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6. (2026·福建)古算诗词题融数学于诗词之中,是前人智慧的结晶. 如图13是古算诗词题“争荡秋千”所描绘的示意图.已知秋千的绳索长$OA=6$尺,且秋千的绳索始终保持直线状态,踏板的起始位置在点A处,$OA$与地面$BD$垂直,踏板离地面的高度$AB=1$尺.当踏板从A处绕点O运动到C处时,踏板离地面的高度$CD=4$尺,则秋千的绳索荡过的$∠ AOC$的大小为
()
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
()
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$
答案
C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以通过构造直角三角形将所求角度放到直角三角形中求解。首先过点C作CE垂直于OB，得到矩形CDBE，利用矩形对边相等的性质得到EB的长度，再计算出OE的长度，最后在直角三角形OCE中根据余弦的定义求出∠AOC的余弦值，结合特殊角的三角函数值即可得到角度。
【解析】
解：过点C作$CE⊥ OB$于点E，
∵$CD⊥ BD$，$OB⊥ BD$，$CE⊥ OB$，
∴四边形CDBE是矩形，
∴$EB=CD=4$尺。
由题意可知，$OB=OA+AB=6+1=7$尺，
∴$OE=OB-EB=7-4=3$尺。
∵秋千绳索长度不变，
∴$OC=OA=6$尺，
在$Rt△ OCE$中，$\cos∠ AOC=\frac{OE}{OC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
又
∵$\cos60°=\frac{1}{2}$，
∴$∠ AOC=60°$。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合古算诗词背景，考查了几何知识的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的问题，同时需要熟记特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以通过构造直角三角形将所求角度放到直角三角形中求解。首先过点C作CE垂直于OB，得到矩形CDBE，利用矩形对边相等的性质得到EB的长度，再计算出OE的长度，最后在直角三角形OCE中根据余弦的定义求出∠AOC的余弦值，结合特殊角的三角函数值即可得到角度。
【解析】
解：过点C作$CE⊥ OB$于点E，
∵$CD⊥ BD$，$OB⊥ BD$，$CE⊥ OB$，
∴四边形CDBE是矩形，
∴$EB=CD=4$尺。
由题意可知，$OB=OA+AB=6+1=7$尺，
∴$OE=OB-EB=7-4=3$尺。
∵秋千绳索长度不变，
∴$OC=OA=6$尺，
在$Rt△ OCE$中，$\cos∠ AOC=\frac{OE}{OC}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$，
又
∵$\cos60°=\frac{1}{2}$，
∴$∠ AOC=60°$。
【答案】
C
【知识点】
解直角三角形的应用，矩形的性质，特殊角的三角函数值
【点评】
本题结合古算诗词背景，考查了几何知识的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为解直角三角形的问题，同时需要熟记特殊角的三角函数值。
【难度系数】
0.7
7.(2025·德州)暑假期间,小明一家到某旅游风景区登山.如图14,他们从山底A处出发,先步行200 m到达B处,再从B处坐缆车到达山顶C处.已知山坡AB的坡角α=16°,缆车的行驶路线BC与水平面的夹角β=37°,这座山的高度CD=296 m,A,B,C,D在同一平面内.
(1)求小明一家步行上升的垂直高度(结果取整数);
(2)求缆车的行驶路线BC的长(结果取整数).
(参考数据:sin16°≈0.28,cos16°≈0.96,tan16°≈0.29;sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
(1)求小明一家步行上升的垂直高度(结果取整数);
(2)求缆车的行驶路线BC的长(结果取整数).
(参考数据:sin16°≈0.28,cos16°≈0.96,tan16°≈0.29;sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75)
答案
解：
(1) 过点B作BE⊥AD，垂足为E。
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=200 m，∠A=α=16°，
∵ $\sinα = \frac{BE}{AB}$，
∴ $BE = AB·\sin16° \approx 200×0.28 = 56\ \mathrm{m}$。
(2) 过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵ $∠ D = ∠ BED = ∠ BFD = 90°$，
∴ 四边形BEDF是矩形，
∴ $DF = BE = 56\ \mathrm{m}$，
∴ $CF = CD - DF = 296 - 56 = 240\ \mathrm{m}$。
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠CBF=β=37°，
∵ $\sinβ = \frac{CF}{BC}$，
∴ $BC = \frac{CF}{\sin37°} \approx \frac{240}{0.60} = 400\ \mathrm{m}$。
答：小明一家步行上升的垂直高度约为56 m，缆车的行驶路线BC的长约为400 m。
(1) 过点B作BE⊥AD，垂足为E。
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=200 m，∠A=α=16°，
∵ $\sinα = \frac{BE}{AB}$，
∴ $BE = AB·\sin16° \approx 200×0.28 = 56\ \mathrm{m}$。
(2) 过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵ $∠ D = ∠ BED = ∠ BFD = 90°$，
∴ 四边形BEDF是矩形，
∴ $DF = BE = 56\ \mathrm{m}$，
∴ $CF = CD - DF = 296 - 56 = 240\ \mathrm{m}$。
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠CBF=β=37°，
∵ $\sinβ = \frac{CF}{BC}$，
∴ $BC = \frac{CF}{\sin37°} \approx \frac{240}{0.60} = 400\ \mathrm{m}$。
答：小明一家步行上升的垂直高度约为56 m，缆车的行驶路线BC的长约为400 m。
解析
【分析】
(1) 求步行上升的垂直高度，即AB段对应的竖直高度，可过B向AD作垂线构造直角三角形，已知斜边AB的长度和坡角α，根据正弦函数的定义即可求出竖直高度。
(2) 求缆车路线BC的长度，先过B向CD作垂线，可得矩形BEDF，利用矩形性质得到DF等于第一问求出的竖直高度，用总高度CD减去DF得到Rt△BCF中β角的对边CF，再根据正弦函数的定义，已知对边CF即可求出斜边BC的长度。
【解析】
(1) 过点B作BE⊥AD，垂足为E。
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=200 m，∠A=α=16°，
∵ $\sinα = \frac{BE}{AB}$，
∴ $BE = AB·\sin16° \approx 200×0.28 = 56\ \mathrm{m}$。
(2) 过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵ $∠ D = ∠ BED = ∠ BFD = 90°$，
∴ 四边形BEDF是矩形，
∴ $DF = BE = 56\ \mathrm{m}$，
∴ $CF = CD - DF = 296 - 56 = 240\ \mathrm{m}$。
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠CBF=β=37°，
∵ $\sinβ = \frac{CF}{BC}$，
∴ $BC = \frac{CF}{\sin37°} \approx \frac{240}{0.60} = 400\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 小明一家步行上升的垂直高度约为56 m；
(2) 缆车的行驶路线BC的长约为400 m。
【知识点】
锐角三角函数应用，矩形的性质，解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合实际登山场景考查解直角三角形的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际场景中的边角关系转化为几何图形中的边角关系，再结合三角函数定义计算即可，解题时要注意题干给出的参考数据的正确选用。
【难度系数】
0.7
(1) 求步行上升的垂直高度，即AB段对应的竖直高度，可过B向AD作垂线构造直角三角形，已知斜边AB的长度和坡角α，根据正弦函数的定义即可求出竖直高度。
(2) 求缆车路线BC的长度，先过B向CD作垂线，可得矩形BEDF，利用矩形性质得到DF等于第一问求出的竖直高度，用总高度CD减去DF得到Rt△BCF中β角的对边CF，再根据正弦函数的定义，已知对边CF即可求出斜边BC的长度。
【解析】
(1) 过点B作BE⊥AD，垂足为E。
在Rt△ABE中，∠AEB=90°，AB=200 m，∠A=α=16°，
∵ $\sinα = \frac{BE}{AB}$，
∴ $BE = AB·\sin16° \approx 200×0.28 = 56\ \mathrm{m}$。
(2) 过点B作BF⊥CD，垂足为F，
∵ $∠ D = ∠ BED = ∠ BFD = 90°$，
∴ 四边形BEDF是矩形，
∴ $DF = BE = 56\ \mathrm{m}$，
∴ $CF = CD - DF = 296 - 56 = 240\ \mathrm{m}$。
在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠CBF=β=37°，
∵ $\sinβ = \frac{CF}{BC}$，
∴ $BC = \frac{CF}{\sin37°} \approx \frac{240}{0.60} = 400\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 小明一家步行上升的垂直高度约为56 m；
(2) 缆车的行驶路线BC的长约为400 m。
【知识点】
锐角三角函数应用，矩形的性质，解直角三角形的实际应用
【点评】
本题结合实际登山场景考查解直角三角形的应用，解题核心是通过作辅助线构造直角三角形和矩形，将实际场景中的边角关系转化为几何图形中的边角关系，再结合三角函数定义计算即可，解题时要注意题干给出的参考数据的正确选用。
【难度系数】
0.7
8. (2025·济南)某水上乐园有两个相邻的水上滑梯,如图15,左边滑梯的长度AB为21 m,倾斜角为$40°$,右边滑梯的高度DF为11 m,倾斜角为$32°$,支架AC,NF都与地面垂直,AN,MD都与地面平行,两支架之间的距离CF为3 m(点B,C,F,E在同一条直线上).
(1)求两滑梯的高度差;
(2)两滑梯的底端分别为B和E,求BE的长.(结果精确到0.01 m.参考数据:$\sin32° \approx 0.530, \cos32° \approx 0.848, \tan32° \approx 0.625, \sin40° \approx 0.643, \cos40° \approx 0.766, \tan40° \approx 0.839$)
(1)求两滑梯的高度差;
(2)两滑梯的底端分别为B和E,求BE的长.(结果精确到0.01 m.参考数据:$\sin32° \approx 0.530, \cos32° \approx 0.848, \tan32° \approx 0.625, \sin40° \approx 0.643, \cos40° \approx 0.766, \tan40° \approx 0.839$)
答案
解：
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=40°$，$AB=21\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC = AB·\sin40° \approx 21×0.643 = 13.503\ \mathrm{m}$，
已知$DF=11\ \mathrm{m}$，
两滑梯的高度差为$AC - DF \approx 13.503 - 11 = 2.503 \approx 2.50\ \mathrm{m}$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，
$BC = AB·\cos40° \approx 21×0.766 = 16.086\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ DFE$中，$∠ DFE=90°$，$∠ E=32°$，$DF=11\ \mathrm{m}$，
$\because \tan32° = \dfrac{DF}{FE}$，
$\therefore FE = \dfrac{DF}{\tan32°} \approx \dfrac{11}{0.625} = 17.6\ \mathrm{m}$，
又$CF=3\ \mathrm{m}$，点$B,C,F,E$在同一直线上，
$\therefore BE = BC + CF + FE \approx 16.086 + 3 + 17.6 = 36.686 \approx 36.69\ \mathrm{m}$。
答：两滑梯的高度差约为$2.50\ \mathrm{m}$，$BE$的长约为$36.69\ \mathrm{m}$。
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=40°$，$AB=21\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC = AB·\sin40° \approx 21×0.643 = 13.503\ \mathrm{m}$，
已知$DF=11\ \mathrm{m}$，
两滑梯的高度差为$AC - DF \approx 13.503 - 11 = 2.503 \approx 2.50\ \mathrm{m}$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，
$BC = AB·\cos40° \approx 21×0.766 = 16.086\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ DFE$中，$∠ DFE=90°$，$∠ E=32°$，$DF=11\ \mathrm{m}$，
$\because \tan32° = \dfrac{DF}{FE}$，
$\therefore FE = \dfrac{DF}{\tan32°} \approx \dfrac{11}{0.625} = 17.6\ \mathrm{m}$，
又$CF=3\ \mathrm{m}$，点$B,C,F,E$在同一直线上，
$\therefore BE = BC + CF + FE \approx 16.086 + 3 + 17.6 = 36.686 \approx 36.69\ \mathrm{m}$。
答：两滑梯的高度差约为$2.50\ \mathrm{m}$，$BE$的长约为$36.69\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
(1) 求两滑梯的高度差，首先需要算出左侧滑梯的高度AC。AC是Rt△ABC的直角边，已知斜边AB长度和锐角∠B=40°，可通过正弦函数求出AC，再减去已知的右侧滑梯高度DF，即可得到高度差，最后按要求保留两位小数。
(2) 求BE的长度，由点的位置关系可知BE=BC+CF+FE，其中CF已知为3m。BC是Rt△ABC中∠B的邻边，可通过余弦函数结合AB的长度求出；FE是Rt△DFE中∠E的邻边，已知对边DF和∠E=32°，可通过正切函数求出FE，最后将三段长度相加，保留两位小数即可得到BE的长。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=40°$，$AB=21\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC = AB·\sin40° \approx 21×0.643 = 13.503\ \mathrm{m}$，
已知$DF=11\ \mathrm{m}$，
两滑梯的高度差为$AC - DF \approx 13.503 - 11 = 2.503 \approx 2.50\ \mathrm{m}$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，
$BC = AB·\cos40° \approx 21×0.766 = 16.086\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ DFE$中，$∠ DFE=90°$，$∠ E=32°$，$DF=11\ \mathrm{m}$，
$\because \tan32° = \dfrac{DF}{FE}$，
$\therefore FE = \dfrac{DF}{\tan32°} \approx \dfrac{11}{0.625} = 17.6\ \mathrm{m}$，
又$CF=3\ \mathrm{m}$，点$B,C,F,E$在同一直线上，
$\therefore BE = BC + CF + FE \approx 16.086 + 3 + 17.6 = 36.686 \approx 36.69\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 两滑梯的高度差约为$\boldsymbol{2.50\ \mathrm{m}}$；
(2) $BE$的长约为$\boldsymbol{36.69\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
1. 解直角三角形的实际应用
2. 锐角三角函数的定义
【点评】
本题是解直角三角形在生活场景中的典型应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，需要熟练掌握各锐角三角函数的定义，计算时要注意题目对结果精确度的要求，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.75
(1) 求两滑梯的高度差，首先需要算出左侧滑梯的高度AC。AC是Rt△ABC的直角边，已知斜边AB长度和锐角∠B=40°，可通过正弦函数求出AC，再减去已知的右侧滑梯高度DF，即可得到高度差，最后按要求保留两位小数。
(2) 求BE的长度，由点的位置关系可知BE=BC+CF+FE，其中CF已知为3m。BC是Rt△ABC中∠B的邻边，可通过余弦函数结合AB的长度求出；FE是Rt△DFE中∠E的邻边，已知对边DF和∠E=32°，可通过正切函数求出FE，最后将三段长度相加，保留两位小数即可得到BE的长。
【解析】
(1) 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ B=40°$，$AB=21\ \mathrm{m}$，
$\therefore AC = AB·\sin40° \approx 21×0.643 = 13.503\ \mathrm{m}$，
已知$DF=11\ \mathrm{m}$，
两滑梯的高度差为$AC - DF \approx 13.503 - 11 = 2.503 \approx 2.50\ \mathrm{m}$。
(2) 在$Rt△ ABC$中，
$BC = AB·\cos40° \approx 21×0.766 = 16.086\ \mathrm{m}$，
在$Rt△ DFE$中，$∠ DFE=90°$，$∠ E=32°$，$DF=11\ \mathrm{m}$，
$\because \tan32° = \dfrac{DF}{FE}$，
$\therefore FE = \dfrac{DF}{\tan32°} \approx \dfrac{11}{0.625} = 17.6\ \mathrm{m}$，
又$CF=3\ \mathrm{m}$，点$B,C,F,E$在同一直线上，
$\therefore BE = BC + CF + FE \approx 16.086 + 3 + 17.6 = 36.686 \approx 36.69\ \mathrm{m}$。
【答案】
(1) 两滑梯的高度差约为$\boldsymbol{2.50\ \mathrm{m}}$；
(2) $BE$的长约为$\boldsymbol{36.69\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
1. 解直角三角形的实际应用
2. 锐角三角函数的定义
【点评】
本题是解直角三角形在生活场景中的典型应用，解题核心是将实际问题转化为直角三角形的边角计算问题，需要熟练掌握各锐角三角函数的定义，计算时要注意题目对结果精确度的要求，整体思路清晰，难度适中。
【难度系数】
0.75
