登录
9. (2025·资阳)如图16,已知水平地面AM上方有一个水平的平台BN,该平台上有一个竖直的建筑物CD.在A处测得建筑物顶端C的仰角为30°,在B处测得C的仰角为60°,斜坡AB的坡度i=1:3,AB=10√10米,CD⊥BD.(点A,B,C,D在同一竖直平面内)
(1)求平台BN的高度;
(2)求建筑物的高度(即CD的长).
(1)求平台BN的高度;
(2)求建筑物的高度(即CD的长).
答案
解：
(1) 过点B作BE⊥AM，垂足为E。
∵ 斜坡AB的坡度i=1:3，
∴ $\frac{BE}{AE}=\frac{1}{3}$，设$BE=x$米，则$AE=3x$米。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
即$(3x)^2 + x^2 = (10\sqrt{10})^2$，
$10x^2=1000$，
解得$x=10$（负值舍去）。
∵ 平台BN垂直于水平地面AM，
∴ $BN=BE=10$米。
(2) 延长CD交AM于点F，
∵ $CD⊥ BD$，平台BN水平，地面AM水平，
∴ $CF⊥ AM$，四边形BEDF为矩形，
∴ $DF=BE=10$米，$BD=EF$。
设$CD=y$米，则$CF=CD+DF=(y+10)$米。
在$Rt△ ACF$中，$∠ CAF=30°$，
$\tan30°=\frac{CF}{AF}$，
∴ $AF=\frac{CF}{\tan30°}=\sqrt{3}(y+10)$米。
由(1)得$AE=3x=30$米，
∴ $EF=AF-AE=\sqrt{3}(y+10)-30$米。
在$Rt△ BCD$中，$∠ CBD=60°$，
$\tan60°=\frac{CD}{BD}$，
∴ $BD=\frac{CD}{\tan60°}=\frac{y}{\sqrt{3}}$米。
∵ $BD=EF$，
∴ $\frac{y}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}(y+10)-30$，
两边同乘$\sqrt{3}$得：$y=3(y+10)-30\sqrt{3}$，
整理得$2y=30\sqrt{3}-30$，
解得$y=15\sqrt{3}-15$。
答：(1)平台BN的高度为10米；(2)建筑物CD的长为$(15\sqrt{3}-15)$米。
(1) 过点B作BE⊥AM，垂足为E。
∵ 斜坡AB的坡度i=1:3，
∴ $\frac{BE}{AE}=\frac{1}{3}$，设$BE=x$米，则$AE=3x$米。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
即$(3x)^2 + x^2 = (10\sqrt{10})^2$，
$10x^2=1000$，
解得$x=10$（负值舍去）。
∵ 平台BN垂直于水平地面AM，
∴ $BN=BE=10$米。
(2) 延长CD交AM于点F，
∵ $CD⊥ BD$，平台BN水平，地面AM水平，
∴ $CF⊥ AM$，四边形BEDF为矩形，
∴ $DF=BE=10$米，$BD=EF$。
设$CD=y$米，则$CF=CD+DF=(y+10)$米。
在$Rt△ ACF$中，$∠ CAF=30°$，
$\tan30°=\frac{CF}{AF}$，
∴ $AF=\frac{CF}{\tan30°}=\sqrt{3}(y+10)$米。
由(1)得$AE=3x=30$米，
∴ $EF=AF-AE=\sqrt{3}(y+10)-30$米。
在$Rt△ BCD$中，$∠ CBD=60°$，
$\tan60°=\frac{CD}{BD}$，
∴ $BD=\frac{CD}{\tan60°}=\frac{y}{\sqrt{3}}$米。
∵ $BD=EF$，
∴ $\frac{y}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}(y+10)-30$，
两边同乘$\sqrt{3}$得：$y=3(y+10)-30\sqrt{3}$，
整理得$2y=30\sqrt{3}-30$，
解得$y=15\sqrt{3}-15$。
答：(1)平台BN的高度为10米；(2)建筑物CD的长为$(15\sqrt{3}-15)$米。
解析
【分析】
（1）求平台BN的高度，平台为水平结构，其高度等于点B到地面AM的竖直距离，因此过点B作BE⊥AM于E，将斜坡AB置于Rt△ABE中求解。已知斜坡AB的坡度i=1:3，即竖直高度BE与水平宽度AE的比为1:3，设BE=x米，AE即可表示为3x米，结合AB的长度，利用勾股定理列方程即可求出x，也就是平台的高度。
（2）求CD的长度，延长CD交AM于点F，可得CF⊥AM，且四边形BEDF为矩形，得到DF=BE、BD=EF的等量关系。设CD=y米，分别在Rt△ACF和Rt△BCD中，利用仰角的正切值表示出AF和BD的长度，再根据AF=AE+EF=AE+BD的等量关系列方程，求解即可得到CD的长度。
【解析】
(1) 过点B作BE⊥AM，垂足为E。
∵ 斜坡AB的坡度i=1:3，
∴ $\frac{BE}{AE}=\frac{1}{3}$，设$BE=x$米，则$AE=3x$米。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
即$(3x)^2 + x^2 = (10\sqrt{10})^2$，
$10x^2=1000$，
解得$x=10$（负值舍去）。
∵ 平台BN垂直于水平地面AM，
∴ $BN=BE=10$米。
(2) 延长CD交AM于点F，
∵ $CD⊥ BD$，平台BN水平，地面AM水平，
∴ $CF⊥ AM$，四边形BEDF为矩形，
∴ $DF=BE=10$米，$BD=EF$。
设$CD=y$米，则$CF=CD+DF=(y+10)$米。
在$Rt△ ACF$中，$∠ CAF=30°$，
$\tan30°=\frac{CF}{AF}$，
∴ $AF=\frac{CF}{\tan30°}=\sqrt{3}(y+10)$米。
由(1)得$AE=3x=30$米，
∴ $EF=AF-AE=\sqrt{3}(y+10)-30$米。
在$Rt△ BCD$中，$∠ CBD=60°$，
$\tan60°=\frac{CD}{BD}$，
∴ $BD=\frac{CD}{\tan60°}=\frac{y}{\sqrt{3}}$米。
∵ $BD=EF$，
∴ $\frac{y}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}(y+10)-30$，
两边同乘$\sqrt{3}$得：$y=3(y+10)-30\sqrt{3}$，
整理得$2y=30\sqrt{3}-30$，
解得$y=15\sqrt{3}-15$。
【答案】
(1) 平台BN的高度为10米；(2) 建筑物CD的长为$(15\sqrt{3}-15)$米。
【知识点】
解直角三角形的应用；坡度坡角问题；仰角俯角问题
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的典型题型，结合了坡度、仰角两个核心考点，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形，找准图形中的等量关系列方程求解，能有效考查学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.65
（1）求平台BN的高度，平台为水平结构，其高度等于点B到地面AM的竖直距离，因此过点B作BE⊥AM于E，将斜坡AB置于Rt△ABE中求解。已知斜坡AB的坡度i=1:3，即竖直高度BE与水平宽度AE的比为1:3，设BE=x米，AE即可表示为3x米，结合AB的长度，利用勾股定理列方程即可求出x，也就是平台的高度。
（2）求CD的长度，延长CD交AM于点F，可得CF⊥AM，且四边形BEDF为矩形，得到DF=BE、BD=EF的等量关系。设CD=y米，分别在Rt△ACF和Rt△BCD中，利用仰角的正切值表示出AF和BD的长度，再根据AF=AE+EF=AE+BD的等量关系列方程，求解即可得到CD的长度。
【解析】
(1) 过点B作BE⊥AM，垂足为E。
∵ 斜坡AB的坡度i=1:3，
∴ $\frac{BE}{AE}=\frac{1}{3}$，设$BE=x$米，则$AE=3x$米。
在$Rt△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
即$(3x)^2 + x^2 = (10\sqrt{10})^2$，
$10x^2=1000$，
解得$x=10$（负值舍去）。
∵ 平台BN垂直于水平地面AM，
∴ $BN=BE=10$米。
(2) 延长CD交AM于点F，
∵ $CD⊥ BD$，平台BN水平，地面AM水平，
∴ $CF⊥ AM$，四边形BEDF为矩形，
∴ $DF=BE=10$米，$BD=EF$。
设$CD=y$米，则$CF=CD+DF=(y+10)$米。
在$Rt△ ACF$中，$∠ CAF=30°$，
$\tan30°=\frac{CF}{AF}$，
∴ $AF=\frac{CF}{\tan30°}=\sqrt{3}(y+10)$米。
由(1)得$AE=3x=30$米，
∴ $EF=AF-AE=\sqrt{3}(y+10)-30$米。
在$Rt△ BCD$中，$∠ CBD=60°$，
$\tan60°=\frac{CD}{BD}$，
∴ $BD=\frac{CD}{\tan60°}=\frac{y}{\sqrt{3}}$米。
∵ $BD=EF$，
∴ $\frac{y}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}(y+10)-30$，
两边同乘$\sqrt{3}$得：$y=3(y+10)-30\sqrt{3}$，
整理得$2y=30\sqrt{3}-30$，
解得$y=15\sqrt{3}-15$。
【答案】
(1) 平台BN的高度为10米；(2) 建筑物CD的长为$(15\sqrt{3}-15)$米。
【知识点】
解直角三角形的应用；坡度坡角问题；仰角俯角问题
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的典型题型，结合了坡度、仰角两个核心考点，解题关键是合理作辅助线构造直角三角形，找准图形中的等量关系列方程求解，能有效考查学生将实际问题转化为几何问题的能力。
【难度系数】
0.65
10. (2025·大庆)数学综合与实践活动中,两个兴趣小组要合作测量楼房高度BC. 如图17,第一小组用无人机在离地面40米高的点D处,测得地面上一点A的俯角为$45°$,测得楼顶C处的俯角为$30°$(点A,B,C,D都在同一平面内,无人机在点A和楼房之间的点D处测量);第二小组人工测量得到点A和大楼之间的水平距离AB=70米. 请根据提供的数据,求出楼房高度.(结果精确到1米.参考数据:$\sqrt{3}\approx1.73$)
答案
解：
过点D作$DE ⊥ AB$于点E，过点D作$DF ⊥ BC$，交BC于点F。
由题意得，$DE=40$米，$AB=70$米，水平线$l // AB$，
由俯角定义得$∠ DAE=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ AED=90°$，$∠ DAE=45°$，
$\therefore AE=DE=40$米，
$\therefore EB=AB-AE=70-40=30$米。
$\because ∠ DEB=∠ B=∠ DFB=90°$，
$\therefore$ 四边形$DEBF$是矩形，
$\therefore DF=EB=30$米，$BF=DE=40$米。
由$l // DF$得$∠ CDF=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$∠ DFC=90°$，
$\tan∠ CDF=\frac{CF}{DF}$，
$\therefore CF=DF · \tan30°=30 × \frac{\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}\approx17.3$米，
$\therefore BC=BF-CF\approx40-17.3=22.7\approx23$米。
答：楼房高度约为23米。
过点D作$DE ⊥ AB$于点E，过点D作$DF ⊥ BC$，交BC于点F。
由题意得，$DE=40$米，$AB=70$米，水平线$l // AB$，
由俯角定义得$∠ DAE=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ AED=90°$，$∠ DAE=45°$，
$\therefore AE=DE=40$米，
$\therefore EB=AB-AE=70-40=30$米。
$\because ∠ DEB=∠ B=∠ DFB=90°$，
$\therefore$ 四边形$DEBF$是矩形，
$\therefore DF=EB=30$米，$BF=DE=40$米。
由$l // DF$得$∠ CDF=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$∠ DFC=90°$，
$\tan∠ CDF=\frac{CF}{DF}$，
$\therefore CF=DF · \tan30°=30 × \frac{\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}\approx17.3$米，
$\therefore BC=BF-CF\approx40-17.3=22.7\approx23$米。
答：楼房高度约为23米。
解析
【分析】
本题是解直角三角形在实际测量中的应用，解题思路如下：首先遇到俯角类问题，通常通过作垂线构造直角三角形和矩形，将已知的高度、水平距离、角度条件转化到几何图形中：①先过D作DE⊥AB、DF⊥BC，得到两个直角三角形和矩形DEBF；②先在Rt△ADE中利用45°俯角的条件，得到等腰直角三角形，求出AE的长度，进而算出EB的长度，也就是矩形的边DF的长度；③再在Rt△CDF中利用30°俯角和正切三角函数求出CF的长度；④最后利用BF（等于DE的高度）减去CF即可得到楼房BC的高度。
【解析】
过点D作$DE ⊥ AB$于点E，过点D作$DF ⊥ BC$，交BC于点F。
由题意得，$DE=40$米，$AB=70$米，水平线$l // AB$，
由俯角定义得$∠ DAE=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ AED=90°$，$∠ DAE=45°$，
$\therefore AE=DE=40$米，
$\therefore EB=AB-AE=70-40=30$米。
$\because ∠ DEB=∠ B=∠ DFB=90°$，
$\therefore$ 四边形$DEBF$是矩形，
$\therefore DF=EB=30$米，$BF=DE=40$米。
由$l // DF$得$∠ CDF=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$∠ DFC=90°$，
$\tan∠ CDF=\frac{CF}{DF}$，
$\therefore CF=DF · \tan30°=30 × \frac{\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}\approx17.3$米，
$\therefore BC=BF-CF\approx40-17.3=22.7\approx23$米。
答：楼房高度约为23米。
【答案】
约23米
【知识点】
俯角的应用，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的常规题型，结合了俯角的概念、矩形的性质和特殊角的三角函数计算，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际测量问题转化为平面几何计算问题，能很好地考察学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
本题是解直角三角形在实际测量中的应用，解题思路如下：首先遇到俯角类问题，通常通过作垂线构造直角三角形和矩形，将已知的高度、水平距离、角度条件转化到几何图形中：①先过D作DE⊥AB、DF⊥BC，得到两个直角三角形和矩形DEBF；②先在Rt△ADE中利用45°俯角的条件，得到等腰直角三角形，求出AE的长度，进而算出EB的长度，也就是矩形的边DF的长度；③再在Rt△CDF中利用30°俯角和正切三角函数求出CF的长度；④最后利用BF（等于DE的高度）减去CF即可得到楼房BC的高度。
【解析】
过点D作$DE ⊥ AB$于点E，过点D作$DF ⊥ BC$，交BC于点F。
由题意得，$DE=40$米，$AB=70$米，水平线$l // AB$，
由俯角定义得$∠ DAE=45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中，$∠ AED=90°$，$∠ DAE=45°$，
$\therefore AE=DE=40$米，
$\therefore EB=AB-AE=70-40=30$米。
$\because ∠ DEB=∠ B=∠ DFB=90°$，
$\therefore$ 四边形$DEBF$是矩形，
$\therefore DF=EB=30$米，$BF=DE=40$米。
由$l // DF$得$∠ CDF=30°$，
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，$∠ DFC=90°$，
$\tan∠ CDF=\frac{CF}{DF}$，
$\therefore CF=DF · \tan30°=30 × \frac{\sqrt{3}}{3}=10\sqrt{3}\approx17.3$米，
$\therefore BC=BF-CF\approx40-17.3=22.7\approx23$米。
答：楼房高度约为23米。
【答案】
约23米
【知识点】
俯角的应用，矩形的性质，锐角三角函数
【点评】
本题是解直角三角形实际应用的常规题型，结合了俯角的概念、矩形的性质和特殊角的三角函数计算，解题的核心是通过作辅助线构造直角三角形，将实际测量问题转化为平面几何计算问题，能很好地考察学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.7
