登录
8. 已知 m 是方程$x^2+2x-5=0$的一个根,求代数式$(m+1)(m-1)+2(m+4)$的值.
答案
解：
∵ m是方程$x^2+2x-5=0$的一个根，
∴ $m^2+2m-5=0$，
即 $m^2+2m=5$。
化简代数式：
$(m+1)(m-1)+2(m+4)$
$=m^2 -1 + 2m + 8$
$=m^2 + 2m +7$
将$m^2+2m=5$代入上式，
原式$=5+7=12$。
∵ m是方程$x^2+2x-5=0$的一个根，
∴ $m^2+2m-5=0$，
即 $m^2+2m=5$。
化简代数式：
$(m+1)(m-1)+2(m+4)$
$=m^2 -1 + 2m + 8$
$=m^2 + 2m +7$
将$m^2+2m=5$代入上式，
原式$=5+7=12$。
解析
【分析】
解题时首先利用一元二次方程根的定义：方程的根代入原方程等式成立，可得到关于m的等式，变形得到$m^2+2m$的值，无需计算m的具体数值。再将所求代数式利用整式运算法则展开、合并同类项化简，整理为含有$m^2+2m$的形式，最后整体代入求值即可，这种整体代入的思路比直接求解m再代入计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：
∵ m是方程$x^2+2x-5=0$的一个根，
∴ 将x=m代入方程得：$m^2+2m-5=0$，
即 $m^2+2m=5$。
化简代数式：
$(m+1)(m-1)+2(m+4)$
$=m^2 -1 + 2m + 8$
$=m^2 + 2m +7$
将$m^2+2m=5$代入上式，
原式$=5+7=12$。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程根的定义、整式化简求值、平方差公式
【点评】
本题是方程根与整式求值结合的典型题型，重点考查整体代入思想的应用，无需解出方程的根，通过代数式变形后整体代入即可快速求解，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时首先利用一元二次方程根的定义：方程的根代入原方程等式成立，可得到关于m的等式，变形得到$m^2+2m$的值，无需计算m的具体数值。再将所求代数式利用整式运算法则展开、合并同类项化简，整理为含有$m^2+2m$的形式，最后整体代入求值即可，这种整体代入的思路比直接求解m再代入计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：
∵ m是方程$x^2+2x-5=0$的一个根，
∴ 将x=m代入方程得：$m^2+2m-5=0$，
即 $m^2+2m=5$。
化简代数式：
$(m+1)(m-1)+2(m+4)$
$=m^2 -1 + 2m + 8$
$=m^2 + 2m +7$
将$m^2+2m=5$代入上式，
原式$=5+7=12$。
【答案】
12
【知识点】
一元二次方程根的定义、整式化简求值、平方差公式
【点评】
本题是方程根与整式求值结合的典型题型，重点考查整体代入思想的应用，无需解出方程的根，通过代数式变形后整体代入即可快速求解，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
9. 已知关于$x$的方程$(2k+1)x^{2+k} -4kx + (k-1)=0$.
(1)$k$为何值时,此方程是一元一次方程? 求这个一元一次方程的根.
(2)$k$为何值时,此方程是一元二次方程? 写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项.
(1)$k$为何值时,此方程是一元一次方程? 求这个一元一次方程的根.
(2)$k$为何值时,此方程是一元二次方程? 写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项.
答案
解：
(1) 要使该方程是一元一次方程，分两种情况讨论：
① 令未知数最高次数为1，即$2 + k = 1$，解得$k=-1$。
将$k=-1$代入原方程，得$-x + 4x - 2 = 0$，即$3x - 2 = 0$，符合一元一次方程定义，解得$x=\frac{2}{3}$。
② 令最高次项系数为0，且剩余一次项系数不为0，即$\begin{cases}2k+1=0\\-4k≠0\end{cases}$，解得$k=-\frac{1}{2}$。
将$k=-\frac{1}{2}$代入原方程，得$2x - \frac{3}{2}=0$，符合一元一次方程定义，解得$x=\frac{3}{4}$。
综上，当$k=-1$或$k=-\frac{1}{2}$时，此方程是一元一次方程，对应的根分别为$x=\frac{2}{3}$和$x=\frac{3}{4}$。
(2) 要使该方程是一元二次方程，需满足未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，即：
$\begin{cases}2 + k = 2\\2k + 1 ≠ 0\end{cases}$
解得$k=0$。
此时二次项系数为$2k+1=1$，一次项系数为$-4k=0$，常数项为$k-1=-1$。
综上，当$k=0$时，此方程是一元二次方程，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-1。
(1) 要使该方程是一元一次方程，分两种情况讨论：
① 令未知数最高次数为1，即$2 + k = 1$，解得$k=-1$。
将$k=-1$代入原方程，得$-x + 4x - 2 = 0$，即$3x - 2 = 0$，符合一元一次方程定义，解得$x=\frac{2}{3}$。
② 令最高次项系数为0，且剩余一次项系数不为0，即$\begin{cases}2k+1=0\\-4k≠0\end{cases}$，解得$k=-\frac{1}{2}$。
将$k=-\frac{1}{2}$代入原方程，得$2x - \frac{3}{2}=0$，符合一元一次方程定义，解得$x=\frac{3}{4}$。
综上，当$k=-1$或$k=-\frac{1}{2}$时，此方程是一元一次方程，对应的根分别为$x=\frac{2}{3}$和$x=\frac{3}{4}$。
(2) 要使该方程是一元二次方程，需满足未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，即：
$\begin{cases}2 + k = 2\\2k + 1 ≠ 0\end{cases}$
解得$k=0$。
此时二次项系数为$2k+1=1$，一次项系数为$-4k=0$，常数项为$k-1=-1$。
综上，当$k=0$时，此方程是一元二次方程，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-1。
解析
【分析】
解题时需紧扣一元一次方程、一元二次方程的定义展开思考：
1. 对于一元一次方程的判定，需满足方程只含1个未知数、未知数最高次数为1、一次项系数不为0，本题需要分两种情况讨论：①原方程中x的最高次项次数为1，且对应系数不为0；②原方程中最高次项的系数为0，剩余项构成一元一次方程（即一次项系数不为0），分别求解k后代入验证，再求方程的根即可。
2. 对于一元二次方程的判定，需满足方程只含1个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0，据此列不等式组求解k，再代入确定各项系数即可。
【解析】
(1) 方程为一元一次方程需分两种情况讨论：
① 当x的最高次数为1时，有$2 + k = 1$，解得$k=-1$。
将$k=-1$代入原方程得：$-x + 4x - 2 = 0$，整理为$3x - 2 = 0$，符合一元一次方程定义，解得$x=\frac{2}{3}$。
② 当最高次项系数为0，且一次项系数不为0时，列方程组：
$\begin{cases}2k+1=0\\-4k≠0\end{cases}$，解得$k=-\frac{1}{2}$。
将$k=-\frac{1}{2}$代入原方程得：$2x - \frac{3}{2}=0$，符合一元一次方程定义，解得$x=\frac{3}{4}$。
(2) 方程为一元二次方程时，需满足x最高次数为2且二次项系数不为0，列方程组：
$\begin{cases}2 + k = 2\\2k + 1 ≠ 0\end{cases}$
解得$k=0$。
将$k=0$代入得：二次项系数$2k+1=1$，一次项系数$-4k=0$，常数项$k-1=-1$。
【答案】
(1) 当$k=-1$或$k=-\frac{1}{2}$时，此方程是一元一次方程，对应的根分别为$x=\frac{2}{3}$和$x=\frac{3}{4}$；
(2) 当$k=0$时，此方程是一元二次方程，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-1。
【知识点】
一元一次方程的定义、一元二次方程的定义、方程系数的确定
【点评】
本题核心考查对整式方程定义的理解与应用，易错点是求解一元一次方程时容易漏考虑最高次项系数为0的情况，解题时需紧扣定义条件，做到分类讨论不重不漏。
【难度系数】
0.7
解题时需紧扣一元一次方程、一元二次方程的定义展开思考：
1. 对于一元一次方程的判定，需满足方程只含1个未知数、未知数最高次数为1、一次项系数不为0，本题需要分两种情况讨论：①原方程中x的最高次项次数为1，且对应系数不为0；②原方程中最高次项的系数为0，剩余项构成一元一次方程（即一次项系数不为0），分别求解k后代入验证，再求方程的根即可。
2. 对于一元二次方程的判定，需满足方程只含1个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0，据此列不等式组求解k，再代入确定各项系数即可。
【解析】
(1) 方程为一元一次方程需分两种情况讨论：
① 当x的最高次数为1时，有$2 + k = 1$，解得$k=-1$。
将$k=-1$代入原方程得：$-x + 4x - 2 = 0$，整理为$3x - 2 = 0$，符合一元一次方程定义，解得$x=\frac{2}{3}$。
② 当最高次项系数为0，且一次项系数不为0时，列方程组：
$\begin{cases}2k+1=0\\-4k≠0\end{cases}$，解得$k=-\frac{1}{2}$。
将$k=-\frac{1}{2}$代入原方程得：$2x - \frac{3}{2}=0$，符合一元一次方程定义，解得$x=\frac{3}{4}$。
(2) 方程为一元二次方程时，需满足x最高次数为2且二次项系数不为0，列方程组：
$\begin{cases}2 + k = 2\\2k + 1 ≠ 0\end{cases}$
解得$k=0$。
将$k=0$代入得：二次项系数$2k+1=1$，一次项系数$-4k=0$，常数项$k-1=-1$。
【答案】
(1) 当$k=-1$或$k=-\frac{1}{2}$时，此方程是一元一次方程，对应的根分别为$x=\frac{2}{3}$和$x=\frac{3}{4}$；
(2) 当$k=0$时，此方程是一元二次方程，二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为-1。
【知识点】
一元一次方程的定义、一元二次方程的定义、方程系数的确定
【点评】
本题核心考查对整式方程定义的理解与应用，易错点是求解一元一次方程时容易漏考虑最高次项系数为0的情况，解题时需紧扣定义条件，做到分类讨论不重不漏。
【难度系数】
0.7
1. (2025·广州)关于x的方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$根的情况为（）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.只有一个实数根
答案
C
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需借助根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程无实数根。解题时先从方程中提取二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再代入公式计算$\Delta$，最后结合平方的非负性判断$\Delta$与0的大小关系即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
在方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=k^2+2$，代入判别式得：
$\Delta=(-1)^2 - 4×1×(k^2+2)$
$=1 - 4k^2 - 8$
$=-4k^2 -7$
$\because k^2≥0$，$\therefore -4k^2≤0$，则$\Delta=-4k^2 -7≤ -7 ＜ 0$
$\therefore$该方程无实数根，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题核心是正确计算判别式，并利用平方的非负性确定判别式的符号，难度较低。
【难度系数】
0.8
要判断一元二次方程根的情况，需借助根的判别式$\Delta=b^2-4ac$判断：若$\Delta＞0$，方程有两个不相等的实数根；若$\Delta=0$，方程有两个相等的实数根；若$\Delta＜0$，方程无实数根。解题时先从方程中提取二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再代入公式计算$\Delta$，最后结合平方的非负性判断$\Delta$与0的大小关系即可得出结论。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
在方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=k^2+2$，代入判别式得：
$\Delta=(-1)^2 - 4×1×(k^2+2)$
$=1 - 4k^2 - 8$
$=-4k^2 -7$
$\because k^2≥0$，$\therefore -4k^2≤0$，则$\Delta=-4k^2 -7≤ -7 ＜ 0$
$\therefore$该方程无实数根，故选C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 平方的非负性
【点评】
本题是一元二次方程根的判别式的基础应用题型，解题核心是正确计算判别式，并利用平方的非负性确定判别式的符号，难度较低。
【难度系数】
0.8
2. (2025·东营)若$x_1,x_2$是关于$x$的一元二次方程$x^2 -25x -1=0$的两个实数根,则代数式$x_1^2 -24x_1 +x_2$的值为 ()
A.0
B.25
C.26
D.-1
A.0
B.25
C.26
D.-1
答案
C
解析
【分析】
解题时可按照“降次→整理→整体代入”的思路思考：首先，已知$x_1$是一元二次方程的根，可利用方程根的定义将$x_1^2$用含$x_1$的一次式表示，实现降次；再将降次后的式子代入所求代数式整理，会出现两根之和的结构；最后利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，整体代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ $x_1$ 是一元二次方程 $x^2 -25x -1=0$ 的实数根
∴ 代入方程得：$x_1^2 -25x_1 -1=0$，即 $x_1^2 = 25x_1 + 1$
将 $x_1^2 = 25x_1 + 1$ 代入代数式 $x_1^2 -24x_1 +x_2$ 得：
$\begin{aligned}x_1^2 -24x_1 +x_2&=(25x_1 +1) -24x_1 +x_2\\&=x_1 +x_2 +1\end{aligned}$
又
∵ $x_1,x_2$ 是方程 $x^2 -25x -1=0$ 的两个实数根，根据根与系数的关系：
$x_1 +x_2 = -\frac{b}{a} = 25$
代入上式得：$25 + 1 = 26$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的常考题型，核心是利用根的定义对二次项降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，避免了直接求解方程根的繁琐计算，考查了整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
解题时可按照“降次→整理→整体代入”的思路思考：首先，已知$x_1$是一元二次方程的根，可利用方程根的定义将$x_1^2$用含$x_1$的一次式表示，实现降次；再将降次后的式子代入所求代数式整理，会出现两根之和的结构；最后利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，整体代入计算即可得到结果。
【解析】
∵ $x_1$ 是一元二次方程 $x^2 -25x -1=0$ 的实数根
∴ 代入方程得：$x_1^2 -25x_1 -1=0$，即 $x_1^2 = 25x_1 + 1$
将 $x_1^2 = 25x_1 + 1$ 代入代数式 $x_1^2 -24x_1 +x_2$ 得：
$\begin{aligned}x_1^2 -24x_1 +x_2&=(25x_1 +1) -24x_1 +x_2\\&=x_1 +x_2 +1\end{aligned}$
又
∵ $x_1,x_2$ 是方程 $x^2 -25x -1=0$ 的两个实数根，根据根与系数的关系：
$x_1 +x_2 = -\frac{b}{a} = 25$
代入上式得：$25 + 1 = 26$
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式求值
【点评】
本题是一元二次方程相关的常考题型，核心是利用根的定义对二次项降次，再结合根与系数的关系整体代入求值，避免了直接求解方程根的繁琐计算，考查了整体思想的应用。
【难度系数】
0.7
3. (2025·山东)若关于$x$的一元二次方程$x^2 +4x -m=0$有两个不相等的实数根，则实数$m$的取值范围是.
答案
$\boldsymbol{m ＞ -4}$
解析
【分析】
看到题目告知一元二次方程有两个不相等的实数根，首先联想到一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。接下来只需确定对应方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta＞0$得到关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：已知一元二次方程$x^2+4x -m=0$有两个不相等的实数根，根据根的判别式性质可得$\Delta＞0$。
在方程$x^2+4x -m=0$中，$a=1$，$b=4$，$c=-m$，代入判别式公式：
$\Delta = b^2-4ac = 4^2 -4×1×(-m) ＞0$
化简得：$16 +4m ＞0$
移项得：$4m ＞ -16$
两边同时除以4得：$m ＞ -4$
【答案】
$\boldsymbol{m ＞ -4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类题型，核心考查一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系，解题时只要准确代入参数计算、正确解不等式即可得到结果。
【难度系数】
0.8
看到题目告知一元二次方程有两个不相等的实数根，首先联想到一元二次方程根的判别式的性质：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a\ne0)$，根的判别式$\Delta=b^2-4ac$，当$\Delta＞0$时，方程有两个不相等的实数根。接下来只需确定对应方程中$a、b、c$的取值，代入$\Delta＞0$得到关于$m$的不等式，解不等式即可得到$m$的取值范围。
【解析】
解：已知一元二次方程$x^2+4x -m=0$有两个不相等的实数根，根据根的判别式性质可得$\Delta＞0$。
在方程$x^2+4x -m=0$中，$a=1$，$b=4$，$c=-m$，代入判别式公式：
$\Delta = b^2-4ac = 4^2 -4×1×(-m) ＞0$
化简得：$16 +4m ＞0$
移项得：$4m ＞ -16$
两边同时除以4得：$m ＞ -4$
【答案】
$\boldsymbol{m ＞ -4}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
【点评】
本题是基础类题型，核心考查一元二次方程根的判别式与根的个数的对应关系，解题时只要准确代入参数计算、正确解不等式即可得到结果。
【难度系数】
0.8
4. (2025·广安)已知方程$x^2 -5x -24=0$的两根分别为a和b，则代数式$a^2 -4a +b$的值为.
答案
$\boldsymbol{29}$
解析
【分析】
解题思路如下：①首先利用一元二次方程根的定义，a是方程的根，代入方程可得到a²与a的关系式，实现二次项降次的目的；②将降次后的式子代入待求代数式，化简后会出现a+b的结构；③最后利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和a+b，整体代入即可算出结果，无需单独求解两根的具体值。
【解析】
1. 因为a是方程$x^2 -5x -24=0$的根，将$x=a$代入方程得：
$a^2 -5a -24=0$，整理得$a^2=5a+24$。
2. 将$a^2=5a+24$代入代数式$a^2 -4a +b$：
原式$=(5a+24)-4a+b = a + b +24$。
3. 根据一元二次方程根与系数的关系，方程$x^2 -5x -24=0$的两根a、b满足：
$a+b=-\frac{-5}{1}=5$。
4. 将$a+b=5$代入$a + b +24$得：
原式$=5+24=29$。
【答案】
$\boldsymbol{29}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根相关计算的典型题型，结合了降次思想和整体代入思想，避免了求解方程根的繁琐步骤，能有效考察对根的性质和韦达定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：①首先利用一元二次方程根的定义，a是方程的根，代入方程可得到a²与a的关系式，实现二次项降次的目的；②将降次后的式子代入待求代数式，化简后会出现a+b的结构；③最后利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和a+b，整体代入即可算出结果，无需单独求解两根的具体值。
【解析】
1. 因为a是方程$x^2 -5x -24=0$的根，将$x=a$代入方程得：
$a^2 -5a -24=0$，整理得$a^2=5a+24$。
2. 将$a^2=5a+24$代入代数式$a^2 -4a +b$：
原式$=(5a+24)-4a+b = a + b +24$。
3. 根据一元二次方程根与系数的关系，方程$x^2 -5x -24=0$的两根a、b满足：
$a+b=-\frac{-5}{1}=5$。
4. 将$a+b=5$代入$a + b +24$得：
原式$=5+24=29$。
【答案】
$\boldsymbol{29}$
【知识点】
一元二次方程根的定义，根与系数的关系，代数式化简求值
【点评】
本题是一元二次方程根相关计算的典型题型，结合了降次思想和整体代入思想，避免了求解方程根的繁琐步骤，能有效考察对根的性质和韦达定理的灵活运用能力。
【难度系数】
0.7
5. (2025·攀枝花)已知$a,b$是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两根，则$\frac{1}{a} + \frac{1}{b}$的值为。
答案
$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
解析
【分析】
本题要求代数式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值，观察待求式可先通分变形为$\frac{a+b}{ab}$，由此可知只需计算出两根之和$a+b$与两根之积$ab$即可。已知$a,b$是一元二次方程的两根，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出$a+b$和$ab$，最后代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$a,b$是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和为$-\frac{B}{A}$，两根之积为$\frac{C}{A}$，
∴在方程$x^2 + 2x - 3 = 0$中，$A=1,B=2,C=-3$，
则$a+b=-\frac{2}{1}=-2$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$，
对$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分化简得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}=\frac{a+b}{ab}$，
将$a+b=-2$，$ab=-3$代入得：
原式$=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式的化简求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，解题的核心是将待求分式转化为用两根之和、两根之积表示的形式，再结合根与系数的关系代入计算，解题过程中要注意符号的运算，避免出错。
【难度系数】
0.8
本题要求代数式$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的值，观察待求式可先通分变形为$\frac{a+b}{ab}$，由此可知只需计算出两根之和$a+b$与两根之积$ab$即可。已知$a,b$是一元二次方程的两根，可直接利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）求出$a+b$和$ab$，最后代入变形后的式子计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵$a,b$是方程$x^2 + 2x - 3 = 0$的两根，
根据一元二次方程根与系数的关系，对于方程$Ax^2+Bx+C=0$（$A≠0$），两根之和为$-\frac{B}{A}$，两根之积为$\frac{C}{A}$，
∴在方程$x^2 + 2x - 3 = 0$中，$A=1,B=2,C=-3$，
则$a+b=-\frac{2}{1}=-2$，$ab=\frac{-3}{1}=-3$，
对$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$通分化简得：
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b+a}{ab}=\frac{a+b}{ab}$，
将$a+b=-2$，$ab=-3$代入得：
原式$=\frac{-2}{-3}=\frac{2}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{2}{3}}$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 分式的化简求值
【点评】
本题是代数式求值的常见题型，解题的核心是将待求分式转化为用两根之和、两根之积表示的形式，再结合根与系数的关系代入计算，解题过程中要注意符号的运算，避免出错。
【难度系数】
0.8
