23. (10 分)在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中, $AB=AC$, $∠ BAC=90°$.
(1)如图 1,点 $M$ 为 $CB$ 上一点, $AN⊥ AM$, $CN⊥ BC$. 求证: $△ ABM≌△ ACN$;
(2)如图 2, $∠ HAK=45°$, $BH// CK$. 探究 $BH$, $CK$ 和 $HK$ 之间的数量关系,并给出证明;
(3)如图 3,点 $D,E$ 分别在边 $AB$ 和 $AC$ 上,连接 $DC$ 和 $BE$ 相交于点 $F$, $∠ BFC=135°$, $BD=3$, $CE=4$,直接写出 $CD$ 的长度.

23. 【点拨】本题考查全等三角形的判定与性质,勾股定理,等腰直角三角形的判定及性质,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.
【解析】(1)证明:$\because AM⊥ AN$,$\therefore ∠ MAN=90°$.
$\because ∠ BAC=90°$,$\therefore ∠ MAN=∠ BAC$,
$\therefore ∠ BAC-∠ MAC=∠ MAN-∠ MAC$,即 $∠ BAM=∠ CAN$.
$\because AB=AC$,$\therefore ∠ B=∠ ACB=45°$.
$\because CN⊥ BC$,$\therefore ∠ BCN=90°$,$\therefore ∠ ACN=45°$,$\therefore ∠ ABM=∠ ACN$.
在 $△ ABM$ 和 $△ ACN$ 中,$\begin{cases} ∠ ABM=∠ ACN, \\ AB=AC, \\ ∠ BAM=∠ CAN, \end{cases}$
$\therefore △ ABM≌△ ACN(\mathrm{ASA})$.
(2)$BH^2+CK^2=HK^2$.
证明:如图,过点 A 作 $AG⊥ AH$,$AG=AH$,连接 KG,CG,则 $∠ HAK=∠ KAG=45°$.
$\because AK=AK$,
$\therefore △ AKH≌△ AKG(\mathrm{SAS})$,
$KH=KG$.
由(1)可知,$∠ BAH=∠ CAG$,
$\because AB=AC$,$AH=AG$,
$\therefore △ ABH≌△ ACG(\mathrm{SAS})$,
$\therefore BH=CG$,$∠ ABH=∠ ACG$.
$\because BH// CK$,
$\therefore ∠ CBH=∠ BCK$,
$\therefore ∠ ACG=∠ ABH=45°+∠ BCK$.
$\because ∠ ACK=∠ ACB-∠ BCK=45°-∠ BCK$,
$\therefore ∠ ACG+∠ ACK=90°$,即 $∠ KCG=90°$,
$\therefore KC^2+CG^2=KG^2$,
$\therefore CK^2+BH^2=HK^2$.
(3)如图,过点 B 作 $BG// DC$ 且 $BG=DC$,连接 CG,EG,过点 B 作 $BM⊥ CG$,交 CG 延长线于点 M,延长 CM 至点 N,使 MN=AE,连接 BN.
$\because BG// DC$,$BG=DC$,
$\therefore$ 四边形 DBGC 是平行四边形,
$\therefore BD=GC=3$,$AB// CM$.
$\because BM⊥ CN$,$∠ BAC=90°$,$\therefore ∠ ABM=90°$,
$\therefore$ 四边形 ABMC 为矩形.
$\because AB=AC$,
$\therefore$ 四边形 ABMC 为正方形,
$\therefore AB=BM$.
$\because ∠ BFC=135°$,$\therefore ∠ ABE+∠ MBG=45°$.
$\because AB=BM$,$∠ A=∠ BMN$,$AE=MN$,
$\therefore △ ABE≌△ MBN(\mathrm{SAS})$,
$\therefore ∠ ABE=∠ MBN$,$BE=BN$,
$\therefore ∠ NBG=∠ EBG=45°$.
$\because BG=BG$,
$\therefore △ EBG≌△ NBG(\mathrm{SAS})$,
$\therefore EG=NG=AE+MG$,
$\therefore EG=\sqrt{CE^2+CG^2}=5$.
设 $MG=x$,则 $AE=5-x$,$CM=x+3$,
$\therefore AC=AE+CE=9-x$,
$\therefore 9-x=x+3$,解得 $x=3$,
$\therefore BM=6$,
$\therefore BG=\sqrt{BM^2+MG^2}=3\sqrt{5}$,
$\therefore CD=3\sqrt{5}$.

【分析】
本题是几何综合题，分三小问逐步解决：
(1) 要证△ABM≌△ACN，先利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠ACB=45°，再由AN⊥AM推出∠BAM=∠CAN，结合CN⊥BC得∠ACN=45°，从而得到∠ABM=∠ACN，用ASA即可证明全等；
(2) 探究BH、CK、HK的数量关系，考虑构造直角三角形，过A作AG⊥AH且AG=AH，通过两次全等（△AKH≌△AKG、△ABH≌△ACG）将HK转化为KG，BH转化为CG，再证明∠KCG=90°，用勾股定理得出结论；
(3) 求CD长度，通过构造平行四边形、全等三角形，结合等腰直角三角形和勾股定理，设未知数求解得到结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ AM⊥AN，
∴ ∠MAN=90°。
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠MAN=∠BAC，
∴ ∠BAC - ∠MAC = ∠MAN - ∠MAC，即∠BAM=∠CAN。
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠ACB=45°。
∵ CN⊥BC，
∴ ∠BCN=90°，
∴ ∠ACN=90° - ∠ACB=45°，
∴ ∠ABM=∠ACN。
在△ABM和△ACN中，
$\begin{cases} ∠ABM=∠ACN, \\ AB=AC, \\ ∠BAM=∠CAN, \end{cases}$
∴ △ABM≌△ACN（ASA）。
(2) 结论：$BH^2 + CK^2 = HK^2$。
证明：过点A作AG⊥AH，AG=AH，连接KG、CG，则∠HAK=∠KAG=45°。
∵ AK=AK，
∴ △AKH≌△AKG（SAS），
∴ KH=KG。
由(1)可知∠BAH=∠CAG，又AB=AC，AH=AG，
∴ △ABH≌△ACG（SAS），
∴ BH=CG，∠ABH=∠ACG。
∵ BH//CK，
∴ ∠CBH=∠BCK，
∴ ∠ACG=∠ABH=45° + ∠BCK。
∵ ∠ACK=∠ACB - ∠BCK=45° - ∠BCK，
∴ ∠ACG + ∠ACK= (45°+∠BCK)+(45°-∠BCK)=90°，即∠KCG=90°，
∴ 在Rt△KCG中，$KC^2 + CG^2 = KG^2$，
∴ $CK^2 + BH^2 = HK^2$。
(3) CD的长度为$3\sqrt{5}$。
【答案】
(1) △ABM≌△ACN；(2) $BH^2 + CK^2 = HK^2$；(3) $3\sqrt{5}$
【知识点】
全等三角形判定、勾股定理、等腰直角三角形性质
【点评】
本题综合考查几何核心知识，需通过构造辅助线转化线段和角的关系，对逻辑推理和辅助线构造能力有一定要求，是典型的几何综合题。
【难度系数】
0.5