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1. 下列方程中,是一元二次方程的是 ()
A.$2x+1=0$
B.$x^2+1=0$
C.$y^2+x=1$
D.$\frac{1}{x}+x^2=1$
A.$2x+1=0$
B.$x^2+1=0$
C.$y^2+x=1$
D.$\frac{1}{x}+x^2=1$
答案
B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的三个核心判定条件：第一，必须是整式方程（分母不含未知数）；第二，只含有1个未知数；第三，未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。接下来我们对照这三个条件逐一分析每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的判定规则：①为整式方程；②仅含1个未知数；③未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。
对各选项逐一判断：
A选项：$2x+1=0$中未知数$x$的最高次数是1，属于一元一次方程，不符合一元二次方程的要求，排除；
B选项：$x^2+1=0$是整式方程，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数为1≠0，完全满足一元二次方程的条件；
C选项：$y^2+x=1$中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合要求，排除；
D选项：$\frac{1}{x}+x^2=1$中分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的概念；整式方程判定；分式方程识别
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对一元二次方程定义的掌握程度，解题的关键是熟记一元二次方程的三个判定条件，逐一排查选项即可，需要特别注意不要误将分式方程当成整式方程。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确一元二次方程的三个核心判定条件：第一，必须是整式方程（分母不含未知数）；第二，只含有1个未知数；第三，未知数的最高次数是2，且二次项系数不为0。接下来我们对照这三个条件逐一分析每个选项，排除不符合要求的选项即可得到正确答案。
【解析】
首先明确一元二次方程的判定规则：①为整式方程；②仅含1个未知数；③未知数最高次数为2，且二次项系数不为0。
对各选项逐一判断：
A选项：$2x+1=0$中未知数$x$的最高次数是1，属于一元一次方程，不符合一元二次方程的要求，排除；
B选项：$x^2+1=0$是整式方程，只含未知数$x$，$x$的最高次数为2，二次项系数为1≠0，完全满足一元二次方程的条件；
C选项：$y^2+x=1$中含有$x$、$y$两个未知数，属于二元方程，不符合要求，排除；
D选项：$\frac{1}{x}+x^2=1$中分母含有未知数$x$，属于分式方程，不是整式方程，不符合要求，排除。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程的概念；整式方程判定；分式方程识别
【点评】
本题属于基础概念类考题，重点考查对一元二次方程定义的掌握程度，解题的关键是熟记一元二次方程的三个判定条件，逐一排查选项即可，需要特别注意不要误将分式方程当成整式方程。
【难度系数】
0.9
2. 关于$x$的一元二次方程$(m+1)x^{m^2+1}+4x+2=0$的解为（）
A.$x_1=1,x_2=-1$
B.$x_1=x_2=1$
C.$x_1=x_2=-1$
D.无解
A.$x_1=1,x_2=-1$
B.$x_1=x_2=1$
C.$x_1=x_2=-1$
D.无解
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，首先需根据一元二次方程的定义确定参数m的取值：一元二次方程需满足两个核心条件，一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不为0，求出m的合法取值后代入原方程，再求解一元二次方程即可得到对应答案。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义列约束条件
① 最高次项的次数为2：$m^2 + 1 = 2$
② 二次项系数不为0：$m + 1 ≠ 0$
第二步：求解参数m
解方程$m^2 + 1 = 2$，得$m^2=1$，即$m=1$或$m=-1$
结合$m+1≠0$的要求，排除$m=-1$，因此$m=1$
第三步：代入m求解方程
将$m=1$代入原方程得：$(1+1)x^2 +4x +2 = 0$
化简得$2x^2 +4x +2 = 0$，两边同时除以2得$x^2 + 2x + 1 = 0$
因式分解得$(x+1)^2 = 0$，解得$x_1=x_2=-1$
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，错取$m=-1$导致解题失误，牢记概念后解题难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需根据一元二次方程的定义确定参数m的取值：一元二次方程需满足两个核心条件，一是未知数的最高次数为2，二是二次项系数不为0，求出m的合法取值后代入原方程，再求解一元二次方程即可得到对应答案。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义列约束条件
① 最高次项的次数为2：$m^2 + 1 = 2$
② 二次项系数不为0：$m + 1 ≠ 0$
第二步：求解参数m
解方程$m^2 + 1 = 2$，得$m^2=1$，即$m=1$或$m=-1$
结合$m+1≠0$的要求，排除$m=-1$，因此$m=1$
第三步：代入m求解方程
将$m=1$代入原方程得：$(1+1)x^2 +4x +2 = 0$
化简得$2x^2 +4x +2 = 0$，两边同时除以2得$x^2 + 2x + 1 = 0$
因式分解得$(x+1)^2 = 0$，解得$x_1=x_2=-1$
【答案】
C
【知识点】
1.一元二次方程的定义 2.解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程概念的基础应用题，解题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，错取$m=-1$导致解题失误，牢记概念后解题难度较低。
【难度系数】
0.7
3. 关于$x$的一元二次方程$(m-3)x^2 + m^2x = 9x +5$化为一般形式后不含一次项，则$m$的值为（）
A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$
A.0
B.$\pm3$
C.3
D.$-3$
答案
D
解析
【分析】
首先我们需要先将给定的方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$。解题要抓住两个核心条件：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是化为一般形式后不含一次项，即一次项系数等于0。我们先通过移项、合并同类项得到一般形式，再联立两个条件求解$m$的取值即可。
【解析】
1. 整理原方程为一般形式：
将原方程$(m-3)x^2 + m^2x = 9x +5$移项，把所有项移到等号左侧，得：
$(m-3)x^2 + m^2x -9x -5 = 0$
合并同类项，整理为标准一般形式：
$(m-3)x^2 + (m^2 -9)x -5 = 0$
2. 根据题意列约束条件：
① 方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0：$m-3≠0$，解得$m≠3$；
② 不含一次项，因此一次项系数为0：$m^2 -9 = 0$，解得$m=\pm3$。
3. 筛选符合条件的$m$值：
结合$m≠3$的限制，最终得$m=-3$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选B选项，解题时要注意结合所有限制条件判断参数取值，避免漏判条件出错。
【难度系数】
0.6
首先我们需要先将给定的方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0(a≠0)$。解题要抓住两个核心条件：一是方程为一元二次方程，因此二次项系数不能为0；二是化为一般形式后不含一次项，即一次项系数等于0。我们先通过移项、合并同类项得到一般形式，再联立两个条件求解$m$的取值即可。
【解析】
1. 整理原方程为一般形式：
将原方程$(m-3)x^2 + m^2x = 9x +5$移项，把所有项移到等号左侧，得：
$(m-3)x^2 + m^2x -9x -5 = 0$
合并同类项，整理为标准一般形式：
$(m-3)x^2 + (m^2 -9)x -5 = 0$
2. 根据题意列约束条件：
① 方程是一元二次方程，因此二次项系数不为0：$m-3≠0$，解得$m≠3$；
② 不含一次项，因此一次项系数为0：$m^2 -9 = 0$，解得$m=\pm3$。
3. 筛选符合条件的$m$值：
结合$m≠3$的限制，最终得$m=-3$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题易错点是容易忽略一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，误选B选项，解题时要注意结合所有限制条件判断参数取值，避免漏判条件出错。
【难度系数】
0.6
4. 方程 $3x^2 = 5x + 2$ 的二次项系数为，一次项系数为.
答案
$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{-5}$
解析
【分析】
要确定一元二次方程的二次项系数和一次项系数，首先需要将方程化为一元二次方程的一般形式 $ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，注意系数要包含前面的符号。解题步骤为：先通过移项把原方程整理为一般形式，再对应找出各项系数即可。
【解析】
首先对原方程进行移项，将等号右侧的项全部移到左侧，注意移项要变号：
$\begin{aligned}3x^2&=5x+2\\3x^2 -5x -2&=0\end{aligned}$
根据一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的定义：
二次项为$3x^2$，对应的二次项系数为$3$；
一次项为$-5x$，对应的一次项系数为$-5$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的项与系数定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是未将方程化为一般形式就直接提取系数，或移项时忘记改变符号，误将一次项系数写为5。解决此类问题的关键是先把方程整理为标准一般形式，确定系数时要包含项前面的符号。
【难度系数】
0.9
要确定一元二次方程的二次项系数和一次项系数，首先需要将方程化为一元二次方程的一般形式 $ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，注意系数要包含前面的符号。解题步骤为：先通过移项把原方程整理为一般形式，再对应找出各项系数即可。
【解析】
首先对原方程进行移项，将等号右侧的项全部移到左侧，注意移项要变号：
$\begin{aligned}3x^2&=5x+2\\3x^2 -5x -2&=0\end{aligned}$
根据一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的定义：
二次项为$3x^2$，对应的二次项系数为$3$；
一次项为$-5x$，对应的一次项系数为$-5$。
【答案】
$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
1. 一元二次方程的一般形式
2. 一元二次方程的项与系数定义
【点评】
本题属于基础概念题，易错点是未将方程化为一般形式就直接提取系数，或移项时忘记改变符号，误将一次项系数写为5。解决此类问题的关键是先把方程整理为标准一般形式，确定系数时要包含项前面的符号。
【难度系数】
0.9
5. 若关于x的一元二次方程$mx^2 + nx -1 = 0(m≠0)$的一个根是$x=1$，则$m+n$的值是.
答案
$\boldsymbol{1}$
解析
【分析】
解题时首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知x=1是方程的根，因此将x=1代入原方程，等式仍然成立，代入后得到关于m、n的等式，无需分别求解m和n的具体值，直接整理等式即可求出m+n的值。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$mx^2 + nx -1 = 0(m≠0)$的根，
∴将x=1代入方程，可得：
$m×1^2 + n×1 -1 = 0$
化简得：$m + n - 1 = 0$
移项后得：$m + n = 1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的性质的应用，解题思路直接，计算量小，熟练掌握根的定义即可快速求解，是一元二次方程相关概念的典型基础考题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆一元二次方程根的定义：能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的根。已知x=1是方程的根，因此将x=1代入原方程，等式仍然成立，代入后得到关于m、n的等式，无需分别求解m和n的具体值，直接整理等式即可求出m+n的值。
【解析】
解：
∵x=1是一元二次方程$mx^2 + nx -1 = 0(m≠0)$的根，
∴将x=1代入方程，可得：
$m×1^2 + n×1 -1 = 0$
化简得：$m + n - 1 = 0$
移项后得：$m + n = 1$
【答案】
$\boldsymbol{1}$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题型，核心考查方程根的性质的应用，解题思路直接，计算量小，熟练掌握根的定义即可快速求解，是一元二次方程相关概念的典型基础考题。
【难度系数】
0.9
6. 若一元二次方程$x^2+bx+c=0$（$b,c$为常数）的两根$x_1,x_2$满足$-3＜x_1＜-1,1＜x_2＜3$，则符合条件的一个方程为。
答案
$x^2-4=0$（答案不唯一）
解析
【分析】
这是一道开放性填空题，解题思路如下：第一步明确题目要求：一元二次方程的两根分别落在(-3,-1)和(1,3)区间内；第二步自主选取两个分别符合上述区间的数值作为方程的根，比如选取计算最简单的整数根$x_1=-2$，$x_2=2$，二者均满足区间要求；第三步根据一元二次方程根与因式的关系：若方程两根为$x_1、x_2$，则方程可写为$(x-x_1)(x-x_2)=0$的形式，代入选取的根展开即可得到符合要求的方程，只要根满足区间要求，得到的方程均正确，因此答案不唯一。
【解析】
首先选取符合取值范围的两根，例如取$x_1=-2$，$x_2=2$，显然满足$-3＜-2＜-1$，$1＜2＜3$。
根据以$x_1、x_2$为根的一元二次方程的构造公式：$(x-x_1)(x-x_2)=0$，代入根可得：
$(x+2)(x-2)=0$
展开整理得：$x^2-4=0$。
也可选取其他符合区间的根构造方程，均符合要求。
【答案】
$x^2-4=0$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的根；根与系数的关系；方程构造
【点评】
本题为开放性试题，答案不唯一，重点考查对一元二次方程根的范围的理解，以及灵活运用根的性质构造方程的能力，解题核心是先确定符合要求的两根，再还原得到方程。
【难度系数】
0.8
这是一道开放性填空题，解题思路如下：第一步明确题目要求：一元二次方程的两根分别落在(-3,-1)和(1,3)区间内；第二步自主选取两个分别符合上述区间的数值作为方程的根，比如选取计算最简单的整数根$x_1=-2$，$x_2=2$，二者均满足区间要求；第三步根据一元二次方程根与因式的关系：若方程两根为$x_1、x_2$，则方程可写为$(x-x_1)(x-x_2)=0$的形式，代入选取的根展开即可得到符合要求的方程，只要根满足区间要求，得到的方程均正确，因此答案不唯一。
【解析】
首先选取符合取值范围的两根，例如取$x_1=-2$，$x_2=2$，显然满足$-3＜-2＜-1$，$1＜2＜3$。
根据以$x_1、x_2$为根的一元二次方程的构造公式：$(x-x_1)(x-x_2)=0$，代入根可得：
$(x+2)(x-2)=0$
展开整理得：$x^2-4=0$。
也可选取其他符合区间的根构造方程，均符合要求。
【答案】
$x^2-4=0$（答案不唯一）
【知识点】
一元二次方程的根；根与系数的关系；方程构造
【点评】
本题为开放性试题，答案不唯一，重点考查对一元二次方程根的范围的理解，以及灵活运用根的性质构造方程的能力，解题核心是先确定符合要求的两根，再还原得到方程。
【难度系数】
0.8
7. 已知$x=1$是一元二次方程$ax^2 + bx - 40 = 0$的一个解，且$a≠b$，求$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b}$的值。
答案
解：
把$x=1$代入一元二次方程$ax^2 + bx - 40 = 0$，得：
$a × 1^2 + b × 1 - 40 = 0$
整理得 $a + b = 40$。
化简待求式：
$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b} = \frac{(a+b)(a-b)}{2(a-b)}$
因为$a ≠ b$，所以$a - b ≠ 0$，约去公因式$a-b$，得：
$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b} = \frac{a+b}{2}$
将$a+b=40$代入上式：
$\frac{a+b}{2} = \frac{40}{2} = 20$
即$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b}$的值为20。
把$x=1$代入一元二次方程$ax^2 + bx - 40 = 0$，得：
$a × 1^2 + b × 1 - 40 = 0$
整理得 $a + b = 40$。
化简待求式：
$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b} = \frac{(a+b)(a-b)}{2(a-b)}$
因为$a ≠ b$，所以$a - b ≠ 0$，约去公因式$a-b$，得：
$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b} = \frac{a+b}{2}$
将$a+b=40$代入上式：
$\frac{a+b}{2} = \frac{40}{2} = 20$
即$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b}$的值为20。
解析
【分析】
解题时首先根据一元二次方程解的定义，将x=1代入已知方程，得到a与b的和的关系式；再观察待求分式的结构，分子可以用平方差公式因式分解，分母可以提取公因式2，结合题目给出的a≠b的条件，可约去分子分母的公因式(a-b)，将分式化简为只含a+b的形式，最后整体代入a+b的值即可求出结果。
【解析】
把$x=1$代入一元二次方程$ax^2 + bx - 40 = 0$，得：
$a × 1^2 + b × 1 - 40 = 0$
整理得 $a + b = 40$。
化简待求式：
$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b} = \frac{(a+b)(a-b)}{2(a-b)}$
因为$a ≠ b$，所以$a - b ≠ 0$，约去公因式$a-b$，得：
$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b} = \frac{a+b}{2}$
将$a+b=40$代入上式：
$\frac{a+b}{2} = \frac{40}{2} = 20$
即$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b}$的值为20。
【答案】
20
【知识点】
一元二次方程的解；因式分解；分式化简求值
【点评】
本题属于基础的综合计算题，解题时不需要单独求解a、b的具体值，利用整体代入的思想可大幅简化计算过程，需要注意约分时要保证公因式不为0，本题中a≠b的条件就是约分的依据。
【难度系数】
0.75
解题时首先根据一元二次方程解的定义，将x=1代入已知方程，得到a与b的和的关系式；再观察待求分式的结构，分子可以用平方差公式因式分解，分母可以提取公因式2，结合题目给出的a≠b的条件，可约去分子分母的公因式(a-b)，将分式化简为只含a+b的形式，最后整体代入a+b的值即可求出结果。
【解析】
把$x=1$代入一元二次方程$ax^2 + bx - 40 = 0$，得：
$a × 1^2 + b × 1 - 40 = 0$
整理得 $a + b = 40$。
化简待求式：
$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b} = \frac{(a+b)(a-b)}{2(a-b)}$
因为$a ≠ b$，所以$a - b ≠ 0$，约去公因式$a-b$，得：
$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b} = \frac{a+b}{2}$
将$a+b=40$代入上式：
$\frac{a+b}{2} = \frac{40}{2} = 20$
即$\frac{a^2 - b^2}{2a - 2b}$的值为20。
【答案】
20
【知识点】
一元二次方程的解；因式分解；分式化简求值
【点评】
本题属于基础的综合计算题，解题时不需要单独求解a、b的具体值，利用整体代入的思想可大幅简化计算过程，需要注意约分时要保证公因式不为0，本题中a≠b的条件就是约分的依据。
【难度系数】
0.75
