DC,\\∠ACE=∠DCB,\\EC=BC,\end{cases}$
∴$△ ACE≌△ DCB(\mathrm{SAS})$，
∴$AE=BD$，$∠CAE=∠CDB$。
∵$∠CAF+∠AFC=90°$，$∠AFC=∠DFH$，$∠CAF=∠FDH$，
∴$∠FDH+∠DFH=90°$，
∴$∠FHD=90°$，
∴$AE⊥BD$。
【答案】
$AE=BD$，$AE⊥BD$
【知识点】
1. 等腰直角三角形的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是三角形全等的典型应用题型，解题关键是利用角的和差关系得到全等三角形的对应等角，再结合全等性质完成边角关系的转换，同时需要灵活运用角的等量代换推导垂直关系，能很好地锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6

21.如图,已知在$△ ABC$中,$∠ A = 60°$,D是BC的中点,$CE ⊥ AB$,$BF ⊥ AC$,垂足分别为E,F,连接DE,DF,EF.求证:$△ DEF$为等边三角形.

21.
∵CE⊥AB,BF⊥AC,
∴∠AEC=∠BEC=∠AFB=∠BFC=90°.
∵∠A=60°.
∴∠ABF=∠ACE=30°,
∴∠FBC+∠ECB=90°−∠ACE=60°.
∵D是BC的中点,
∴DE=CD=$\frac{1}{2}$BC,DF=BD=$\frac{1}{2}$BC,
∴∠DEC=∠DCE,∠DBF=∠DFB,DE=DF.
∵∠BDE=∠DEC+∠DCE=2∠DCE,∠CDF=∠DBF+∠DFB=2∠DBF,
∴∠CDF+∠BDE=2∠DBF+2∠DCE=2×60°=120°,
∴∠EDF=60°.
∴△DEF为等边三角形.

【分析】
要证明△DEF为等边三角形，可通过“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”的判定方法推导。首先由CE⊥AB、BF⊥AC可得△BCE和△BCF均为直角三角形，结合D是BC中点的条件，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，可先证得DE=DF，得到△DEF是等腰三角形；接下来只需推导∠EDF=60°即可，结合已知∠A=60°，先求出相关角的度数，再利用三角形外角的性质计算出∠EDF的度数，即可完成证明。
【解析】
∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠AEC=∠BEC=∠AFB=∠BFC=90°。
∵∠A=60°，
∴∠ABF=∠ACE=30°，
∴∠FBC+∠ECB=60°。
∵D是BC的中点，
∴DE=CD=$\frac{1}{2}$BC，DF=BD=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠DEC=∠DCE，∠DBF=∠DFB，DE=DF。
∵∠BDE=∠DEC+∠DCE=2∠DCE，∠CDF=∠DBF+∠DFB=2∠DBF，
∴∠CDF+∠BDE=2∠DBF+2∠DCE=2×60°=120°，
∴∠EDF=180°-120°=60°。
∴△DEF为等边三角形。
【答案】
△DEF为等边三角形
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等边三角形判定，三角形外角性质
【点评】
本题属于三角形章节的典型综合题，解题核心是灵活运用特殊三角形的性质完成边相等、角为60°的推导，能较好地考察学生的逻辑推理能力和角度运算能力。
【难度系数】
0.6

22. 如图，$AD// BC$，$AE$，$BE$分别平分$∠ DAB$，$∠ CBA$，$CD$过点$E$，求证：$AB=AD+BC$.

22. 如图,在AB上取点F,使AF=AD,连接FE.
∵AE,EB分别平分∠DAB,∠CBA,
∴∠DAE=∠BAE,∠ABE=∠CBE.
易知△ADE≌△AFE(SAS),
∴∠D=∠AFE.
∵AD//BC,
∴∠ADE+∠C=180°.
又∠AFE+∠BFE=180°,
∴∠C=∠BFE,
∴△FBE≌△CBE(AAS),
∴BF=BC,
∴AB=AF+BF=AD+BC.

【分析】
要证明AB=AD+BC，属于线段和差类证明问题，常用截长补短法求解。我们选择“截长”的思路：在AB上截取一段等于AD，将问题转化为证明AB剩余的线段等于BC即可。首先利用角平分线的条件，证明截得的线段与AD构造的三角形和△ADE全等，得到对应角相等；再结合AD//BC的性质，通过等角的补角相等得到另一组对应角相等，进而证明剩余线段与BC所在的三角形全等，得到对应边相等，最终即可推导出结论。
【解析】
证明：在AB上取点F，使AF=AD，连接FE。
∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，
∴∠DAE=∠FAE，∠FBE=∠CBE。
在△ADE和△AFE中：
$\{\begin{array}{l}AD=AF\\ ∠ DAE=∠ FAE\\ AE=AE\end{array} $
∴△ADE≌△AFE（SAS），
∴∠D=∠AFE。
∵AD//BC，
∴∠D+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵∠AFE+∠BFE=180°（平角的定义），
∴∠BFE=∠C（等角的补角相等）。
在△FBE和△CBE中：
$\{\begin{array}{l}∠ BFE=∠ C\\ ∠ FBE=∠ CBE\\ BE=BE\end{array} $
∴△FBE≌△CBE（AAS），
∴BF=BC。
∴AB=AF+BF=AD+BC，得证。
【答案】
22. 如图,在AB上取点F,使AF=AD,连接FE.
∵AE,EB分别平分∠DAB,∠CBA,
∴∠DAE=∠BAE,∠ABE=∠CBE.
易知△ADE≌△AFE(SAS),
∴∠D=∠AFE.
∵AD//BC,
∴∠ADE+∠C=180°.
又∠AFE+∠BFE=180°,
∴∠C=∠BFE,
∴△FBE≌△CBE(AAS),
∴BF=BC,
∴AB=AF+BF=AD+BC.

【知识点】
全等三角形的判定与性质；角平分线的定义；平行线的性质
【点评】
本题是线段和差证明的典型题型，核心是运用截长补短的辅助线构造思路，结合全等三角形、角平分线、平行线的相关性质求解，截长补短法是解决此类线段和差问题的常用方法，要熟练掌握其运用场景和构造方法。
【难度系数】
0.6

23. 在$△ ABC$中,已知$∠ A=90°,AB=AC,D$为$BC$的中点.
(1)如图,$E,F$分别是$AB,AC$上的点,且$BE=AF$,则$△ DEF$为等腰直角三角形.请说明理由.
(2)若$E,F$分别为$AB,CA$延长线上的点,仍有$BE=AF$,其他条件不变,那么$△ DEF$是否仍为等腰直角三角形?若是,请说明理由.

23.(1)理由如下:连接AD.
∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,BD=AD.
∴∠B=∠DAB=∠DAC=45°.
在△BDE和△ADF中,
$\begin{cases}BD=AD,\\∠B=∠DAC,\\BE=AF,\end{cases}$
∴△BDE≌△ADF(SAS).
∴ED=FD,∠BDE=∠ADF.
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF
=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°.
∴△DEF是等腰直角三角形.
(2)△DEF仍是等腰直角三角形.理由如下:
如图,连接AD.

∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,
∴AD=BD,AD⊥BC.
∴∠DAC=∠ABD=45°.
∴∠DAF=∠DBE=135°.
又AF=BE,
∴△DAF≌△DBE(SAS).
∴FD=ED,∠FDA=∠EDB.
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.
∴△DEF是等腰直角三角形.

【分析】
要证明△DEF是等腰直角三角形，需同时证明该三角形有两条边相等，且两边的夹角为90°。已知△ABC是等腰直角三角形，D是BC中点，连接AD是常用辅助线：可利用等腰直角三角形斜边中线的性质，得到AD与BD相等、相关角的度数，再结合已知BE=AF的条件证明三角形全等，得到对应边相等，最后通过角的等量代换证明夹角为直角即可。
(1)第一问E、F在AB、AC边上，先证△BDE≌△ADF，得到ED=FD，再转化角得到∠EDF=90°即可得证；
(2)第二问E、F在AB、CA的延长线上，同理连接AD，先推导∠DAF=∠DBE=135°，再证△DAF≌△DBE，后续角度推导与第一问思路一致即可得证。
【解析】
(1) 连接AD。
∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=AD。
∴∠B=∠DAB=∠DAC=45°。
在△BDE和△ADF中，
$\begin{cases}BD=AD,\\∠B=∠DAC,\\BE=AF,\end{cases}$
∴△BDE≌△ADF(SAS)。
∴ED=FD，∠BDE=∠ADF。
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°。
∴△DEF是等腰直角三角形。
(2) △DEF仍是等腰直角三角形，理由如下：
连接AD。

∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，
∴AD=BD，AD⊥BC。
∴∠DAC=∠ABD=45°。
∴∠DAF=∠DBE=180°-45°=135°。
又
∵AF=BE，
在△DAF和△DBE中，
$\begin{cases}AD=BD,\\∠DAF=∠DBE,\\AF=BE,\end{cases}$
∴△DAF≌△DBE(SAS)。
∴FD=ED，∠FDA=∠EDB。
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°。
∴△DEF是等腰直角三角形。
【答案】
(1) △DEF为等腰直角三角形，理由如下:连接AD.
∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,
∴AD⊥BC,BD=AD.
∴∠B=∠DAB=∠DAC=45°.
在△BDE和△ADF中,
$\begin{cases}BD=AD,\\∠B=∠DAC,\\BE=AF,\end{cases}$
∴△BDE≌△ADF(SAS).
∴ED=FD,∠BDE=∠ADF.
∴∠EDF=∠EDA+∠ADF
=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°.
∴△DEF是等腰直角三角形.
(2)△DEF仍是等腰直角三角形.理由如下:
如图,连接AD.

∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC的中点,
∴AD=BD,AD⊥BC.
∴∠DAC=∠ABD=45°.
∴∠DAF=∠DBE=135°.
又AF=BE,
∴△DAF≌△DBE(SAS).
∴FD=ED,∠FDA=∠EDB.
∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.
∴△DEF是等腰直角三角形.
【知识点】
1. 等腰直角三角形的性质
2. 全等三角形的判定与性质
3. 角度的等量代换
【点评】
本题是等腰直角三角形与全等三角形结合的典型综合题，解题的核心是通过连接AD构造全等三角形，利用等腰直角三角形斜边中线的特殊性获取全等的边、角条件，再通过角度转化证明直角，对全等判定的掌握和几何辅助线构造能力有一定要求。
【难度系数】
0.6