登录
9. 关于$x$的一元二次方程$x^2 + 2x + 3 - k = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若方程的两个根为$α,β$,且$k^2 = αβ + 3k$,求$k$的值.
(1)求$k$的取值范围；
(2)若方程的两个根为$α,β$,且$k^2 = αβ + 3k$,求$k$的值.
答案
解：
(1) 对于一元二次方程$x^2 + 2x + 3 - k = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=3-k$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
即$\Delta = 2^2 - 4×1×(3 - k) = 4k - 8 ＞ 0$，
解得$k ＞ 2$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$αβ = \frac{c}{a} = 3 - k$。
将$αβ = 3 - k$代入$k^2 = αβ + 3k$，得：
$k^2 = 3 - k + 3k$
整理得：$k^2 - 2k - 3 = 0$
因式分解得：$(k - 3)(k + 1) = 0$
解得$k_1 = 3$，$k_2 = -1$。
由(1)知$k ＞ 2$，$k=-1$不符合题意，舍去。
∴$k$的值为3。
(1) 对于一元二次方程$x^2 + 2x + 3 - k = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=3-k$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
即$\Delta = 2^2 - 4×1×(3 - k) = 4k - 8 ＞ 0$，
解得$k ＞ 2$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$αβ = \frac{c}{a} = 3 - k$。
将$αβ = 3 - k$代入$k^2 = αβ + 3k$，得：
$k^2 = 3 - k + 3k$
整理得：$k^2 - 2k - 3 = 0$
因式分解得：$(k - 3)(k + 1) = 0$
解得$k_1 = 3$，$k_2 = -1$。
由(1)知$k ＞ 2$，$k=-1$不符合题意，舍去。
∴$k$的值为3。
解析
【分析】
(1) 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，可联想到利用根的判别式求解：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac＞0$时方程有两个不相等实根。先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式列不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
(2) 题目给出两根乘积与$k$的等量关系，可利用根与系数的关系（韦达定理）直接得出$αβ=\frac{c}{a}$，代入等式得到关于$k$的一元二次方程，解方程得到$k$的可能值后，结合第(1)问求出的$k$的范围舍去不符合条件的解，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 + 2x + 3 - k = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=3-k$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
即$\Delta = 2^2 - 4×1×(3 - k) = 4k - 8 ＞ 0$，
解得$k ＞ 2$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$αβ = \frac{c}{a} = 3 - k$。
将$αβ = 3 - k$代入$k^2 = αβ + 3k$，得：
$k^2 = 3 - k + 3k$
整理得：$k^2 - 2k - 3 = 0$
因式分解得：$(k - 3)(k + 1) = 0$
解得$k_1 = 3$，$k_2 = -1$。
由(1)知$k ＞ 2$，$k=-1$不符合题意，舍去。
∴$k$的值为3。
【答案】
(1)$k＞2$；(2)$k=3$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的常见基础题型，解题时要注意：求出参数的可能值后，必须结合判别式得到的参数范围进行验根，避免遗漏限制条件出现增根。
【难度系数】
0.7
(1) 已知一元二次方程有两个不相等的实数根，可联想到利用根的判别式求解：对于$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当$\Delta=b^2-4ac＞0$时方程有两个不相等实根。先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式列不等式，解不等式即可得到$k$的取值范围。
(2) 题目给出两根乘积与$k$的等量关系，可利用根与系数的关系（韦达定理）直接得出$αβ=\frac{c}{a}$，代入等式得到关于$k$的一元二次方程，解方程得到$k$的可能值后，结合第(1)问求出的$k$的范围舍去不符合条件的解，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 对于一元二次方程$x^2 + 2x + 3 - k = 0$，其中$a=1$，$b=2$，$c=3-k$。
∵方程有两个不相等的实数根，
∴判别式$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$，
即$\Delta = 2^2 - 4×1×(3 - k) = 4k - 8 ＞ 0$，
解得$k ＞ 2$。
(2) 根据一元二次方程根与系数的关系，两根之积$αβ = \frac{c}{a} = 3 - k$。
将$αβ = 3 - k$代入$k^2 = αβ + 3k$，得：
$k^2 = 3 - k + 3k$
整理得：$k^2 - 2k - 3 = 0$
因式分解得：$(k - 3)(k + 1) = 0$
解得$k_1 = 3$，$k_2 = -1$。
由(1)知$k ＞ 2$，$k=-1$不符合题意，舍去。
∴$k$的值为3。
【答案】
(1)$k＞2$；(2)$k=3$
【知识点】
根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的常见基础题型，解题时要注意：求出参数的可能值后，必须结合判别式得到的参数范围进行验根，避免遗漏限制条件出现增根。
【难度系数】
0.7
1.参加足球联赛的每两支球队之间都要进行一场比赛,共要比赛110场.设参加比赛的球队有x支,根据题意,下面列出的方程正确的是（）
A.$\frac{1}{2}x(x+1)=110$
B.$\frac{1}{2}x(x-1)=110$
C.$x(x+1)=110$
D.$x(x-1)=110$
A.$\frac{1}{2}x(x+1)=110$
B.$\frac{1}{2}x(x-1)=110$
C.$x(x+1)=110$
D.$x(x-1)=110$
答案
B
解析
【分析】
这是单循环比赛类的方程列写问题，解题时先明确比赛规则：每两支球队之间仅赛1场。首先假设共有x支参赛球队，每支球队不需要和自己比赛，因此每支球队要和其余(x-1)支球队各赛1场；此时直接计算x(x-1)的话，每场比赛会被参与的两支球队各统计1次，相当于每场比赛重复计算了2次，因此实际总场次需要除以2，再结合题目给出的总比赛110场的条件，即可列出对应方程，匹配选项得到答案。
【解析】
设参加比赛的球队有x支。
∵ 每支球队需与除自身外的$(x-1)$支球队各进行1场比赛，且每两支球队的比赛仅计数1次，不存在主客场重复安排，
∴ 总比赛场数为所有球队参赛次数的一半，即总场次$=\frac{1}{2}x(x-1)$。
已知总比赛共110场，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=110$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 单循环比赛计数
2. 一元二次方程实际应用
【点评】
本题是实际问题列方程的常考题型，解题核心是明确计数时是否存在重复计算的情况，注意区分单循环和双循环（主客场）的计数规则，掌握逻辑后可快速作答。
【难度系数】
0.7
这是单循环比赛类的方程列写问题，解题时先明确比赛规则：每两支球队之间仅赛1场。首先假设共有x支参赛球队，每支球队不需要和自己比赛，因此每支球队要和其余(x-1)支球队各赛1场；此时直接计算x(x-1)的话，每场比赛会被参与的两支球队各统计1次，相当于每场比赛重复计算了2次，因此实际总场次需要除以2，再结合题目给出的总比赛110场的条件，即可列出对应方程，匹配选项得到答案。
【解析】
设参加比赛的球队有x支。
∵ 每支球队需与除自身外的$(x-1)$支球队各进行1场比赛，且每两支球队的比赛仅计数1次，不存在主客场重复安排，
∴ 总比赛场数为所有球队参赛次数的一半，即总场次$=\frac{1}{2}x(x-1)$。
已知总比赛共110场，因此可列方程：$\frac{1}{2}x(x-1)=110$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 单循环比赛计数
2. 一元二次方程实际应用
【点评】
本题是实际问题列方程的常考题型，解题核心是明确计数时是否存在重复计算的情况，注意区分单循环和双循环（主客场）的计数规则，掌握逻辑后可快速作答。
【难度系数】
0.7
2. 如图
，在长为30 m、宽为20 m的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468 m²，求道路的宽度. 设道路的宽度为$x$ m，则可列方程（）
A.$(30-2x)(20-x)=468$
B.$(20-2x)(30-x)=468$
C.$30×20 - 2×30x - 20x = 468$
D.$(30-x)(20-x)=468$
，在长为30 m、宽为20 m的长方形田地中开辟三条宽度相等的道路，已知剩余田地的面积为468 m²，求道路的宽度. 设道路的宽度为$x$ m，则可列方程（）A.$(30-2x)(20-x)=468$
B.$(20-2x)(30-x)=468$
C.$30×20 - 2×30x - 20x = 468$
D.$(30-x)(20-x)=468$
答案
A
解析
【分析】
解决这类含道路的面积列方程问题，优先采用平移法避免计算道路重叠部分：首先将分散的剩余田地平移拼接为一个规则的新长方形，只需计算新长方形的长和宽即可列面积方程。观察道路分布：2条倾斜道路的宽度均为x，会占据水平方向共2x的长度；1条水平道路的宽度为x，会占据竖直方向共x的宽度，由此可推导新长方形的长宽，进而列出方程。
【解析】
我们通过平移剩余田地，可将其拼接为一个完整的长方形：
1. 原长方形长为30m，两条倾斜道路宽度均为x，因此新长方形的长为$30 - 2x$（m）；
2. 原长方形宽为20m，水平道路宽度为x，因此新长方形的宽为$20 - x$（m）；
3. 已知剩余田地面积为$468m^2$，根据长方形面积=长×宽，可列方程：$(30-2x)(20-x)=468$，对应选项A。
补充说明：选项C直接用总面积减三条道路面积，会重复减去道路重叠的部分，计算错误。
【答案】
A
【知识点】
平移法求面积；一元二次方程实际应用；长方形面积计算
【点评】
这道题是面积类方程应用的典型题，核心技巧是用平移法将分散的空白区域拼接为规则图形，既简化了计算，也能避免直接减道路面积时多减重叠部分的错误。
【难度系数】
0.7
解决这类含道路的面积列方程问题，优先采用平移法避免计算道路重叠部分：首先将分散的剩余田地平移拼接为一个规则的新长方形，只需计算新长方形的长和宽即可列面积方程。观察道路分布：2条倾斜道路的宽度均为x，会占据水平方向共2x的长度；1条水平道路的宽度为x，会占据竖直方向共x的宽度，由此可推导新长方形的长宽，进而列出方程。
【解析】
我们通过平移剩余田地，可将其拼接为一个完整的长方形：
1. 原长方形长为30m，两条倾斜道路宽度均为x，因此新长方形的长为$30 - 2x$（m）；
2. 原长方形宽为20m，水平道路宽度为x，因此新长方形的宽为$20 - x$（m）；
3. 已知剩余田地面积为$468m^2$，根据长方形面积=长×宽，可列方程：$(30-2x)(20-x)=468$，对应选项A。
补充说明：选项C直接用总面积减三条道路面积，会重复减去道路重叠的部分，计算错误。
【答案】
A
【知识点】
平移法求面积；一元二次方程实际应用；长方形面积计算
【点评】
这道题是面积类方程应用的典型题，核心技巧是用平移法将分散的空白区域拼接为规则图形，既简化了计算，也能避免直接减道路面积时多减重叠部分的错误。
【难度系数】
0.7
3. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1 056张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为.
答案
解：
全班共有x名同学，每名同学需要向除自己之外的(x-1)名其他同学各赠送1张照片，因此全班赠送的照片总数量为$x(x-1)$。
结合全班共送1056张照片的条件，列出方程：
$x(x-1)=1056$
全班共有x名同学，每名同学需要向除自己之外的(x-1)名其他同学各赠送1张照片，因此全班赠送的照片总数量为$x(x-1)$。
结合全班共送1056张照片的条件，列出方程：
$x(x-1)=1056$
解析
【分析】
要列出方程首先需理清照片赠送的计数逻辑：每名同学仅向除自己外的其他同学送照片，且甲送给乙和乙送给甲是两张不同的照片，不存在重复计数。第一步先求单名同学送出的照片数：全班共x人，减去自己，每人需送出(x-1)张；第二步求总照片数：总共有x名同学，总张数等于人数乘以单人送出的张数；最后结合总张数为1056的已知条件，即可建立等式得到方程。
【解析】
设全班有x名同学：
1. 每名同学不需要给自己送照片，因此每名同学需要向其余(x-1)名同学各赠送1张照片，即单人送出(x-1)张；
2. 由于赠送照片是双向独立行为（甲赠乙、乙赠甲为2张不同照片，无需去重），因此全班赠送的总照片数为$x(x-1)$张；
3. 已知全班共送1056张照片，因此可列方程：$x(x-1)=1056$。
【答案】
$x(x-1)=1056$
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 列代数式
3. 互赠类计数
【点评】
本题是方程实际应用的典型基础题，解题关键是明确计数规则，注意区分互赠类（双向计数，无需除以2）和握手、比赛类（单次计数，需除以2）的问题差异，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
要列出方程首先需理清照片赠送的计数逻辑：每名同学仅向除自己外的其他同学送照片，且甲送给乙和乙送给甲是两张不同的照片，不存在重复计数。第一步先求单名同学送出的照片数：全班共x人，减去自己，每人需送出(x-1)张；第二步求总照片数：总共有x名同学，总张数等于人数乘以单人送出的张数；最后结合总张数为1056的已知条件，即可建立等式得到方程。
【解析】
设全班有x名同学：
1. 每名同学不需要给自己送照片，因此每名同学需要向其余(x-1)名同学各赠送1张照片，即单人送出(x-1)张；
2. 由于赠送照片是双向独立行为（甲赠乙、乙赠甲为2张不同照片，无需去重），因此全班赠送的总照片数为$x(x-1)$张；
3. 已知全班共送1056张照片，因此可列方程：$x(x-1)=1056$。
【答案】
$x(x-1)=1056$
【知识点】
1. 一元二次方程应用
2. 列代数式
3. 互赠类计数
【点评】
本题是方程实际应用的典型基础题，解题关键是明确计数规则，注意区分互赠类（双向计数，无需除以2）和握手、比赛类（单次计数，需除以2）的问题差异，避免计数错误。
【难度系数】
0.7
