21. (8分)如图是由小正方形组成的$6×6$网格. 每个小正方形的顶点叫格点,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成四个画图任务,每个任务的直线不得超过三条.

(1)在图1中,过$A$点画线段$AC$,使$AC=5$(点$C$在格点上),并且$AC$在$AB$上方;
(2)在(1)的基础上,请画出$∠ BAC$的平分线;
(3)在图1中,点$M$在$AB$上,在边$AC$上找一点$N$,使$AN=AM$;
(4)在图2中,$P,Q$分别是$GF,DF$延长线上的动点,$GP=FQ$,画出使得$DP+GQ$最小时,点$P$的位置.

21. 【点拨】本题考查作图的应用与设计,解题的关键是掌握矩形的性质,等腰三角形的性质和轴对称的性质.
【解析】(1)如图,取格点 C,连接 AC,AC 在 AB 上方且 AC=5. 理由如下:
在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=5$,
此时 AC 在 AB 上方,AC 即为所求.
(2)根据等腰三角形的性质作 DC 中点,即为点 E,连接 AE 即可,如图.
(3)连接 MC 与 $∠ BAC$ 的平分线交于点 O,连接 BO 并延长交 AC 于点 N 即可,如图.
(4)如图,由等腰三角形的性质作出格点 K,连接 DK 与 FG 的交点即为点 P.

【分析】
本题是网格背景下的无刻度直尺作图题，需结合网格的特点，运用勾股定理、角平分线的性质、轴对称求最短路径、等腰三角形的性质完成作图。各小问思路如下：
(1) 要画长度为5的线段AC，利用勾股定理，直角边为3和4时斜边为5，在AB上方找符合条件的格点C，连接A与C即可；
(2) 作角平分线可借助等腰三角形的性质，通过构造线段中点，结合角平分线的判定完成；
(3) 利用角平分线的性质，结合线段交点构造等长线段，得到满足AN=AM的点N；
(4) 求DP+GQ的最小值，利用轴对称转化线段，将问题转化为两点之间线段最短，找到对应格点连线与FG的交点即为P。
【解析】
(1) 根据勾股定理，在网格中，直角边为3和4时，斜边长度为5。取格点C，使点C相对于点A的水平距离为4、垂直距离为3，连接AC，此时AC=√(4²+3²)=5，且AC在AB上方，故AC即为所求；
(2) 取格点D，连接DC，找到DC的中点E，连接AE。由网格的对称性可知，AE到AB和AC的距离相等，因此AE是∠BAC的平分线；
(3) 连接MC，MC与∠BAC的平分线AE交于点O，连接BO并延长，交AC于点N。根据角平分线的性质及网格的全等关系，可得AN=AM，故点N即为所求；
(4) 要使DP+GQ最小，结合GP=FQ，利用轴对称的性质，取格点K，连接DK，DK与FG的交点即为点P，此时DP+GQ=DK，根据两点之间线段最短，该值最小，故点P即为所求。
【答案】
(1) 连接格点A与满足AC=5的格点C；
(2) 连接AE（E为DC中点），AE为∠BAC的平分线；
(3) 点N为BO延长线与AC的交点；
(4) 点P为DK与FG的交点。
【知识点】
勾股定理、角平分线的性质、最短路径（轴对称）
【点评】
本题综合考查网格中的几何作图，需结合网格特点运用多个几何性质，对学生的几何直观和逻辑推理能力要求较高，是一道综合性较强的作图题。
【难度系数】
0.5

22. (10 分)可以发现:当 $ a＞0,b＞0 $ 时,$\because (\sqrt{a}-\sqrt{b})^2 = a - 2\sqrt{ab} + b ≥ 0$,$\therefore a + b ≥ 2\sqrt{ab}$,当且仅当 $ a = b $ 时取等号. 请利用上述结论解决以下问题:
(1)当 $ x＞0 $ 时,$ x + \frac{1}{x} $ 的最小值为 ______;
(2)当 $ x＞0 $ 时,求 $ y = \frac{x^2 + 3x + 16}{x} $ 的最小值;
(3)拓展延伸:如图,已知 $ A(-3,0),B(0,-4) $,点 $ C $ 在 $ x $ 轴正半轴上,点 $ D $ 在 $ y $ 轴正半轴上,$△ COD$ 的面积始终为 $ \frac{3}{2} $,求四边形 $ ABCD $ 面积的最小值.

22. 【点拨】本题考查解二次根式的应用,完全平方公式,解题的关键是读懂题目信息、理解求最值的方法.
【解析】(1)当 $x＞0$ 时,$x+\dfrac{1}{x}≥2\sqrt{x·\dfrac{1}{x}}=2$. 故答案为 2.
(2)当 $x＞0$ 时,$y=\dfrac{x^2+3x+16}{x}=x+3+\dfrac{16}{x}$,由题意得 $x+\dfrac{16}{x}≥2\sqrt{x·\dfrac{16}{x}}=8$. 故当 $x＞0$ 时,$y=\dfrac{x^2+3x+16}{x}=x+3+\dfrac{16}{x}≥8+3=11$,即最小值为 11.
(3)设 $C(m,0)$,$D(0,n)$,$m＞0$,$n＞0$,则 $S_{△ COD}=\dfrac{1}{2}mn=\dfrac{3}{2}$,
$\therefore mn=3$.
$\because A(-3,0)$,$B(0,-4)$,
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\dfrac{1}{2}×3×4+\dfrac{1}{2}×4× m+\dfrac{1}{2}× n×(m+3)=6+2m+\dfrac{3}{2}n+\dfrac{1}{2}mn=7.5+2m+\dfrac{3}{2}n$.
由题意得 $2m+\dfrac{3}{2}n≥2\sqrt{2m·\dfrac{3}{2}n}=2\sqrt{3mn}=2×\sqrt{3×3}=6$.
$\therefore S_{\mathrm{四边形}ABCD}≥7.5+6=13.5$.
答:四边形 ABCD 面积最小值为 13.5.

【分析】本题利用题目给出的基本不等式结论“当$a＞0,b＞0$时，$a + b ≥ 2\sqrt{ab}$，当且仅当$a = b$时取等号”解决最值问题。第(1)问直接将$x$和$\frac{1}{x}$对应不等式中的$a$、$b$；第(2)问先对函数解析式变形，拆分为可应用不等式的形式；第(3)问先设点$C$、$D$的坐标，利用三角形面积得到变量关系，再表示四边形面积，最后应用不等式求最小值，需注意不等式的适用条件（变量均为正数）。
【解析】(1)当$x＞0$时，根据基本不等式，令$a=x$，$b=\frac{1}{x}$，则$x + \frac{1}{x} ≥ 2\sqrt{x·\frac{1}{x}} = 2$，当且仅当$x=\frac{1}{x}$即$x=1$时取等号，故最小值为$2$。
(2)当$x＞0$时，对$y=\frac{x^2 + 3x + 16}{x}$化简得：$y = x + 3 + \frac{16}{x}$。根据基本不等式，$x + \frac{16}{x} ≥ 2\sqrt{x·\frac{16}{x}} = 8$，当且仅当$x=\frac{16}{x}$即$x=4$时取等号，因此$y = x + 3 + \frac{16}{x} ≥ 8 + 3 = 11$，即最小值为$11$。
(3)设点$C(m,0)$，$D(0,n)$（$m＞0$，$n＞0$），由$△ COD$的面积为$\frac{3}{2}$，得$\frac{1}{2}mn = \frac{3}{2}$，即$mn=3$。
已知$A(-3,0)$，$B(0,-4)$，四边形$ABCD$的面积可拆分为$△ AOB$、$△ BOC$、$△ AOD$的面积之和：
$S_{四边形ABCD} = S_{△ AOB} + S_{△ BOC} + S_{△ AOD}$
$= \frac{1}{2}×3×4 + \frac{1}{2}×4×m + \frac{1}{2}×n×(m + 3)$
$= 6 + 2m + \frac{1}{2}mn + \frac{3}{2}n$
代入$mn=3$，得$S_{四边形ABCD}=6 + \frac{3}{2} + 2m + \frac{3}{2}n = 7.5 + 2m + \frac{3}{2}n$。
根据基本不等式，$2m + \frac{3}{2}n ≥ 2\sqrt{2m·\frac{3}{2}n} = 2\sqrt{3mn}$，代入$mn=3$，得$2\sqrt{3×3}=6$，当且仅当$2m=\frac{3}{2}n$时取等号。
因此$S_{四边形ABCD} ≥ 7.5 + 6 = 13.5$，即四边形$ABCD$面积的最小值为$13.5$。
【答案】(1)$2$；(2)$11$；(3)$13.5$
【知识点】基本不等式的应用、代数式化简、平面图形面积计算
【点评】本题结合给定的基本不等式解决最值问题，前两问直接应用不等式，第三问需要通过设坐标、拆分面积公式将问题转化为可应用不等式的形式，关键是掌握基本不等式的适用条件（变量为正数），整体难度适中，需要学生具备一定的代数变形和几何面积计算能力。
【难度系数】0.5