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6. 解方程：
(1)$x^2 -5x +6=0$；
(2)$2x^2 -5x +3=0$；
(3)$(x-3)(x-1)=3$。
(1)$x^2 -5x +6=0$；
(2)$2x^2 -5x +3=0$；
(3)$(x-3)(x-1)=3$。
答案
解：
(1) 因式分解，得
$(x-2)(x-3)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=3$。
(2) 因式分解，得
$(2x-3)(x-1)=0$
$\therefore 2x-3=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=1$。
(3) 先展开原方程并整理：
$x^2-4x+3=3$
移项合并同类项，得
$x^2-4x=0$
因式分解，得
$x(x-4)=0$
$\therefore x=0$ 或 $x-4=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=4$。
(1) 因式分解，得
$(x-2)(x-3)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=3$。
(2) 因式分解，得
$(2x-3)(x-1)=0$
$\therefore 2x-3=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=1$。
(3) 先展开原方程并整理：
$x^2-4x+3=3$
移项合并同类项，得
$x^2-4x=0$
因式分解，得
$x(x-4)=0$
$\therefore x=0$ 或 $x-4=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=4$。
解析
【分析】
这三道题均为一元二次方程求解，优先选择计算简便的因式分解法解题：①对于前两道已经是$ax^2+bx+c=0$标准形式的方程，观察系数特征，用十字相乘法将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于0，转化为两个一元一次方程求解即可；②第三道题右侧不为0，不能直接拆分左侧因式求根，需要先展开左侧式子，移项合并同类项整理为右侧为0的标准一元二次方程形式，再提取公因式因式分解后求解。
【解析】
(1) 因式分解，得
$(x-2)(x-3)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=3$。
(2) 因式分解，得
$(2x-3)(x-1)=0$
$\therefore 2x-3=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=1$。
(3) 先展开原方程并整理：
$x^2-4x+3=3$
移项合并同类项，得
$x^2-4x=0$
因式分解，得
$x(x-4)=0$
$\therefore x=0$ 或 $x-4=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
(1)$x_1=2$，$x_2=3$；(2)$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=1$；(3)$x_1=0$，$x_2=4$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解、一元二次方程化简
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，重点考查因式分解法的应用，需要注意只有当方程右侧为0时，才能通过左侧因式分解转化为一次方程求解，解题时要先确认方程形式，避免直接拆分非零侧的因式导致出错。
【难度系数】
0.8
这三道题均为一元二次方程求解，优先选择计算简便的因式分解法解题：①对于前两道已经是$ax^2+bx+c=0$标准形式的方程，观察系数特征，用十字相乘法将二次三项式分解为两个一次因式的乘积，令每个因式等于0，转化为两个一元一次方程求解即可；②第三道题右侧不为0，不能直接拆分左侧因式求根，需要先展开左侧式子，移项合并同类项整理为右侧为0的标准一元二次方程形式，再提取公因式因式分解后求解。
【解析】
(1) 因式分解，得
$(x-2)(x-3)=0$
$\therefore x-2=0$ 或 $x-3=0$
解得 $x_1=2$，$x_2=3$。
(2) 因式分解，得
$(2x-3)(x-1)=0$
$\therefore 2x-3=0$ 或 $x-1=0$
解得 $x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=1$。
(3) 先展开原方程并整理：
$x^2-4x+3=3$
移项合并同类项，得
$x^2-4x=0$
因式分解，得
$x(x-4)=0$
$\therefore x=0$ 或 $x-4=0$
解得 $x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
(1)$x_1=2$，$x_2=3$；(2)$x_1=\frac{3}{2}$，$x_2=1$；(3)$x_1=0$，$x_2=4$
【知识点】
因式分解法解一元二次方程、十字相乘法因式分解、一元二次方程化简
【点评】
本题是解一元二次方程的基础题型，重点考查因式分解法的应用，需要注意只有当方程右侧为0时，才能通过左侧因式分解转化为一次方程求解，解题时要先确认方程形式，避免直接拆分非零侧的因式导致出错。
【难度系数】
0.8
7. 关于x的方程$x^2 - 2x + 4 - m = 0$有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围；
(2)化简：
(1)求m的取值范围；
(2)化简：
答案
解：
(1) ∵ 方程$x^2 - 2x + 4 - m = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(4 - m) ＞ 0$，
即$4 - 16 + 4m ＞ 0$，
$4m ＞ 12$，
解得$m ＞ 3$。
(2) 由$m ＞ 3$，得$m - 3 ＞ 0$，
∴ $|m - 3| = m - 3$，
原式$=\frac{1 - m^2}{m - 3} ÷ \frac{m - 1}{2} · \frac{m - 3}{m + 1}$
$=\frac{(1 - m)(1 + m)}{m - 3} · \frac{2}{m - 1} · \frac{m - 3}{m + 1}$
$=\frac{-(m - 1)(m + 1)}{m - 3} · \frac{2}{m - 1} · \frac{m - 3}{m + 1}$
约分后得原式$=-2$。
(1) ∵ 方程$x^2 - 2x + 4 - m = 0$有两个不相等的实数根，
∴ 判别式$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(4 - m) ＞ 0$，
即$4 - 16 + 4m ＞ 0$，
$4m ＞ 12$，
解得$m ＞ 3$。
(2) 由$m ＞ 3$，得$m - 3 ＞ 0$，
∴ $|m - 3| = m - 3$，
原式$=\frac{1 - m^2}{m - 3} ÷ \frac{m - 1}{2} · \frac{m - 3}{m + 1}$
$=\frac{(1 - m)(1 + m)}{m - 3} · \frac{2}{m - 1} · \frac{m - 3}{m + 1}$
$=\frac{-(m - 1)(m + 1)}{m - 3} · \frac{2}{m - 1} · \frac{m - 3}{m + 1}$
约分后得原式$=-2$。
解析
【分析】
这道题分为两小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，代入对应系数列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
2. 第(2)问：首先根据第(1)问得到的$m＞3$，判断$m-3$的正负，去掉绝对值符号；再将分式的除法转化为乘法，对分子$1-m^2$进行因式分解，注意$1-m=-(m-1)$的符号转换，最后通过约分化简得到结果。
【解析】
(1) 已知方程$x^2 - 2x + 4 - m = 0$有两个不相等的实数根，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=4-m$，根据判别式规则可得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(4 - m) ＞ 0$
展开计算：$4 - 16 + 4m ＞ 0$
整理得：$4m ＞ 12$
解得：$m ＞ 3$
(2) 由(1)得$m ＞ 3$，因此$m-3＞0$，根据绝对值的性质，$|m-3|=m-3$，代入原式化简：
原式$=\frac{1 - m^2}{m - 3} ÷ \frac{m - 1}{2} · \frac{m - 3}{m + 1}$
将除法转化为乘法，同时对$1-m^2$因式分解：
$=\frac{(1 - m)(1 + m)}{m - 3} · \frac{2}{m - 1} · \frac{m - 3}{m + 1}$
转换符号整理：
$=\frac{-(m - 1)(m + 1)}{m - 3} · \frac{2}{m - 1} · \frac{m - 3}{m + 1}$
约去分子分母的公因式$(m-1)、(m+1)、(m-3)$，最终得：
原式$=-2$
【答案】
(1) $m＞3$；(2) $-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，绝对值的化简，分式乘除运算
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根的判定和分式化简结合考查，需要注意先根据$m$的取值范围正确去掉绝对值符号，因式分解时注意符号转换，掌握分式约分的规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
这道题分为两小问，解题思路如下：
1. 第(1)问：已知一元二次方程有两个不相等的实数根，根据一元二次方程根的判别式的性质，当$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，代入对应系数列不等式求解即可得到$m$的取值范围。
2. 第(2)问：首先根据第(1)问得到的$m＞3$，判断$m-3$的正负，去掉绝对值符号；再将分式的除法转化为乘法，对分子$1-m^2$进行因式分解，注意$1-m=-(m-1)$的符号转换，最后通过约分化简得到结果。
【解析】
(1) 已知方程$x^2 - 2x + 4 - m = 0$有两个不相等的实数根，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-2$，常数项$c=4-m$，根据判别式规则可得：
$\Delta = (-2)^2 - 4×1×(4 - m) ＞ 0$
展开计算：$4 - 16 + 4m ＞ 0$
整理得：$4m ＞ 12$
解得：$m ＞ 3$
(2) 由(1)得$m ＞ 3$，因此$m-3＞0$，根据绝对值的性质，$|m-3|=m-3$，代入原式化简：
原式$=\frac{1 - m^2}{m - 3} ÷ \frac{m - 1}{2} · \frac{m - 3}{m + 1}$
将除法转化为乘法，同时对$1-m^2$因式分解：
$=\frac{(1 - m)(1 + m)}{m - 3} · \frac{2}{m - 1} · \frac{m - 3}{m + 1}$
转换符号整理：
$=\frac{-(m - 1)(m + 1)}{m - 3} · \frac{2}{m - 1} · \frac{m - 3}{m + 1}$
约去分子分母的公因式$(m-1)、(m+1)、(m-3)$，最终得：
原式$=-2$
【答案】
(1) $m＞3$；(2) $-2$
【知识点】
一元二次方程根的判别式，绝对值的化简，分式乘除运算
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程根的判定和分式化简结合考查，需要注意先根据$m$的取值范围正确去掉绝对值符号，因式分解时注意符号转换，掌握分式约分的规则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
8. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ kx^2 - (2k + 4)x + k - 6 = 0 $ 有两个不相等的实数根.
(1) 求 $ k $ 的取值范围；
(2) 当 $ k = 1 $ 时, 用配方法解方程.
(1) 求 $ k $ 的取值范围；
(2) 当 $ k = 1 $ 时, 用配方法解方程.
答案
解：
(1) ∵该方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，
∴二次项系数k≠0，
判别式Δ = [-(2k+4)]² - 4k(k-6)
= 4k² + 16k + 16 - 4k² + 24k
= 40k + 16
由Δ＞0得40k + 16 ＞ 0，
解得k ＞ -2/5，
∴k的取值范围是k ＞ -2/5且k≠0。
(2) 当k=1时，原方程为：
x² - 6x - 5 = 0
移项，得x² - 6x = 5
配方，两边同时加9，得x² - 6x + 9 = 5 + 9
即(x - 3)² = 14
直接开平方，得x - 3 = ±√14
∴x₁ = 3 + √14，x₂ = 3 - √14。
(1) ∵该方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，
∴二次项系数k≠0，
判别式Δ = [-(2k+4)]² - 4k(k-6)
= 4k² + 16k + 16 - 4k² + 24k
= 40k + 16
由Δ＞0得40k + 16 ＞ 0，
解得k ＞ -2/5，
∴k的取值范围是k ＞ -2/5且k≠0。
(2) 当k=1时，原方程为：
x² - 6x - 5 = 0
移项，得x² - 6x = 5
配方，两边同时加9，得x² - 6x + 9 = 5 + 9
即(x - 3)² = 14
直接开平方，得x - 3 = ±√14
∴x₁ = 3 + √14，x₂ = 3 - √14。
解析
【分析】
(1) 求解k的取值范围时，首先明确题干给出的是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0，即k≠0；其次方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式的性质，可知判别式Δ＞0，计算出Δ的表达式后解不等式，再结合k≠0的限制，即可得到最终的k的取值范围，注意不能遗漏k≠0的条件。
(2) 当k=1时，先将k代入原方程得到具体的一元二次方程，用配方法解方程时，先把常数项移到等号右侧，再在等号两边同时加一次项系数一半的平方，将等号左侧化为完全平方式，最后直接开平方即可求出方程的解。
【解析】
(1)
∵该方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，
∴二次项系数k≠0，
判别式$\Delta = [-(2k+4)]^2 - 4k(k-6)$
$= 4k^2 + 16k + 16 - 4k^2 + 24k$
$= 40k + 16$
由$\Delta＞0$得$40k + 16 ＞ 0$，
解得$k ＞ -\dfrac{2}{5}$，
∴k的取值范围是$k ＞ -\dfrac{2}{5}$且$k ≠ 0$。
(2) 当$k=1$时，代入原方程得：
$x^2 - 6x - 5 = 0$
移项，得$x^2 - 6x = 5$
配方，两边同时加9，得$x^2 - 6x + 9 = 5 + 9$
即$(x - 3)^2 = 14$
直接开平方，得$x - 3 = \pm\sqrt{14}$
∴$x_1 = 3 + \sqrt{14}$，$x_2 = 3 - \sqrt{14}$。
【答案】
(1) $k ＞ -\dfrac{2}{5}$且$k ≠ 0$；
(2) $x_1=3+\sqrt{14}$，$x_2=3-\sqrt{14}$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，配方法解方程
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程的基础性质及解方程的方法，第一问容易遗漏二次项系数不为0的限制条件导致失分，第二问需要熟练掌握配方法的操作步骤，注意配方时等号两边要同时加相同的数，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
(1) 求解k的取值范围时，首先明确题干给出的是一元二次方程，因此首先要满足二次项系数不为0，即k≠0；其次方程有两个不相等的实数根，结合一元二次方程根的判别式的性质，可知判别式Δ＞0，计算出Δ的表达式后解不等式，再结合k≠0的限制，即可得到最终的k的取值范围，注意不能遗漏k≠0的条件。
(2) 当k=1时，先将k代入原方程得到具体的一元二次方程，用配方法解方程时，先把常数项移到等号右侧，再在等号两边同时加一次项系数一半的平方，将等号左侧化为完全平方式，最后直接开平方即可求出方程的解。
【解析】
(1)
∵该方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，
∴二次项系数k≠0，
判别式$\Delta = [-(2k+4)]^2 - 4k(k-6)$
$= 4k^2 + 16k + 16 - 4k^2 + 24k$
$= 40k + 16$
由$\Delta＞0$得$40k + 16 ＞ 0$，
解得$k ＞ -\dfrac{2}{5}$，
∴k的取值范围是$k ＞ -\dfrac{2}{5}$且$k ≠ 0$。
(2) 当$k=1$时，代入原方程得：
$x^2 - 6x - 5 = 0$
移项，得$x^2 - 6x = 5$
配方，两边同时加9，得$x^2 - 6x + 9 = 5 + 9$
即$(x - 3)^2 = 14$
直接开平方，得$x - 3 = \pm\sqrt{14}$
∴$x_1 = 3 + \sqrt{14}$，$x_2 = 3 - \sqrt{14}$。
【答案】
(1) $k ＞ -\dfrac{2}{5}$且$k ≠ 0$；
(2) $x_1=3+\sqrt{14}$，$x_2=3-\sqrt{14}$
【知识点】
一元二次方程定义，根的判别式，配方法解方程
【点评】
本题属于基础题型，考查一元二次方程的基础性质及解方程的方法，第一问容易遗漏二次项系数不为0的限制条件导致失分，第二问需要熟练掌握配方法的操作步骤，注意配方时等号两边要同时加相同的数，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.7
