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17. (8 分)计算.
(1) $\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$；
(2) $(3\sqrt{15} - 2\sqrt{6}) ÷ \sqrt{3}$.
(1) $\sqrt{18} - \sqrt{32} + \sqrt{2}$；
(2) $(3\sqrt{15} - 2\sqrt{6}) ÷ \sqrt{3}$.
答案
17. 【点拨】本题考查二次根式加减乘除混合运算,解题的关键是会化简二次根式并熟知二次根式加减乘除混合运算法则.
【解析】(1) $\sqrt{18}-\sqrt{32}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}-4\sqrt{2}+\sqrt{2}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0$.
(2) $(3\sqrt{15}-2\sqrt{6})÷\sqrt{3}=3\sqrt{5}-2\sqrt{2}$.
【解析】(1) $\sqrt{18}-\sqrt{32}+\sqrt{2}=3\sqrt{2}-4\sqrt{2}+\sqrt{2}=-\sqrt{2}+\sqrt{2}=0$.
(2) $(3\sqrt{15}-2\sqrt{6})÷\sqrt{3}=3\sqrt{5}-2\sqrt{2}$.
解析
【分析】本题考查二次根式的运算，解题思路为：（1）二次根式的加减运算，需先将每个二次根式化简为最简二次根式，再合并同类二次根式；（2）二次根式的除法运算，利用分配律将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，再对每个单项式的结果进行化简，即可得到最终答案。
【解析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，则原式=$3\sqrt{2}-4\sqrt{2}+\sqrt{2}=(3-4+1)\sqrt{2}=0$；（2）利用分配律计算：$(3\sqrt{15}-2\sqrt{6})÷\sqrt{3}=3\sqrt{15}÷\sqrt{3}-2\sqrt{6}÷\sqrt{3}=3\sqrt{15÷3}-2\sqrt{6÷3}=3\sqrt{5}-2\sqrt{2}$。
【答案】（1）$0$；（2）$3\sqrt{5}-2\sqrt{2}$
【知识点】二次根式的加减、二次根式的除法
【点评】本题考查二次根式的基础运算，需熟练掌握二次根式的化简方法及加减、除法运算法则，属于初中数学的基础题型，主要考查学生对基本运算规则的掌握情况。
【难度系数】0.7
【解析】（1）先将各二次根式化为最简二次根式：$\sqrt{18}=3\sqrt{2}$，$\sqrt{32}=4\sqrt{2}$，则原式=$3\sqrt{2}-4\sqrt{2}+\sqrt{2}=(3-4+1)\sqrt{2}=0$；（2）利用分配律计算：$(3\sqrt{15}-2\sqrt{6})÷\sqrt{3}=3\sqrt{15}÷\sqrt{3}-2\sqrt{6}÷\sqrt{3}=3\sqrt{15÷3}-2\sqrt{6÷3}=3\sqrt{5}-2\sqrt{2}$。
【答案】（1）$0$；（2）$3\sqrt{5}-2\sqrt{2}$
【知识点】二次根式的加减、二次根式的除法
【点评】本题考查二次根式的基础运算，需熟练掌握二次根式的化简方法及加减、除法运算法则，属于初中数学的基础题型，主要考查学生对基本运算规则的掌握情况。
【难度系数】0.7
18. (8 分)先化简,再求值:$(a + \sqrt{3})(a - \sqrt{3}) - a(a - 4)$,其中$a = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
答案
18. 【点拨】本题考查二次根式的化简求值,解题的关键是对二次根式进行正确化简.
【解析】$(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})-a(a-4)=a^2-3-a^2+4a=4a-3$,当 $a=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ 时,原式 $=4×\dfrac{\sqrt{5}}{2}-3=2\sqrt{5}-3$.
【解析】$(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3})-a(a-4)=a^2-3-a^2+4a=4a-3$,当 $a=\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ 时,原式 $=4×\dfrac{\sqrt{5}}{2}-3=2\sqrt{5}-3$.
解析
【分析】
本题是整式结合二次根式的化简求值题，解题思路为：先利用平方差公式计算多项式乘积，再计算单项式乘多项式，接着合并同类项化简式子，最后将给定的$a$值代入化简后的式子计算结果。
【解析】
解：对原式进行化简：
$\begin{aligned}&(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3}) - a(a - 4)\\=&a^2 - (\sqrt{3})^2 - (a^2 - 4a) \quad \mathrm{（利用平方差公式：}(x+y)(x-y)=x^2-y^2\mathrm{）}\\=&a^2 - 3 - a^2 + 4a \quad \mathrm{（去括号并计算平方项）}\\=&4a - 3 \quad \mathrm{（合并同类项）}\end{aligned}$
将$a = \frac{\sqrt{5}}{2}$代入化简后的式子：
原式$=4×\frac{\sqrt{5}}{2} - 3 = 2\sqrt{5} - 3$
【答案】
$2\sqrt{5} - 3$
【知识点】
二次根式的化简求值、平方差公式、单项式乘多项式
【点评】
本题考查整式运算与二次根式结合的化简求值，核心是运用平方差公式和整式运算法则化简，需注意去括号时的符号处理，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
本题是整式结合二次根式的化简求值题，解题思路为：先利用平方差公式计算多项式乘积，再计算单项式乘多项式，接着合并同类项化简式子，最后将给定的$a$值代入化简后的式子计算结果。
【解析】
解：对原式进行化简：
$\begin{aligned}&(a+\sqrt{3})(a-\sqrt{3}) - a(a - 4)\\=&a^2 - (\sqrt{3})^2 - (a^2 - 4a) \quad \mathrm{（利用平方差公式：}(x+y)(x-y)=x^2-y^2\mathrm{）}\\=&a^2 - 3 - a^2 + 4a \quad \mathrm{（去括号并计算平方项）}\\=&4a - 3 \quad \mathrm{（合并同类项）}\end{aligned}$
将$a = \frac{\sqrt{5}}{2}$代入化简后的式子：
原式$=4×\frac{\sqrt{5}}{2} - 3 = 2\sqrt{5} - 3$
【答案】
$2\sqrt{5} - 3$
【知识点】
二次根式的化简求值、平方差公式、单项式乘多项式
【点评】
本题考查整式运算与二次根式结合的化简求值，核心是运用平方差公式和整式运算法则化简，需注意去括号时的符号处理，属于基础题型。
【难度系数】
0.6
19. (8分)如图,在两个等腰直角$△ ABC$和$△ ADE$中,$∠ DAE = ∠ BAC = 90°$,连接$BD$,$CE$.
(1)求证:$△ AEC≌△ ADB$;
(2)若$AC = 3$,$AD = 1$,当$AE// BD$时,求$BD$的长.
(1)求证:$△ AEC≌△ ADB$;
(2)若$AC = 3$,$AD = 1$,当$AE// BD$时,求$BD$的长.
答案
19. 【点拨】本题考查等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理.
【解析】(1)证明:$\because ∠ DAE=∠ BAC=90°$,
$\therefore ∠ DAE-∠ BAE=∠ BAC-∠ BAE$,即 $∠ DAB=∠ EAC$.
$\because △ ABC$ 和 $△ ADE$ 是等腰直角三角形,$∠ DAE=∠ BAC=90°$,
$\therefore AC=AB$,$AD=AE$.
在 $△ AEC$ 和 $△ ADB$ 中,$\begin{cases} AC=AB, \\ ∠ EAC=∠ DAB, \\ AE=AD, \end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ ADB(\mathrm{SAS})$.
(2)$\because AE// BD$,$\therefore ∠ AED=∠ EDB$.
$\because △ ADE$ 是等腰直角三角形,$∠ DAE=90°$,
$\therefore ∠ AED=∠ ADE=45°$,
$\therefore ∠ ADB=∠ ADE+∠ BDE=45°+45°=90°$.
$\because △ AEC≌△ ADB$,
$\therefore AB=AC=3$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中,$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$.
【解析】(1)证明:$\because ∠ DAE=∠ BAC=90°$,
$\therefore ∠ DAE-∠ BAE=∠ BAC-∠ BAE$,即 $∠ DAB=∠ EAC$.
$\because △ ABC$ 和 $△ ADE$ 是等腰直角三角形,$∠ DAE=∠ BAC=90°$,
$\therefore AC=AB$,$AD=AE$.
在 $△ AEC$ 和 $△ ADB$ 中,$\begin{cases} AC=AB, \\ ∠ EAC=∠ DAB, \\ AE=AD, \end{cases}$
$\therefore △ AEC≌△ ADB(\mathrm{SAS})$.
(2)$\because AE// BD$,$\therefore ∠ AED=∠ EDB$.
$\because △ ADE$ 是等腰直角三角形,$∠ DAE=90°$,
$\therefore ∠ AED=∠ ADE=45°$,
$\therefore ∠ ADB=∠ ADE+∠ BDE=45°+45°=90°$.
$\because △ AEC≌△ ADB$,
$\therefore AB=AC=3$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ADB$ 中,$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用等腰直角三角形的性质推导对应边相等、夹角相等，通过SAS判定三角形全等；第(2)问结合平行线的角度关系和等腰直角三角形的角度特征推导直角，再利用全等三角形的对应边相等，结合勾股定理计算BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠DAE=∠BAC=90°，
∴ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，即∠DAB=∠EAC。
∵ △ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠DAE=∠BAC=90°，
∴ AC=AB，AD=AE。
在△AEC和△ADB中，$\begin{cases} AC=AB, \\ ∠EAC=∠DAB, \\ AE=AD, \end{cases}$
∴ △AEC≌△ADB（SAS）。
(2)
∵ AE//BD，
∴ ∠AED=∠EDB。
∵ △ADE是等腰直角三角形，∠DAE=90°，
∴ ∠AED=∠ADE=45°，
∴ ∠EDB=45°，
∴ ∠ADB=∠ADE + ∠EDB=45°+45°=90°。
由(1)知△AEC≌△ADB，
∴ AB=AC=3，
在Rt△ADB中，$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{3^2 -1^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查几何核心知识点，需结合平行线的角度关系推导直角，再运用勾股定理计算，是典型的几何综合题，解题关键在于利用全等三角形的性质转化边的关系。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需利用等腰直角三角形的性质推导对应边相等、夹角相等，通过SAS判定三角形全等；第(2)问结合平行线的角度关系和等腰直角三角形的角度特征推导直角，再利用全等三角形的对应边相等，结合勾股定理计算BD的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠DAE=∠BAC=90°，
∴ ∠DAE - ∠BAE = ∠BAC - ∠BAE，即∠DAB=∠EAC。
∵ △ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠DAE=∠BAC=90°，
∴ AC=AB，AD=AE。
在△AEC和△ADB中，$\begin{cases} AC=AB, \\ ∠EAC=∠DAB, \\ AE=AD, \end{cases}$
∴ △AEC≌△ADB（SAS）。
(2)
∵ AE//BD，
∴ ∠AED=∠EDB。
∵ △ADE是等腰直角三角形，∠DAE=90°，
∴ ∠AED=∠ADE=45°，
∴ ∠EDB=45°，
∴ ∠ADB=∠ADE + ∠EDB=45°+45°=90°。
由(1)知△AEC≌△ADB，
∴ AB=AC=3，
在Rt△ADB中，$BD=\sqrt{AB^2 - AD^2}=\sqrt{3^2 -1^2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
全等三角形的判定、等腰直角三角形的性质、勾股定理
【点评】
本题综合考查几何核心知识点，需结合平行线的角度关系推导直角，再运用勾股定理计算，是典型的几何综合题，解题关键在于利用全等三角形的性质转化边的关系。
【难度系数】
0.6
20. (8分)如图是一架秋千的示意图,当它静止在AD的位置时,踏板离地的垂直高度DE为0.7 m,将秋千AD往前推送4 m(即BC为4 m),到达AB的位置,此时,秋千的踏板离地的垂直高度BF为2.7 m,秋千的绳索始终保持拉直的状态.
(1)求秋千的长度;
(2)如果想要踏板离地的垂直高度为1.7 m时,需要将秋千AD往前推送
(1)求秋千的长度;
(2)如果想要踏板离地的垂直高度为1.7 m时,需要将秋千AD往前推送
3
m.答案
20. 【点拨】本题考查勾股定理的应用,解题的关键是正确理解题意.
【解析】(1)由题意知 $DE=0.7\ \mathrm{m}$,$BF=2.7\ \mathrm{m}$,$CE=BF=2.7\ \mathrm{m}$,
$\therefore CD=CE-DE=2.7-0.7=2(\mathrm{m})$.
设 $AB=x\ \mathrm{m}$,则 $AC=(x-2)\ \mathrm{m}$,
在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中,$AC^2+BC^2=AB^2$,即 $(x-2)^2+4^2=x^2$,
解得 $x=5$.
答:秋千的长度为 5 m.
(2)当 $BF=1.7\ \mathrm{m}$ 时,$CD=1.7-0.7=1(\mathrm{m})$,
$\therefore AC=5-1=4(\mathrm{m})$,
$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3(\mathrm{m})$,
即需要将秋千 AD 往前推送 3 m. 故答案为 3.
【解析】(1)由题意知 $DE=0.7\ \mathrm{m}$,$BF=2.7\ \mathrm{m}$,$CE=BF=2.7\ \mathrm{m}$,
$\therefore CD=CE-DE=2.7-0.7=2(\mathrm{m})$.
设 $AB=x\ \mathrm{m}$,则 $AC=(x-2)\ \mathrm{m}$,
在 $\mathrm{Rt}△ ACB$ 中,$AC^2+BC^2=AB^2$,即 $(x-2)^2+4^2=x^2$,
解得 $x=5$.
答:秋千的长度为 5 m.
(2)当 $BF=1.7\ \mathrm{m}$ 时,$CD=1.7-0.7=1(\mathrm{m})$,
$\therefore AC=5-1=4(\mathrm{m})$,
$\therefore BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3(\mathrm{m})$,
即需要将秋千 AD 往前推送 3 m. 故答案为 3.
解析
【分析】
本题是利用勾股定理解决秋千推送的实际问题，核心是抓住“秋千长度不变”这一关键条件，将实际场景转化为直角三角形模型。解题时，先通过矩形性质得到垂直边的关系，再设未知数表示直角三角形的边，最后用勾股定理列方程求解。第(1)问先求秋千长度，第(2)问再根据新的垂直高度求水平推送距离。
【解析】
(1) 由题意知，四边形CEFB为矩形，因此CE=BF=2.7 m。已知DE=0.7 m，可得垂直方向的差：CD=CE - DE=2.7 - 0.7=2 m。设秋千的长度AB为x m，则AC=AB - CD=(x - 2) m。在Rt△ACB中，根据勾股定理：AC² + BC² = AB²，代入BC=4 m，得方程：
$(x - 2)^2 + 4^2 = x^2$
展开并化简：$x^2 - 4x + 4 + 16 = x^2$，即$-4x + 20 = 0$，解得$x=5$。
答：秋千的长度为5 m。
(2) 当踏板离地垂直高度BF=1.7 m时，CE=BF=1.7 m，此时CD=CE - DE=1.7 - 0.7=1 m，因此AC=AB - CD=5 - 1=4 m。在Rt△ACB中，根据勾股定理：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$ m，即需要将秋千AD往前推送3 m。
【答案】(1) 5 m；(2) 3
【知识点】勾股定理的应用
【点评】本题将实际问题转化为直角三角形的勾股定理应用问题，关键是理清图形中各边的关系，利用秋千长度不变建立方程，考查学生的几何应用能力，难度适中。
【难度系数】0.6
本题是利用勾股定理解决秋千推送的实际问题，核心是抓住“秋千长度不变”这一关键条件，将实际场景转化为直角三角形模型。解题时，先通过矩形性质得到垂直边的关系，再设未知数表示直角三角形的边，最后用勾股定理列方程求解。第(1)问先求秋千长度，第(2)问再根据新的垂直高度求水平推送距离。
【解析】
(1) 由题意知，四边形CEFB为矩形，因此CE=BF=2.7 m。已知DE=0.7 m，可得垂直方向的差：CD=CE - DE=2.7 - 0.7=2 m。设秋千的长度AB为x m，则AC=AB - CD=(x - 2) m。在Rt△ACB中，根据勾股定理：AC² + BC² = AB²，代入BC=4 m，得方程：
$(x - 2)^2 + 4^2 = x^2$
展开并化简：$x^2 - 4x + 4 + 16 = x^2$，即$-4x + 20 = 0$，解得$x=5$。
答：秋千的长度为5 m。
(2) 当踏板离地垂直高度BF=1.7 m时，CE=BF=1.7 m，此时CD=CE - DE=1.7 - 0.7=1 m，因此AC=AB - CD=5 - 1=4 m。在Rt△ACB中，根据勾股定理：
$BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{9} = 3$ m，即需要将秋千AD往前推送3 m。
【答案】(1) 5 m；(2) 3
【知识点】勾股定理的应用
【点评】本题将实际问题转化为直角三角形的勾股定理应用问题，关键是理清图形中各边的关系，利用秋千长度不变建立方程，考查学生的几何应用能力，难度适中。
【难度系数】0.6
