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4. 如图2,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12 m的住房墙,另外三边用25 m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1 m宽的门,所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80 m²?
答案
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于住房墙的一边长为$ (26 - 2x) \, \mathrm{m} $。
根据题意，得：
$x(26 - 2x) = 80$
整理得：
$x^2 - 13x + 40 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 8) = 0$
解得：
$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 8 $。
当$ x = 5 $时，$ 26 - 2x = 16 $，$ 16 ＞ 12 $，超出住房墙的可用长度，不符合题意，舍去；
当$ x = 8 $时，$ 26 - 2x = 10 $，$ 10 ＜ 12 $，符合题意。
答：所围矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m时，猪舍面积为$ 80 \, \mathrm{m}^2 $。
根据题意，得：
$x(26 - 2x) = 80$
整理得：
$x^2 - 13x + 40 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 8) = 0$
解得：
$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 8 $。
当$ x = 5 $时，$ 26 - 2x = 16 $，$ 16 ＞ 12 $，超出住房墙的可用长度，不符合题意，舍去；
当$ x = 8 $时，$ 26 - 2x = 10 $，$ 10 ＜ 12 $，符合题意。
答：所围矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m时，猪舍面积为$ 80 \, \mathrm{m}^2 $。
解析
【分析】
这是一道与矩形面积相关的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步，合理设未知数，选择设垂直于住房墙的边长为x m，方便表示其余边长；第二步，结合建筑材料总长和1m宽的门，推导平行于住房墙的边长：门不需要建筑材料，因此平行于墙的边长 = 总材料长度 + 门的宽度 - 2倍垂直边长，即$(25+1-2x)=(26-2x)\mathrm{m}$；第三步，根据矩形面积公式列方程；第四步，求解一元二次方程，最后结合住房墙长度只有12m的限制条件，验证解是否符合实际，舍去不符合的解即可得到正确结果。
【解析】
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于住房墙的一边长为$ (26 - 2x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式，列方程得：
$x(26 - 2x) = 80$
整理方程得：
$x^2 - 13x + 40 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 8) = 0$
解得：
$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 8 $。
验根：当$ x = 5 $时，$ 26 - 2x = 16 $，$ 16 ＞ 12 $，超出住房墙的可用长度，不符合实际，舍去；
当$ x = 8 $时，$ 26 - 2x = 10 $，$ 10 ＜ 12 $，符合题意。
答：所围矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m时，猪舍面积为$ 80 \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
所围矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m。
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 矩形面积计算
3. 方程解的验根
【点评】
本题是实际问题与一元二次方程结合的常规题型，解题有两个易错点：一是容易忽略1m宽的门，错误表示平行于墙的边长；二是求解方程后忘记结合住房墙的长度限制验根，导致出现增解。解题时要注意结合实际场景分析数量关系，确保解符合实际要求。
【难度系数】
0.65
这是一道与矩形面积相关的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：第一步，合理设未知数，选择设垂直于住房墙的边长为x m，方便表示其余边长；第二步，结合建筑材料总长和1m宽的门，推导平行于住房墙的边长：门不需要建筑材料，因此平行于墙的边长 = 总材料长度 + 门的宽度 - 2倍垂直边长，即$(25+1-2x)=(26-2x)\mathrm{m}$；第三步，根据矩形面积公式列方程；第四步，求解一元二次方程，最后结合住房墙长度只有12m的限制条件，验证解是否符合实际，舍去不符合的解即可得到正确结果。
【解析】
解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为$ x \, \mathrm{m} $，则平行于住房墙的一边长为$ (26 - 2x) \, \mathrm{m} $。
根据矩形面积公式，列方程得：
$x(26 - 2x) = 80$
整理方程得：
$x^2 - 13x + 40 = 0$
因式分解得：
$(x - 5)(x - 8) = 0$
解得：
$ x_1 = 5 $，$ x_2 = 8 $。
验根：当$ x = 5 $时，$ 26 - 2x = 16 $，$ 16 ＞ 12 $，超出住房墙的可用长度，不符合实际，舍去；
当$ x = 8 $时，$ 26 - 2x = 10 $，$ 10 ＜ 12 $，符合题意。
答：所围矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m时，猪舍面积为$ 80 \, \mathrm{m}^2 $。
【答案】
所围矩形猪舍的长为10 m，宽为8 m。
【知识点】
1. 一元二次方程实际应用
2. 矩形面积计算
3. 方程解的验根
【点评】
本题是实际问题与一元二次方程结合的常规题型，解题有两个易错点：一是容易忽略1m宽的门，错误表示平行于墙的边长；二是求解方程后忘记结合住房墙的长度限制验根，导致出现增解。解题时要注意结合实际场景分析数量关系，确保解符合实际要求。
【难度系数】
0.65
5. 定义:如果关于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a+b+c=0$,那么我们称这个方程为“黄金方程”.
(1)判断一元二次方程$4x^2-11x+7=0$是否为“黄金方程”,并说明理由.
(2)已知$ax^2-3x+c=0$是关于$x$的“黄金方程”,要构造一个以2为一个解的“黄金方程”,已知新的黄金方程与原黄金方程的二次项系数与常数项分别相同,求出这个“黄金方程”.
(3)已知$3x^2-mx+n=0$是关于$x$的“黄金方程”,若$m$是此方程的一个根,则$m$的值为多少?
(1)判断一元二次方程$4x^2-11x+7=0$是否为“黄金方程”,并说明理由.
(2)已知$ax^2-3x+c=0$是关于$x$的“黄金方程”,要构造一个以2为一个解的“黄金方程”,已知新的黄金方程与原黄金方程的二次项系数与常数项分别相同,求出这个“黄金方程”.
(3)已知$3x^2-mx+n=0$是关于$x$的“黄金方程”,若$m$是此方程的一个根,则$m$的值为多少?
答案
解：
(1) 是“黄金方程”，理由如下：
在一元二次方程$4x^2 -11x +7=0$中，$a=4$，$b=-11$，$c=7$。
计算得$a+b+c=4-11+7=0$，满足“黄金方程”的定义，
所以该一元二次方程是“黄金方程”。
(2) $\because ax^2 -3x +c=0$是“黄金方程”，
$\therefore a + (-3) + c = 0$，即$a + c = 3$。
设所求“黄金方程”为$ax^2 + bx + c = 0$，
$\because$ 该方程是“黄金方程”，
$\therefore a + b + c = 0$，将$a+c=3$代入得$3 + b = 0$，解得$b=-3$。
又$\because$ 该方程的一个根为2，将$x=2$代入方程得：
$a· 2^2 + b· 2 + c = 0$，即$4a + 2b + c = 0$，
把$b=-3$代入得$4a -6 + c = 0$，即$4a + c =6$。
联立$\begin{cases}a + c = 3 \\4a + c =6 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1 \\c=2 \end{cases}$。
$\therefore$ 所求的“黄金方程”为$x^2 -3x +2=0$。
(3) $\because 3x^2 -mx +n=0$是“黄金方程”，
$\therefore 3 - m + n = 0$，即$n = m - 3$。
$\because m$是此方程的一个根，将$x=m$代入方程得：
$3m^2 - m· m + n = 0$，整理得$2m^2 + n = 0$。
把$n=m-3$代入$2m^2 +n=0$，得：
$2m^2 + m - 3 = 0$，
因式分解得$(2m+3)(m-1)=0$，
解得$m_1=1$，$m_2=-\frac{3}{2}$。
答：(1) 方程$4x^2-11x+7=0$是“黄金方程”；(2) 所求“黄金方程”为$x^2-3x+2=0$；(3) $m$的值为$1$或$-\frac{3}{2}$。
(1) 是“黄金方程”，理由如下：
在一元二次方程$4x^2 -11x +7=0$中，$a=4$，$b=-11$，$c=7$。
计算得$a+b+c=4-11+7=0$，满足“黄金方程”的定义，
所以该一元二次方程是“黄金方程”。
(2) $\because ax^2 -3x +c=0$是“黄金方程”，
$\therefore a + (-3) + c = 0$，即$a + c = 3$。
设所求“黄金方程”为$ax^2 + bx + c = 0$，
$\because$ 该方程是“黄金方程”，
$\therefore a + b + c = 0$，将$a+c=3$代入得$3 + b = 0$，解得$b=-3$。
又$\because$ 该方程的一个根为2，将$x=2$代入方程得：
$a· 2^2 + b· 2 + c = 0$，即$4a + 2b + c = 0$，
把$b=-3$代入得$4a -6 + c = 0$，即$4a + c =6$。
联立$\begin{cases}a + c = 3 \\4a + c =6 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1 \\c=2 \end{cases}$。
$\therefore$ 所求的“黄金方程”为$x^2 -3x +2=0$。
(3) $\because 3x^2 -mx +n=0$是“黄金方程”，
$\therefore 3 - m + n = 0$，即$n = m - 3$。
$\because m$是此方程的一个根，将$x=m$代入方程得：
$3m^2 - m· m + n = 0$，整理得$2m^2 + n = 0$。
把$n=m-3$代入$2m^2 +n=0$，得：
$2m^2 + m - 3 = 0$，
因式分解得$(2m+3)(m-1)=0$，
解得$m_1=1$，$m_2=-\frac{3}{2}$。
答：(1) 方程$4x^2-11x+7=0$是“黄金方程”；(2) 所求“黄金方程”为$x^2-3x+2=0$；(3) $m$的值为$1$或$-\frac{3}{2}$。
解析
【分析】
(1) 解决第一问的关键是紧扣“黄金方程”的定义，先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再计算a+b+c的和，判断是否为0即可；
(2) 第二问先利用原“黄金方程”的性质得到a与c的数量关系，再结合新“黄金方程”的定义求出一次项系数b的值，最后将x=2代入新方程，联立关系式求解a、c的值，即可得到所求方程；
(3) 第三问先根据“黄金方程”的定义得到n与m的关系式，再结合m是方程的根，将x=m代入方程得到关于m的一元二次方程，解方程即可得到m的取值。
【解析】
(1) 是“黄金方程”，理由如下：
在一元二次方程$4x^2 -11x +7=0$中，$a=4$，$b=-11$，$c=7$。
计算得$a+b+c=4-11+7=0$，满足“黄金方程”的定义，
所以该一元二次方程是“黄金方程”。
(2) $\because ax^2 -3x +c=0$是“黄金方程”，
$\therefore a + (-3) + c = 0$，即$a + c = 3$。
设所求“黄金方程”为$ax^2 + bx + c = 0$，
$\because$ 该方程是“黄金方程”，
$\therefore a + b + c = 0$，将$a+c=3$代入得$3 + b = 0$，解得$b=-3$。
又$\because$ 该方程的一个根为2，将$x=2$代入方程得：
$a· 2^2 + b· 2 + c = 0$，即$4a + 2b + c = 0$，
把$b=-3$代入得$4a -6 + c = 0$，即$4a + c =6$。
联立$\begin{cases}a + c = 3 \\4a + c =6 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1 \\c=2 \end{cases}$。
$\therefore$ 所求的“黄金方程”为$x^2 -3x +2=0$。
(3) $\because 3x^2 -mx +n=0$是“黄金方程”，
$\therefore 3 - m + n = 0$，即$n = m - 3$。
$\because m$是此方程的一个根，将$x=m$代入方程得：
$3m^2 - m· m + n = 0$，整理得$2m^2 + n = 0$。
把$n=m-3$代入$2m^2 +n=0$，得：
$2m^2 + m - 3 = 0$，
因式分解得$(2m+3)(m-1)=0$，
解得$m_1=1$，$m_2=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 一元二次方程$4x^2-11x+7=0$是“黄金方程”；
(2) 所求“黄金方程”为$\boldsymbol{x^2 - 3x + 2 = 0}$；
(3) $m$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-\frac{3}{2}}$。
【知识点】
新定义问题，一元二次方程的解，解一元二次方程
【点评】
本题以新定义“黄金方程”为背景，综合考察一元二次方程的相关性质，解题的核心是准确理解新定义的含义，结合方程根的性质联立关系式求解，能够有效检验知识迁移和综合应用的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解决第一问的关键是紧扣“黄金方程”的定义，先确定方程的二次项系数a、一次项系数b、常数项c，再计算a+b+c的和，判断是否为0即可；
(2) 第二问先利用原“黄金方程”的性质得到a与c的数量关系，再结合新“黄金方程”的定义求出一次项系数b的值，最后将x=2代入新方程，联立关系式求解a、c的值，即可得到所求方程；
(3) 第三问先根据“黄金方程”的定义得到n与m的关系式，再结合m是方程的根，将x=m代入方程得到关于m的一元二次方程，解方程即可得到m的取值。
【解析】
(1) 是“黄金方程”，理由如下：
在一元二次方程$4x^2 -11x +7=0$中，$a=4$，$b=-11$，$c=7$。
计算得$a+b+c=4-11+7=0$，满足“黄金方程”的定义，
所以该一元二次方程是“黄金方程”。
(2) $\because ax^2 -3x +c=0$是“黄金方程”，
$\therefore a + (-3) + c = 0$，即$a + c = 3$。
设所求“黄金方程”为$ax^2 + bx + c = 0$，
$\because$ 该方程是“黄金方程”，
$\therefore a + b + c = 0$，将$a+c=3$代入得$3 + b = 0$，解得$b=-3$。
又$\because$ 该方程的一个根为2，将$x=2$代入方程得：
$a· 2^2 + b· 2 + c = 0$，即$4a + 2b + c = 0$，
把$b=-3$代入得$4a -6 + c = 0$，即$4a + c =6$。
联立$\begin{cases}a + c = 3 \\4a + c =6 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a=1 \\c=2 \end{cases}$。
$\therefore$ 所求的“黄金方程”为$x^2 -3x +2=0$。
(3) $\because 3x^2 -mx +n=0$是“黄金方程”，
$\therefore 3 - m + n = 0$，即$n = m - 3$。
$\because m$是此方程的一个根，将$x=m$代入方程得：
$3m^2 - m· m + n = 0$，整理得$2m^2 + n = 0$。
把$n=m-3$代入$2m^2 +n=0$，得：
$2m^2 + m - 3 = 0$，
因式分解得$(2m+3)(m-1)=0$，
解得$m_1=1$，$m_2=-\frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 一元二次方程$4x^2-11x+7=0$是“黄金方程”；
(2) 所求“黄金方程”为$\boldsymbol{x^2 - 3x + 2 = 0}$；
(3) $m$的值为$\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-\frac{3}{2}}$。
【知识点】
新定义问题，一元二次方程的解，解一元二次方程
【点评】
本题以新定义“黄金方程”为背景，综合考察一元二次方程的相关性质，解题的核心是准确理解新定义的含义，结合方程根的性质联立关系式求解，能够有效检验知识迁移和综合应用的能力。
【难度系数】
0.7
