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为12 cm, BC为26 cm, DE为30 cm, ∠BCD=154°, ∠CDE=63°.
(1)填空:∠1=°,∠2=°;
(2)已知点E到AF的距离EM为50 cm时,该设备使用效果最佳,求此时伸缩杆CD的长度.(参考数据:sin26°=0.44,cos26°=0.90,sin37°=0.60,cos37°=0.80)
(1)填空:∠1=°,∠2=°;
(2)已知点E到AF的距离EM为50 cm时,该设备使用效果最佳,求此时伸缩杆CD的长度.(参考数据:sin26°=0.44,cos26°=0.90,sin37°=0.60,cos37°=0.80)
答案
解：
(1) $∠ 1=\boldsymbol{64}°$, $∠ 2=\boldsymbol{53}°$;
(2) 过点$C$作$CG ⊥$直线$l$于点$G$，过点$E$作$EH ⊥$直线$l$于点$H$。
由题意知$AB ⊥ AF$，$l // AF$，故$l$为水平线，$AB ⊥ l$，又$BC ⊥ AB$，因此$BC$为竖直线段，四边形$ABGM$为矩形，可得点$C$到$AF$的竖直距离为$AB+BC=12+26=38\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ CGD$中，$∠ 1=64°$：
$CG = CD · \sin64° = CD · \cos26° \approx 0.90CD$
在$\mathrm{Rt}△ DHE$中，$∠ 2=53°$：
$EH = DE · \sin53° = DE · \cos37° \approx 30 × 0.80 = 24\ \mathrm{cm}$
点$E$到$AF$的距离$EM$满足：
$EM = 38 + CG - EH = 50$
代入得：
$38 + 0.90CD - 24 = 50$
解得$CD=40\ \mathrm{cm}$。
答：此时伸缩杆$CD$的长度为$40\ \mathrm{cm}$。
(1) $∠ 1=\boldsymbol{64}°$, $∠ 2=\boldsymbol{53}°$;
(2) 过点$C$作$CG ⊥$直线$l$于点$G$，过点$E$作$EH ⊥$直线$l$于点$H$。
由题意知$AB ⊥ AF$，$l // AF$，故$l$为水平线，$AB ⊥ l$，又$BC ⊥ AB$，因此$BC$为竖直线段，四边形$ABGM$为矩形，可得点$C$到$AF$的竖直距离为$AB+BC=12+26=38\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ CGD$中，$∠ 1=64°$：
$CG = CD · \sin64° = CD · \cos26° \approx 0.90CD$
在$\mathrm{Rt}△ DHE$中，$∠ 2=53°$：
$EH = DE · \sin53° = DE · \cos37° \approx 30 × 0.80 = 24\ \mathrm{cm}$
点$E$到$AF$的距离$EM$满足：
$EM = 38 + CG - EH = 50$
代入得：
$38 + 0.90CD - 24 = 50$
解得$CD=40\ \mathrm{cm}$。
答：此时伸缩杆$CD$的长度为$40\ \mathrm{cm}$。
解析
【分析】
(1) 求∠1和∠2时，先由题意判断BC为竖直线段、l为水平直线，BC与l夹角为90°，结合∠BCD的度数即可算出∠1；再根据平角为180°，用180°减去∠1和∠CDE的度数即可得到∠2。
(2) 求CD长度时，首先将点E到AF的竖直距离拆分为AB+BC的总高度、CD向上的竖直分量、DE向下的竖直分量三部分，通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数分别表示两个竖直分量，再根据EM的总高度列方程求解即可。
【解析】
(1) 因为AB⊥AF，$l // AF$，BC⊥AB，所以BC为竖直线段，$l$为水平直线，BC与$l$的夹角为90°，因此$∠ 1 = ∠ BCD - 90° = 154° - 90° = 64°$；
又因为$l$为直线，平角为180°，所以$∠ 1 + ∠ CDE + ∠ 2 = 180°$，代入$∠ 1=64°$，$∠ CDE=63°$，得$∠ 2 = 180° - 64° - 63° = 53°$。
(2) 过点$C$作$CG ⊥$直线$l$于点$G$，过点$E$作$EH ⊥$直线$l$于点$H$。
由题意得$AB ⊥ AF$，$l // AF$，故$l$为水平线，$AB ⊥ l$，又$BC ⊥ AB$，因此$BC$为竖直线段，四边形$ABGM$为矩形，点$C$到$AF$的竖直高度为$AB + BC = 12 + 26 = 38\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ CGD$中，$∠ 1=64°$，所以$CG = CD · \sin64° = CD · \cos26° \approx 0.90CD$；
在$\mathrm{Rt}△ DHE$中，$∠ 2=53°$，所以$EH = DE · \sin53° = DE · \cos37° \approx 30 × 0.80 = 24\ \mathrm{cm}$；
点$E$到$AF$的距离$EM$满足：$EM = 38 + CG - EH = 50$，
代入得：$38 + 0.90CD - 24 = 50$，
解得$CD=40\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{64}$，$\boldsymbol{53}$；
(2) 此时伸缩杆$CD$的长度为$\boldsymbol{40\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
平行线的性质，解直角三角形的应用，矩形的性质
【点评】
本题结合生活中的台灯场景命题，将实际问题转化为解直角三角形的数学模型，解题核心是正确构造直角三角形，理清各段竖直高度的数量关系，能够较好考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
(1) 求∠1和∠2时，先由题意判断BC为竖直线段、l为水平直线，BC与l夹角为90°，结合∠BCD的度数即可算出∠1；再根据平角为180°，用180°减去∠1和∠CDE的度数即可得到∠2。
(2) 求CD长度时，首先将点E到AF的竖直距离拆分为AB+BC的总高度、CD向上的竖直分量、DE向下的竖直分量三部分，通过作垂线构造直角三角形，利用三角函数分别表示两个竖直分量，再根据EM的总高度列方程求解即可。
【解析】
(1) 因为AB⊥AF，$l // AF$，BC⊥AB，所以BC为竖直线段，$l$为水平直线，BC与$l$的夹角为90°，因此$∠ 1 = ∠ BCD - 90° = 154° - 90° = 64°$；
又因为$l$为直线，平角为180°，所以$∠ 1 + ∠ CDE + ∠ 2 = 180°$，代入$∠ 1=64°$，$∠ CDE=63°$，得$∠ 2 = 180° - 64° - 63° = 53°$。
(2) 过点$C$作$CG ⊥$直线$l$于点$G$，过点$E$作$EH ⊥$直线$l$于点$H$。
由题意得$AB ⊥ AF$，$l // AF$，故$l$为水平线，$AB ⊥ l$，又$BC ⊥ AB$，因此$BC$为竖直线段，四边形$ABGM$为矩形，点$C$到$AF$的竖直高度为$AB + BC = 12 + 26 = 38\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ CGD$中，$∠ 1=64°$，所以$CG = CD · \sin64° = CD · \cos26° \approx 0.90CD$；
在$\mathrm{Rt}△ DHE$中，$∠ 2=53°$，所以$EH = DE · \sin53° = DE · \cos37° \approx 30 × 0.80 = 24\ \mathrm{cm}$；
点$E$到$AF$的距离$EM$满足：$EM = 38 + CG - EH = 50$，
代入得：$38 + 0.90CD - 24 = 50$，
解得$CD=40\ \mathrm{cm}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{64}$，$\boldsymbol{53}$；
(2) 此时伸缩杆$CD$的长度为$\boldsymbol{40\ \mathrm{cm}}$。
【知识点】
平行线的性质，解直角三角形的应用，矩形的性质
【点评】
本题结合生活中的台灯场景命题，将实际问题转化为解直角三角形的数学模型，解题核心是正确构造直角三角形，理清各段竖直高度的数量关系，能够较好考查学生的数学建模能力和运算能力。
【难度系数】
0.65
12. (2025·长沙)如图19,某景区内两条互相垂直的道路a,b交于点M,景点A,B在道路a上,景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质,景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测量知景点C位于景点B的北偏东60°方向上,位于景点A的北偏东30°方向上;景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB=800 m.
(1)求∠ACB的度数;
(2)求景点C与景点D之间的距离.(结果保留根号)
(1)求∠ACB的度数;
(2)求景点C与景点D之间的距离.(结果保留根号)
答案
解：
(1) 由题意，点B、A处的正北方向均垂直于道路a，
∴ ∠CBM = 90° - 60° = 30°，∠CAM = 90° - 30° = 60°，
∵ ∠CAM是△ABC的外角，
∴ ∠CAM = ∠ACB + ∠CBM，
∴ ∠ACB = ∠CAM - ∠CBM = 60° - 30° = 30°。
(2) ∵ ∠ACB = ∠CBM = 30°，
∴ AC = AB = 800 m，
在Rt△ACM中，∠AMC = 90°，∠CAM = 60°，
∴ AM = AC·cos60° = 800 × 1/2 = 400 m，
CM = AC·sin60° = 800 × (√3/2) = 400√3 m，
∴ BM = AB + AM = 800 + 400 = 1200 m，
在Rt△BDM中，∠BMD = 90°，∠BDM = 45°，
∴ △BDM为等腰直角三角形，DM = BM = 1200 m，
∴ CD = DM - CM = (1200 - 400√3) m。
答：(1) ∠ACB的度数为30°；(2) 景点C与景点D之间的距离为(1200 - 400√3) m。
(1) 由题意，点B、A处的正北方向均垂直于道路a，
∴ ∠CBM = 90° - 60° = 30°，∠CAM = 90° - 30° = 60°，
∵ ∠CAM是△ABC的外角，
∴ ∠CAM = ∠ACB + ∠CBM，
∴ ∠ACB = ∠CAM - ∠CBM = 60° - 30° = 30°。
(2) ∵ ∠ACB = ∠CBM = 30°，
∴ AC = AB = 800 m，
在Rt△ACM中，∠AMC = 90°，∠CAM = 60°，
∴ AM = AC·cos60° = 800 × 1/2 = 400 m，
CM = AC·sin60° = 800 × (√3/2) = 400√3 m，
∴ BM = AB + AM = 800 + 400 = 1200 m，
在Rt△BDM中，∠BMD = 90°，∠BDM = 45°，
∴ △BDM为等腰直角三角形，DM = BM = 1200 m，
∴ CD = DM - CM = (1200 - 400√3) m。
答：(1) ∠ACB的度数为30°；(2) 景点C与景点D之间的距离为(1200 - 400√3) m。
解析
【分析】
(1) 求解∠ACB时，首先结合方向角的定义与正北方向垂直于水平道路a的特点，先算出∠CBM和∠CAM的度数，再利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，就可以推出∠ACB的度数。
(2) 求解CD的距离时，先根据(1)得到的角度关系，利用等角对等边得到AC=AB，再在Rt△ACM中用锐角三角函数求出AM、CM的长度，进而算出BM的长度；再结合∠BDM=45°判断Rt△BDM为等腰直角三角形，得到DM=BM，最后用DM减去CM即可得到CD的长度。
【解析】
(1) 由题意，点B、A处的正北方向均垂直于道路a，
∴ ∠CBM = 90° - 60° = 30°，∠CAM = 90° - 30° = 60°，
∵ ∠CAM是△ABC的外角，
∴ ∠CAM = ∠ACB + ∠CBM，
∴ ∠ACB = ∠CAM - ∠CBM = 60° - 30° = 30°。
(2)
∵ ∠ACB = ∠CBM = 30°，
∴ AC = AB = 800 m，
在Rt△ACM中，∠AMC = 90°，∠CAM = 60°，
∴ AM = AC·cos60° = 800 × 1/2 = 400 m，
CM = AC·sin60° = 800 × (√3/2) = 400√3 m，
∴ BM = AB + AM = 800 + 400 = 1200 m，
在Rt△BDM中，∠BMD = 90°，∠BDM = 45°，
∴ △BDM为等腰直角三角形，DM = BM = 1200 m，
∴ CD = DM - CM = (1200 - 400√3) m。
【答案】
(1) ∠ACB的度数为30°；
(2) 景点C与景点D之间的距离为(1200 - 400√3) m。
【知识点】
方向角的应用；三角形外角性质；解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类常考题，需要将实际场景中的方向信息转化为几何角度，再结合三角形性质、锐角三角函数逐步求解，重点考查学生将实际问题抽象为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 求解∠ACB时，首先结合方向角的定义与正北方向垂直于水平道路a的特点，先算出∠CBM和∠CAM的度数，再利用三角形外角的性质，即三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，就可以推出∠ACB的度数。
(2) 求解CD的距离时，先根据(1)得到的角度关系，利用等角对等边得到AC=AB，再在Rt△ACM中用锐角三角函数求出AM、CM的长度，进而算出BM的长度；再结合∠BDM=45°判断Rt△BDM为等腰直角三角形，得到DM=BM，最后用DM减去CM即可得到CD的长度。
【解析】
(1) 由题意，点B、A处的正北方向均垂直于道路a，
∴ ∠CBM = 90° - 60° = 30°，∠CAM = 90° - 30° = 60°，
∵ ∠CAM是△ABC的外角，
∴ ∠CAM = ∠ACB + ∠CBM，
∴ ∠ACB = ∠CAM - ∠CBM = 60° - 30° = 30°。
(2)
∵ ∠ACB = ∠CBM = 30°，
∴ AC = AB = 800 m，
在Rt△ACM中，∠AMC = 90°，∠CAM = 60°，
∴ AM = AC·cos60° = 800 × 1/2 = 400 m，
CM = AC·sin60° = 800 × (√3/2) = 400√3 m，
∴ BM = AB + AM = 800 + 400 = 1200 m，
在Rt△BDM中，∠BMD = 90°，∠BDM = 45°，
∴ △BDM为等腰直角三角形，DM = BM = 1200 m，
∴ CD = DM - CM = (1200 - 400√3) m。
【答案】
(1) ∠ACB的度数为30°；
(2) 景点C与景点D之间的距离为(1200 - 400√3) m。
【知识点】
方向角的应用；三角形外角性质；解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的实际应用类常考题，需要将实际场景中的方向信息转化为几何角度，再结合三角形性质、锐角三角函数逐步求解，重点考查学生将实际问题抽象为几何模型的能力。
【难度系数】
0.7
