24. (12 分)如图,在平面直角坐标系中,$A(a,0),B(0,b)$($a,b$均大于$0$),点$C$在第二象限.
(1)若$a,b$满足$b = \sqrt{a - 2} + \sqrt{2 - a} + 2$,求线段$AB$的长度;
(2)如图1,在(1)的条件下,若$∠ BCO = 45°$,求证:$2CO^2 + CB^2 = CA^2$;
(3)如图2,若$∠ BCO = 135°$,$∠ CAO = 2∠ CBO$,$AB = 6$,$CA = 3$,求$△ OBA$的面积.

24. 【点拨】本题考查二次根式有意义的条件,勾股定理,全等三角形的判定与性质,解题的关键是添加合适的辅助线构造三角形.
【解析】(1)由二次根式有意义的条件可得 $\begin{cases} a-2≥0, \\ 2-a≥0, \end{cases}$
解得 $a=2$,$\therefore b=2$,即 $A(2,0)$,$B(0,2)$,
$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=2\sqrt{2}$,
$\therefore$ 线段 AB 的长度为 $2\sqrt{2}$.
(2)证明:过点 O 作 $OD⊥ OC$ 且使 $OD=OC$,连接 CD,BD,如图所示.
$\therefore ∠ COD=∠ AOB=90°$,
$\therefore ∠ COD+∠ COB=∠ AOB+∠ COB$,即 $∠ DOB=∠ COA$.
由(1)得 $a=2$,$b=2$,$\therefore OB=OA=2$.
$\because OD=OC$,
$\therefore △ DOB≌△ COA(\mathrm{SAS})$,
$\therefore BD=CA$.
$\because OD=OC$,$∠ COD=90°$,
$\therefore ∠ OCD=∠ ODC=45°$.
$\because ∠ BCO=45°$,
$\therefore ∠ BCD=∠ BCO+∠ OCD=90°$,
$\therefore △ BCD$ 为直角三角形.
在 $\mathrm{Rt}△ BCD$ 中,由勾股定理得 $CB^2+CD^2=BD^2$,
在 $\mathrm{Rt}△ COD$ 中,由勾股定理得 $CO^2+OD^2=CD^2$,
$\because CO=DO$,$\therefore CD^2=2CO^2$.
$\because CB^2+CD^2=BD^2$,$BD=CA$,
$\therefore CB^2+2CO^2=CA^2$,即 $2CO^2+CB^2=CA^2$.
(3)如图,过点 O 作 $OH⊥ OC$ 交 BC 的延长线于点 H,过点 C 作 $CG⊥ BC$ 交 x 轴于点 G,CG 交 y 轴于点 E,
$\therefore ∠ COH=∠ BCG=∠ HCG=90°$.
$\because ∠ BCO=135°$,
$\therefore ∠ OCG=∠ BCO-∠ BCG=135°-90°=45°$,
$\therefore ∠ OCH=∠ HCG-∠ OCG=90°-45°=45°$,
$\therefore ∠ OHC=45°$,
$\therefore △ COH$ 为等腰直角三角形,$OC=OH$.
设 $∠ CBO=α$,
$\therefore ∠ CAO=2∠ CBO=2α$.
$\because ∠ BCG=∠ BOA=90°$,$∠ BEC=∠ GEO$,
$\therefore ∠ CBE=∠ OGE=α$,
$\therefore ∠ ACG=∠ CAO-∠ AGC=α$,
$\therefore ∠ ACG=∠ AGC=α$,
$\therefore AG=AC$.
$\because ∠ OHB=∠ OCG=45°$,$∠ OBH=∠ OGC=α$,$OH=OC$,
$\therefore △ OBH≌△ OGC(\mathrm{AAS})$,
$\therefore OB=OG$.
设 $OA=a$,$OB=b$.
$\because AB=6$,$\therefore a^2+b^2=36$.
$\because AG=CA=3=OG-OA=OB-OA$,
$\therefore b-a=3$,$\therefore (b-a)^2=9$,
$\therefore a^2+b^2-2ab=9$,
$\therefore 2ab=a^2+b^2-9=36-9=27$,
$\therefore △ OBA$ 的面积为 $\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{27}{4}$.

【分析】
本题分为三个小问，逐步梳理解题思路：
1. 第(1)问：根据二次根式有意义的条件（被开方数非负），先求出a的值，再得到b的值，最后利用平面直角坐标系中两点间距离公式（勾股定理）计算AB的长度。
2. 第(2)问：要证明$2CO^2 + CB^2 = CA^2$，需将线段转化到直角三角形中：通过作辅助线$OD⊥OC$且$OD=OC$，构造全等三角形$△ DOB≌△ COA$，将CA转化为BD；再利用等腰直角三角形COD的性质得到$CD^2=2CO^2$，结合角度关系证明$∠ BCD=90°$，最后在$Rt△ BCD$中应用勾股定理完成等式证明。
3. 第(3)问：已知$∠ BCO=135°$，通过作辅助线构造等腰直角三角形$COH$，结合角度关系推导得出$AG=AC$，再通过全等三角形$△ OBH≌△ OGC$得到$OB=OG$；设$OA=a$、$OB=b$，利用$AB=6$（勾股定理）和$AG=CA=3$的线段关系求出$ab$的值，进而计算$△ OBA$的面积。
【解析】
(1) 由二次根式有意义的条件得：$\begin{cases} a-2≥0 \\ 2-a≥0 \end{cases}$，解得$a=2$，则$b=\sqrt{2-2}+\sqrt{2-2}+2=2$，即$A(2,0)$，$B(0,2)$，
$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，即线段AB的长度为$2\sqrt{2}$。
(2) 证明：过点O作$OD⊥OC$且使$OD=OC$，连接CD，BD。
$\therefore ∠ COD=∠ AOB=90°$，
$\therefore ∠ COD+∠ COB=∠ AOB+∠ COB$，即$∠ DOB=∠ COA$。
由(1)知$OB=OA=2$，又$OD=OC$，
$\therefore △ DOB≌△ COA(\mathrm{SAS})$，$\therefore BD=CA$。
$\because OD=OC$，$∠ COD=90°$，$\therefore ∠ OCD=∠ ODC=45°$。
又$∠ BCO=45°$，$\therefore ∠ BCD=∠ BCO+∠ OCD=90°$，即$△ BCD$为直角三角形。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，由勾股定理得$CB^2+CD^2=BD^2$；
在$\mathrm{Rt}△ COD$中，由勾股定理得$CO^2+OD^2=CD^2$，又$CO=DO$，故$CD^2=2CO^2$。
代入得$CB^2+2CO^2=CA^2$，即$2CO^2+CB^2=CA^2$。
(3) 过点O作$OH⊥OC$交BC的延长线于点H，过点C作$CG⊥BC$交x轴于点G，CG交y轴于点E，
$\therefore ∠ COH=∠ BCG=∠ HCG=90°$。
$\because ∠ BCO=135°$，$\therefore ∠ OCG=∠ BCO-∠ BCG=135°-90°=45°$，
$\therefore ∠ OCH=∠ HCG-∠ OCG=90°-45°=45°$，故$△ COH$为等腰直角三角形，$OC=OH$。
设$∠ CBO=α$，则$∠ CAO=2α$。
$\because ∠ BCG=∠ BOA=90°$，$∠ BEC=∠ GEO$，$\therefore ∠ CBE=∠ OGE=α$，
$\therefore ∠ ACG=∠ CAO-∠ AGC=2α-α=α$，故$∠ ACG=∠ AGC=α$，得$AG=AC=3$。
又$∠ OHB=∠ OCG=45°$，$∠ OBH=∠ OGC=α$，$OH=OC$，
$\therefore △ OBH≌△ OGC(\mathrm{AAS})$，得$OB=OG$。
设$OA=a$，$OB=b$，$\because AB=6$，$\therefore a^2+b^2=36$。
又$AG=OG-OA=OB-OA=3$，即$b-a=3$，
$\therefore (b-a)^2=9$，即$a^2+b^2-2ab=9$，代入$a^2+b^2=36$得$36-2ab=9$，解得$2ab=27$，
$\therefore △ OBA$的面积为$\frac{1}{2}ab=\frac{27}{4}$。
【答案】
(1) $2\sqrt{2}$；
(2) 证明成立；
(3) $\frac{27}{4}$。
【知识点】
二次根式有意义的条件，勾股定理，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题为平面直角坐标系下的几何综合压轴题，融合代数与几何知识，核心是通过构造辅助线转化线段，将待证/待求关系转化为直角三角形的勾股关系，对辅助线构造能力要求较高，需具备较强的知识整合能力。
【难度系数】
0.3