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10. 如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则∠1+∠2=
45°
.答案
10.45°
解析
【分析】
要求∠1+∠2的度数，可利用正方形网格边长相等的特点，通过构造全等三角形将∠1转移到和∠2共顶点的位置，再结合勾股定理判断新得到的三角形的形状，即可求出两个角的和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 观察含∠1的直角三角形，它的两条直角边长分别为1、2，在∠2的同侧构造一个与其全等的直角三角形，根据全等三角形对应角相等，可得∠1等于该三角形中与∠2相邻的锐角，记为∠3，即∠1=∠3。
2. 计算∠2+∠3所在三角形的三边长：两条边长均为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，第三条边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
3. 验证三边关系：$(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=5+5=10=(\sqrt{10})^2$，且两条短边长度相等，因此该三角形是等腰直角三角形，它的锐角等于45°，即∠2+∠3=45°。
4. 代入∠1=∠3，可得∠1+∠2=45°。
【答案】
$45°$
【知识点】
全等三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格角度计算的常见题型，解题的核心是通过构造全等三角形实现角度的转化，再结合勾股定理逆定理判断三角形形状，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
要求∠1+∠2的度数，可利用正方形网格边长相等的特点，通过构造全等三角形将∠1转移到和∠2共顶点的位置，再结合勾股定理判断新得到的三角形的形状，即可求出两个角的和。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
1. 观察含∠1的直角三角形，它的两条直角边长分别为1、2，在∠2的同侧构造一个与其全等的直角三角形，根据全等三角形对应角相等，可得∠1等于该三角形中与∠2相邻的锐角，记为∠3，即∠1=∠3。
2. 计算∠2+∠3所在三角形的三边长：两条边长均为$\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，第三条边长为$\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$。
3. 验证三边关系：$(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=5+5=10=(\sqrt{10})^2$，且两条短边长度相等，因此该三角形是等腰直角三角形，它的锐角等于45°，即∠2+∠3=45°。
4. 代入∠1=∠3，可得∠1+∠2=45°。
【答案】
$45°$
【知识点】
全等三角形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是网格角度计算的常见题型，解题的核心是通过构造全等三角形实现角度的转化，再结合勾股定理逆定理判断三角形形状，体现了转化思想在几何计算中的应用。
【难度系数】
0.6
11.已知一个三角形的三条边的长分别是5,7,10,另一个三角形的三条边的长分别是5,2x+1,3x+1.若这两个三角形全等,则x的值是
3
.答案
11.3
解析
【分析】
本题考查全等三角形的性质应用，解题思路如下：首先根据全等三角形对应边相等的性质，已知两个三角形有一条长度均为5的边，因此剩余的两条边需分别对应相等，分两种情况列方程求解；其次求出x的解后要验证是否同时满足两个边的对应关系，不符合的解要舍去，最终得到正确的x值。
【解析】
∵ 两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，两个三角形均有边长为5的边，因此剩余两条边对应相等，分两种情况讨论：
情况一：当边长为7的边与$2x+1$对应，边长为10的边与$3x+1$对应时，列方程组：
$\begin{cases}2x+1=7 \\3x+1=10 \end{cases}$
解第一个方程：$2x=7-1=6$，得$x=3$，
将$x=3$代入第二个方程左边：$3×3+1=10$，等于右边，符合题意。
情况二：当边长为7的边与$3x+1$对应，边长为10的边与$2x+1$对应时，列方程组：
$\begin{cases}2x+1=10 \\3x+1=7 \end{cases}$
解第一个方程得$x=4.5$，代入第二个方程左边：$3×4.5+1=14.5≠7$，矛盾，该情况舍去。
综上，x的值为3。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的性质，解一元一次方程，分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确全等三角形对应边相等的性质，注意要分情况讨论对应边的匹配关系，求出解后需验证是否符合所有对应边的相等要求，避免漏验导致错解。
【难度系数】
0.7
本题考查全等三角形的性质应用，解题思路如下：首先根据全等三角形对应边相等的性质，已知两个三角形有一条长度均为5的边，因此剩余的两条边需分别对应相等，分两种情况列方程求解；其次求出x的解后要验证是否同时满足两个边的对应关系，不符合的解要舍去，最终得到正确的x值。
【解析】
∵ 两个三角形全等，全等三角形的对应边相等，两个三角形均有边长为5的边，因此剩余两条边对应相等，分两种情况讨论：
情况一：当边长为7的边与$2x+1$对应，边长为10的边与$3x+1$对应时，列方程组：
$\begin{cases}2x+1=7 \\3x+1=10 \end{cases}$
解第一个方程：$2x=7-1=6$，得$x=3$，
将$x=3$代入第二个方程左边：$3×3+1=10$，等于右边，符合题意。
情况二：当边长为7的边与$3x+1$对应，边长为10的边与$2x+1$对应时，列方程组：
$\begin{cases}2x+1=10 \\3x+1=7 \end{cases}$
解第一个方程得$x=4.5$，代入第二个方程左边：$3×4.5+1=14.5≠7$，矛盾，该情况舍去。
综上，x的值为3。
【答案】
3
【知识点】
全等三角形的性质，解一元一次方程，分类讨论思想
【点评】
本题解题的关键是明确全等三角形对应边相等的性质，注意要分情况讨论对应边的匹配关系，求出解后需验证是否符合所有对应边的相等要求，避免漏验导致错解。
【难度系数】
0.7
12. 如图，$△ ABE ≌ △ ACD$，$∠ B = 48°$，$BE = 5$，$∠ AEB = 64°$，点B和点C，点D和点E是对应点，则$∠ ADC =$
64°
，$∠ DAE =$ 52°
，$CD =$ 5
。答案
12. 64° 52° 5
解析
【分析】
解题时首先利用全等三角形的性质，结合题目给出的对应点关系，先直接得出对应角∠ADC和对应边CD的结果；再观察图形可知∠ADC和∠AEB是△ADE的两个底角，结合三角形内角和为180°，即可求出∠DAE的度数。
【解析】
1. 已知$△ABE ≌ △ACD$，点B和点C、点D和点E是对应点，根据全等三角形对应角相等、对应边相等的性质：
$∠ ADC=∠ AEB=64°$，$CD=BE=5$。
2. 由对应点关系可知$∠ AED=∠ AEB=64°$，在$△ ADE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ DAE=180°-∠ ADC-∠ AED=180°-64°-64°=52°$。
【答案】
$64°$；$52°$；$5$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查全等三角形性质的基础应用，解题的核心是准确识别全等三角形的对应边和对应角，结合三角形内角和公式计算角度，做题时要注意不要混淆对应关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用全等三角形的性质，结合题目给出的对应点关系，先直接得出对应角∠ADC和对应边CD的结果；再观察图形可知∠ADC和∠AEB是△ADE的两个底角，结合三角形内角和为180°，即可求出∠DAE的度数。
【解析】
1. 已知$△ABE ≌ △ACD$，点B和点C、点D和点E是对应点，根据全等三角形对应角相等、对应边相等的性质：
$∠ ADC=∠ AEB=64°$，$CD=BE=5$。
2. 由对应点关系可知$∠ AED=∠ AEB=64°$，在$△ ADE$中，根据三角形内角和为$180°$：
$∠ DAE=180°-∠ ADC-∠ AED=180°-64°-64°=52°$。
【答案】
$64°$；$52°$；$5$
【知识点】
全等三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题重点考查全等三角形性质的基础应用，解题的核心是准确识别全等三角形的对应边和对应角，结合三角形内角和公式计算角度，做题时要注意不要混淆对应关系。
【难度系数】
0.8
13. 如图,在$△ ABC$中,$BC=5\ \mathrm{cm}$,$BP$,$CP$分别是$∠ ABC$和$∠ ACB$的平分线,且$PD// AB$,$PE// AC$,则$△ PDE$的周长是
5
$\mathrm{cm}$.答案
13.5
解析
【分析】
解题时从已知条件入手推导：首先结合角平分线的定义可得等角，再配合平行线的内错角相等的性质，可推导出△PBD和△PCE都是等腰三角形，得到BD=PD、CE=PE；此时△PDE的周长为PD+DE+PE，将PD、PE分别替换为相等的BD、CE，即可将周长转化为BC的长度，直接代入已知的BC数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠PBD，
又
∵PD//AB，
∴∠ABP=∠BPD（两直线平行，内错角相等），
∴∠PBD=∠BPD，
∴BD=PD（等角对等边）。
同理，
∵CP是∠ACB的平分线，
∴∠ACP=∠PCE，
又
∵PE//AC，
∴∠ACP=∠CPE（两直线平行，内错角相等），
∴∠PCE=∠CPE，
∴CE=PE（等角对等边）。
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+CE=BC，
已知BC=5 cm，因此△PDE的周长为5 cm。
【答案】
5
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于三角形部分的典型题型，核心是利用“角平分线+平行线”的组合特征推导等腰三角形，通过线段等量替换将未知三角形的周长转化为已知线段的长度，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.7
解题时从已知条件入手推导：首先结合角平分线的定义可得等角，再配合平行线的内错角相等的性质，可推导出△PBD和△PCE都是等腰三角形，得到BD=PD、CE=PE；此时△PDE的周长为PD+DE+PE，将PD、PE分别替换为相等的BD、CE，即可将周长转化为BC的长度，直接代入已知的BC数值即可得到结果。
【解析】
解：
∵BP是∠ABC的平分线，
∴∠ABP=∠PBD，
又
∵PD//AB，
∴∠ABP=∠BPD（两直线平行，内错角相等），
∴∠PBD=∠BPD，
∴BD=PD（等角对等边）。
同理，
∵CP是∠ACB的平分线，
∴∠ACP=∠PCE，
又
∵PE//AC，
∴∠ACP=∠CPE（两直线平行，内错角相等），
∴∠PCE=∠CPE，
∴CE=PE（等角对等边）。
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+CE=BC，
已知BC=5 cm，因此△PDE的周长为5 cm。
【答案】
5
【知识点】
角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定
【点评】
本题属于三角形部分的典型题型，核心是利用“角平分线+平行线”的组合特征推导等腰三角形，通过线段等量替换将未知三角形的周长转化为已知线段的长度，体现了数学中的转化思想。
【难度系数】
0.7
14.如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ B=30°$,$ED$是$BC$的垂直平分线,请写出图中一组相等的线段:
$BE=CE=AC=AE$(答案不唯一)
.答案
14. $BE=CE=AC=AE$(答案不唯一)
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先看到ED是BC的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质，可直接得到一组相等线段；再结合直角三角形的角度特征、等边对等角的性质推导三角形的形状，进而得到更多相等线段。第一步：根据垂直平分线性质得BE=CE、BD=CD；第二步：由等边对等角得∠ECB=∠B=30°，计算出∠ACE和∠A都为60°，判定△AEC是等边三角形，即可得AC=AE=CE，最终得到多组相等线段。
【解析】
1. 由ED是BC的垂直平分线，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可得：$BE=CE$，$BD=CD$。
2. 因为$BE=CE$，所以$∠ ECB=∠ B=30°$。
3. 已知$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，所以$∠ A=90°-30°=60°$，$∠ ACE=∠ ACB-∠ ECB=90°-30°=60°$。
4. 在$△ AEC$中，$∠ A=∠ ACE=60°$，所以$△ AEC$是等边三角形，因此$AC=AE=CE$。
综上可得多组相等线段，任选一组即可。
【答案】
$BE=CE$（答案不唯一，$BE=CE=AC=AE$、$BD=CD$等均正确）
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将线段垂直平分线性质和特殊三角形的性质结合考查，解题时从已知性质出发逐步推导即可，答案不唯一，可直接写出最直观的等线段。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先看到ED是BC的垂直平分线，优先回忆线段垂直平分线的性质，可直接得到一组相等线段；再结合直角三角形的角度特征、等边对等角的性质推导三角形的形状，进而得到更多相等线段。第一步：根据垂直平分线性质得BE=CE、BD=CD；第二步：由等边对等角得∠ECB=∠B=30°，计算出∠ACE和∠A都为60°，判定△AEC是等边三角形，即可得AC=AE=CE，最终得到多组相等线段。
【解析】
1. 由ED是BC的垂直平分线，根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，可得：$BE=CE$，$BD=CD$。
2. 因为$BE=CE$，所以$∠ ECB=∠ B=30°$。
3. 已知$∠ ACB=90°$，$∠ B=30°$，所以$∠ A=90°-30°=60°$，$∠ ACE=∠ ACB-∠ ECB=90°-30°=60°$。
4. 在$△ AEC$中，$∠ A=∠ ACE=60°$，所以$△ AEC$是等边三角形，因此$AC=AE=CE$。
综上可得多组相等线段，任选一组即可。
【答案】
$BE=CE$（答案不唯一，$BE=CE=AC=AE$、$BD=CD$等均正确）
【知识点】
线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定、直角三角形的性质
【点评】
本题属于基础几何题，将线段垂直平分线性质和特殊三角形的性质结合考查，解题时从已知性质出发逐步推导即可，答案不唯一，可直接写出最直观的等线段。
【难度系数】
0.8
15. 在$△ ADB$和$△ ADC$中，下列条件：①$BD=DC$，$AB=AC$；②$∠ B=∠ C$，$∠ BAD=∠ CAD$；③$∠ B=∠ C$，$BD=DC$；④$∠ ADB=∠ ADC$，$BD=DC$。其中能得出$△ ABD ≌ △ ACD$的序号是
①②④
。答案
15.①②④
解析
【分析】
解这道题首先要回忆全等三角形的判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等），同时要注意△ABD和△ACD存在公共边AD=AD这个隐藏的相等条件，另外要牢记SSA（两边及其中一边的对角对应相等）不能作为全等判定依据，避免错选。我们只需逐个验证4组条件是否符合判定定理即可得到结果。
【解析】
△ADB和△ADC有公共边AD=AD，逐个分析条件：
1. 条件①：已知BD=DC，AB=AC，结合公共边AD=AD，满足SSS全等判定规则，可推出△ABD≌△ACD；
2. 条件②：已知∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，结合公共边AD=AD，满足AAS全等判定规则，可推出△ABD≌△ACD；
3. 条件③：已知∠B=∠C，BD=DC，结合公共边AD=AD，属于SSA的情况，不能判定三角形全等，不符合要求；
4. 条件④：已知∠ADB=∠ADC，BD=DC，结合公共边AD=AD，满足SAS全等判定规则，可推出△ABD≌△ACD。
综上，符合要求的序号为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
全等三角形判定；公共边的应用；SSA判定限制
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题型，解题核心是先挖掘出公共边这个隐藏条件，同时要注意区分全等判定的有效规则和SSA这类无效判定情况，避免因概念混淆漏选或错选。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要回忆全等三角形的判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角的对边对应相等），同时要注意△ABD和△ACD存在公共边AD=AD这个隐藏的相等条件，另外要牢记SSA（两边及其中一边的对角对应相等）不能作为全等判定依据，避免错选。我们只需逐个验证4组条件是否符合判定定理即可得到结果。
【解析】
△ADB和△ADC有公共边AD=AD，逐个分析条件：
1. 条件①：已知BD=DC，AB=AC，结合公共边AD=AD，满足SSS全等判定规则，可推出△ABD≌△ACD；
2. 条件②：已知∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，结合公共边AD=AD，满足AAS全等判定规则，可推出△ABD≌△ACD；
3. 条件③：已知∠B=∠C，BD=DC，结合公共边AD=AD，属于SSA的情况，不能判定三角形全等，不符合要求；
4. 条件④：已知∠ADB=∠ADC，BD=DC，结合公共边AD=AD，满足SAS全等判定规则，可推出△ABD≌△ACD。
综上，符合要求的序号为①②④。
【答案】
①②④
【知识点】
全等三角形判定；公共边的应用；SSA判定限制
【点评】
本题是全等三角形判定的基础应用题型，解题核心是先挖掘出公共边这个隐藏条件，同时要注意区分全等判定的有效规则和SSA这类无效判定情况，避免因概念混淆漏选或错选。
【难度系数】
0.7
16.如图，直线$l$经过等边三角形$ABC$的顶点$B$，在$l$上取点$D$，$E$，使$∠ ADB=∠ CEB=120°$.若$AD=2\ \mathrm{cm}$，$CE=5\ \mathrm{cm}$，则$DE=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.
答案
16.3
解析
【分析】
首先结合等边三角形的性质：三边相等，每个内角为60°，再根据已知的两个120°角，利用三角形内角和推导角的等量关系，证明△ABD和△BCE全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质转化线段长度，即可求出DE的长度。具体思路：1. 由等边三角形性质得到AB=BC，∠ABC=60°；2. 推导得到∠BAD=∠CBE，结合已知等角，用AAS证明两个三角形全等；3. 根据全等对应边相等得到AD=BE、BD=CE，代入数值计算DE=BD-BE即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB=BC$，$∠ABC=60°$，
∴$∠ABD + ∠CBE = 60°$。
∵$∠ADB=120°$，
在△ABD中，根据三角形内角和定理：
$∠BAD + ∠ABD = 180° - 120° = 60°$，
∴$∠BAD = ∠CBE$。
在△ABD和△BCE中：
$\begin{cases}∠ADB=∠BEC=120° \\∠BAD=∠CBE \\AB=BC\end{cases}$
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴$AD=BE=2\ \mathrm{cm}$，$BD=CE=5\ \mathrm{cm}$，
∴$DE=BD - BE=5 - 2=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的典型综合题，解题核心是通过角度的和差关系推导等角，进而证明三角形全等，再利用全等性质转化线段长度求解，能很好地考察逻辑推理能力和线段转化能力。
【难度系数】
0.7
首先结合等边三角形的性质：三边相等，每个内角为60°，再根据已知的两个120°角，利用三角形内角和推导角的等量关系，证明△ABD和△BCE全等，最后利用全等三角形对应边相等的性质转化线段长度，即可求出DE的长度。具体思路：1. 由等边三角形性质得到AB=BC，∠ABC=60°；2. 推导得到∠BAD=∠CBE，结合已知等角，用AAS证明两个三角形全等；3. 根据全等对应边相等得到AD=BE、BD=CE，代入数值计算DE=BD-BE即可。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴$AB=BC$，$∠ABC=60°$，
∴$∠ABD + ∠CBE = 60°$。
∵$∠ADB=120°$，
在△ABD中，根据三角形内角和定理：
$∠BAD + ∠ABD = 180° - 120° = 60°$，
∴$∠BAD = ∠CBE$。
在△ABD和△BCE中：
$\begin{cases}∠ADB=∠BEC=120° \\∠BAD=∠CBE \\AB=BC\end{cases}$
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴$AD=BE=2\ \mathrm{cm}$，$BD=CE=5\ \mathrm{cm}$，
∴$DE=BD - BE=5 - 2=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
3
【知识点】
等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形的典型综合题，解题核心是通过角度的和差关系推导等角，进而证明三角形全等，再利用全等性质转化线段长度求解，能很好地考察逻辑推理能力和线段转化能力。
【难度系数】
0.7
17. 新考法 动点问题 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=10,BC=5$,线段$PQ=AB$,$P,Q$两点分别在$AC$和过点$A$且垂直于$AC$的射线$AO$上运动,当$AP=$
5或10
时,$△ ABC$和$△ PQA$全等.答案
17.5或10 [解析]
∵∠ACB=∠PAQ=90°,PQ=AB,
∴当AP=CB=5时,Rt△PQA≌Rt△BAC;
当AP=CA=10时,Rt△PQA≌Rt△ABC.
即AP为5或10时,△ABC和△PQA全等.
关键提醒 本题考查了全等三角形的判定.注意分类讨论思想在动点问题中的运用是解题的关键.
∵∠ACB=∠PAQ=90°,PQ=AB,
∴当AP=CB=5时,Rt△PQA≌Rt△BAC;
当AP=CA=10时,Rt△PQA≌Rt△ABC.
即AP为5或10时,△ABC和△PQA全等.
关键提醒 本题考查了全等三角形的判定.注意分类讨论思想在动点问题中的运用是解题的关键.
解析
【分析】
本题是动点背景下的直角三角形全等判定问题，已知两个直角三角形的斜边PQ=AB，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需再满足一组直角边对应相等即可判定全等。由于动点运动时两个三角形的对应边不固定，因此需要分类讨论两种直角边对应的情况，分别计算AP的长度，避免漏解。
【解析】
解：由题意可知∠C=∠PAQ=90°，即△ABC和△PQA均为直角三角形，且已知PQ=AB。
① 当AP=BC=5时：
在$\mathrm{Rt}△ PQA$和$\mathrm{Rt}△ BAC$中，
$\{\begin{array}{l}PQ=AB\\ AP=BC\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△ PQA≌\mathrm{Rt}△ BAC(\mathrm{HL})$；
② 当AP=AC=10时：
在$\mathrm{Rt}△ PQA$和$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$\{\begin{array}{l}PQ=AB\\ AP=AC\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△ PQA≌\mathrm{Rt}△ ABC(\mathrm{HL})$。
综上，AP为5或10时，△ABC和△PQA全等。
【答案】
5或10
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定
2. 分类讨论思想
【点评】
本题考查全等三角形的判定在动点问题中的应用，解题关键是结合HL判定定理，利用分类讨论思想全面分析两种直角边对应相等的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题是动点背景下的直角三角形全等判定问题，已知两个直角三角形的斜边PQ=AB，根据直角三角形全等的HL判定定理，只需再满足一组直角边对应相等即可判定全等。由于动点运动时两个三角形的对应边不固定，因此需要分类讨论两种直角边对应的情况，分别计算AP的长度，避免漏解。
【解析】
解：由题意可知∠C=∠PAQ=90°，即△ABC和△PQA均为直角三角形，且已知PQ=AB。
① 当AP=BC=5时：
在$\mathrm{Rt}△ PQA$和$\mathrm{Rt}△ BAC$中，
$\{\begin{array}{l}PQ=AB\\ AP=BC\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△ PQA≌\mathrm{Rt}△ BAC(\mathrm{HL})$；
② 当AP=AC=10时：
在$\mathrm{Rt}△ PQA$和$\mathrm{Rt}△ ABC$中，
$\{\begin{array}{l}PQ=AB\\ AP=AC\end{array} $
$\therefore \mathrm{Rt}△ PQA≌\mathrm{Rt}△ ABC(\mathrm{HL})$。
综上，AP为5或10时，△ABC和△PQA全等。
【答案】
5或10
【知识点】
1. 直角三角形全等的判定
2. 分类讨论思想
【点评】
本题考查全等三角形的判定在动点问题中的应用，解题关键是结合HL判定定理，利用分类讨论思想全面分析两种直角边对应相等的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
18.定义:等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”.若等腰三角形ABC中,∠A=70°,则它的特征值k=
$\frac{14}{11}$或$\frac{4}{7}$
.答案
18. $\frac{14}{11}$或$\frac{4}{7}$ [解析]当∠A为顶角时,∠B=∠C=$\frac{1}{2}$(180°−∠A)=55°,
∴它的特征值k=$\frac{70°}{55°}$=$\frac{14}{11}$;
当∠A为底角时,顶角=180°−2∠A=40°,
∴它的特征值k=$\frac{40°}{70°}$=$\frac{4}{7}$.
∴它的特征值k=$\frac{70°}{55°}$=$\frac{14}{11}$;
当∠A为底角时,顶角=180°−2∠A=40°,
∴它的特征值k=$\frac{40°}{70°}$=$\frac{4}{7}$.
解析
【分析】
首先明确“特征值”k的定义是等腰三角形顶角度数与一个底角度数的比值。已知等腰三角形中∠A=70°，但未说明∠A是顶角还是底角，因此需分两种情况讨论：第一种情况∠A为顶角，先计算底角度数再求k；第二种情况∠A为底角，先计算顶角度数再求k，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
分两种情况计算：
① 当∠A为顶角时，根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，可得底角度数为$\frac{1}{2}(180°-70°)=55°$，根据特征值定义，$k=\frac{70°}{55°}=\frac{14}{11}$；
② 当∠A为底角时，顶角度数为$180°-2×70°=40°$，根据特征值定义，$k=\frac{40°}{70°}=\frac{4}{7}$。
【答案】
$\frac{14}{11}$或$\frac{4}{7}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查等腰三角形内角计算，解题核心是准确理解新定义，同时注意等腰三角形未明确指定顶角、底角时，要全面分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
首先明确“特征值”k的定义是等腰三角形顶角度数与一个底角度数的比值。已知等腰三角形中∠A=70°，但未说明∠A是顶角还是底角，因此需分两种情况讨论：第一种情况∠A为顶角，先计算底角度数再求k；第二种情况∠A为底角，先计算顶角度数再求k，最后汇总两种情况的结果即可。
【解析】
分两种情况计算：
① 当∠A为顶角时，根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°，可得底角度数为$\frac{1}{2}(180°-70°)=55°$，根据特征值定义，$k=\frac{70°}{55°}=\frac{14}{11}$；
② 当∠A为底角时，顶角度数为$180°-2×70°=40°$，根据特征值定义，$k=\frac{40°}{70°}=\frac{4}{7}$。
【答案】
$\frac{14}{11}$或$\frac{4}{7}$
【知识点】
等腰三角形的性质；三角形内角和定理；分类讨论思想
【点评】
本题结合新定义考查等腰三角形内角计算，解题核心是准确理解新定义，同时注意等腰三角形未明确指定顶角、底角时，要全面分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
三、解答题
19. 如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在边AC上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O.
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)若∠1=42°，求∠BDE的度数.
19. 如图，∠A=∠B，AE=BE，点D在边AC上，∠1=∠2，AE和BD相交于点O.
(1)求证：△AEC≌△BED；
(2)若∠1=42°，求∠BDE的度数.
答案
19.(1)
∵AE和BD相交于点O,
∴∠AOD=∠BOE.
在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,
∴∠BEO=∠2.
又∠1=∠2,
∴∠1=∠BEO,
∴∠1+∠OED=∠BEO+∠OED,
即∠AEC=∠BED.
在△AEC和△BED中,
$\begin{cases}∠A=∠B,\\AE=BE,\\∠AEC=∠BED,\end{cases}$
∴△AEC≌△BED(ASA).
(2)
∵△AEC≌△BED,
∴EC=ED,∠C=∠BDE.
在△EDC中,
∵EC=ED,∠1=42°,
∴∠C=∠EDC=69°,
∴∠BDE=∠C=69°.
∵AE和BD相交于点O,
∴∠AOD=∠BOE.
在△AOD和△BOE中,∠A=∠B,
∴∠BEO=∠2.
又∠1=∠2,
∴∠1=∠BEO,
∴∠1+∠OED=∠BEO+∠OED,
即∠AEC=∠BED.
在△AEC和△BED中,
$\begin{cases}∠A=∠B,\\AE=BE,\\∠AEC=∠BED,\end{cases}$
∴△AEC≌△BED(ASA).
(2)
∵△AEC≌△BED,
∴EC=ED,∠C=∠BDE.
在△EDC中,
∵EC=ED,∠1=42°,
∴∠C=∠EDC=69°,
∴∠BDE=∠C=69°.
解析
【分析】
(1)要证明△AEC≌△BED，已知条件已给出∠A=∠B、AE=BE，根据ASA全等判定定理，还需证明两组对应边的夹角∠AEC=∠BED。首先利用对顶角相等，结合∠A=∠B可推出∠BEO=∠2，再结合∠1=∠2，通过角的和差关系即可得到∠AEC=∠BED，满足ASA判定条件即可证明全等。
(2)由(1)的全等结论可得对应边EC=ED、对应角∠C=∠BDE，可知△EDC为等腰三角形，已知顶角∠1=42°，结合三角形内角和可算出底角∠C的度数，进而得到∠BDE的度数。
【解析】
(1)证明：
∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE。
在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，
∴∠BEO=∠2。
又
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠1+∠OED=∠BEO+∠OED，
即∠AEC=∠BED。
在△AEC和△BED中，
$\begin{cases}∠A=∠B,\\AE=BE,\\∠AEC=∠BED,\end{cases}$
∴△AEC≌△BED(ASA)。
(2)解：
∵△AEC≌△BED，
∴EC=ED，∠C=∠BDE。
在△EDC中，
∵EC=ED，∠1=42°，
∴∠C=∠EDC=(180°-42°)÷2=69°，
∴∠BDE=∠C=69°。
【答案】
(1)△AEC≌△BED得证；
(2)69°
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形模块的基础综合题，将全等三角形的判定、性质与等腰三角形的角度计算结合考查，解题的关键是通过角的等量转换得到全等所需的夹角相等，再利用全等的性质转化边角关系求解，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证明△AEC≌△BED，已知条件已给出∠A=∠B、AE=BE，根据ASA全等判定定理，还需证明两组对应边的夹角∠AEC=∠BED。首先利用对顶角相等，结合∠A=∠B可推出∠BEO=∠2，再结合∠1=∠2，通过角的和差关系即可得到∠AEC=∠BED，满足ASA判定条件即可证明全等。
(2)由(1)的全等结论可得对应边EC=ED、对应角∠C=∠BDE，可知△EDC为等腰三角形，已知顶角∠1=42°，结合三角形内角和可算出底角∠C的度数，进而得到∠BDE的度数。
【解析】
(1)证明：
∵AE和BD相交于点O，
∴∠AOD=∠BOE。
在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，
∴∠BEO=∠2。
又
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BEO，
∴∠1+∠OED=∠BEO+∠OED，
即∠AEC=∠BED。
在△AEC和△BED中，
$\begin{cases}∠A=∠B,\\AE=BE,\\∠AEC=∠BED,\end{cases}$
∴△AEC≌△BED(ASA)。
(2)解：
∵△AEC≌△BED，
∴EC=ED，∠C=∠BDE。
在△EDC中，
∵EC=ED，∠1=42°，
∴∠C=∠EDC=(180°-42°)÷2=69°，
∴∠BDE=∠C=69°。
【答案】
(1)△AEC≌△BED得证；
(2)69°
【知识点】
全等三角形的判定；全等三角形的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于三角形模块的基础综合题，将全等三角形的判定、性质与等腰三角形的角度计算结合考查，解题的关键是通过角的等量转换得到全等所需的夹角相等，再利用全等的性质转化边角关系求解，能有效锻炼几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
