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1. (2025·镇江)如图8,小丽从点A出发,沿坡度为10°的坡道向上走了120米到达点B,则她沿垂直方向升高了 ()
A.$\dfrac{120}{\tan10°}$米
B.$\dfrac{120}{\sin10°}$米
C.$120\tan10°$米
D.$120\sin10°$米
A.$\dfrac{120}{\tan10°}$米
B.$\dfrac{120}{\sin10°}$米
C.$120\tan10°$米
D.$120\sin10°$米
答案
D
解析
【分析】首先将实际场景转化为直角三角形数学模型：过点B向点A所在的水平线作垂线，得到直角三角形，其中坡道AB为直角三角形的斜边，长度为120m，坡角∠A=10°，垂直升高的高度是∠A的对边。接下来回忆锐角三角函数的定义，正弦函数对应“对边/斜边”，已知斜边和角度，即可通过正弦函数求出对边也就是升高的高度。
【解析】过点B作点A所在水平线的垂线，垂足为C，则△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠A=10°，斜边AB=120米，要求的垂直升高高度为BC的长。
根据锐角三角函数中正弦的定义：$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$
变形可得：$BC = AB · \sin A = 120\sin10°$ 米
因此答案选D。
【答案】D
【知识点】1. 锐角三角函数定义 2. 解直角三角形的实际应用
【点评】本题考查解直角三角形在实际坡度问题中的应用，解题关键是明确坡角的含义，准确区分各锐角三角函数对应的边的比例关系，避免混淆正弦和正切的适用场景。
【难度系数】0.8
【解析】过点B作点A所在水平线的垂线，垂足为C，则△ABC为直角三角形，∠C=90°，∠A=10°，斜边AB=120米，要求的垂直升高高度为BC的长。
根据锐角三角函数中正弦的定义：$\sin A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{斜边}} = \frac{BC}{AB}$
变形可得：$BC = AB · \sin A = 120\sin10°$ 米
因此答案选D。
【答案】D
【知识点】1. 锐角三角函数定义 2. 解直角三角形的实际应用
【点评】本题考查解直角三角形在实际坡度问题中的应用，解题关键是明确坡角的含义，准确区分各锐角三角函数对应的边的比例关系，避免混淆正弦和正切的适用场景。
【难度系数】0.8
2. 如图9,已知点B,D,C在同一直线的水平地面上,在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为α,在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为β.若CD=a,则建筑物AB的高度为 ()
A.$\dfrac{a}{\tanα - \tanβ}$
B.$\dfrac{a}{\tanβ - \tanα}$
C.$\dfrac{a\tanα\tanβ}{\tanα - \tanβ}$
D.$\dfrac{a\tanα\tanβ}{\tanβ - \tanα}$
A.$\dfrac{a}{\tanα - \tanβ}$
B.$\dfrac{a}{\tanβ - \tanα}$
C.$\dfrac{a\tanα\tanβ}{\tanα - \tanβ}$
D.$\dfrac{a\tanα\tanβ}{\tanβ - \tanα}$
答案
D
解析
【分析】
这是解直角三角形中仰角应用的典型题，解题思路如下：首先明确两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ABD共享公共直角边AB，我们可以设AB的高度为未知数，利用仰角的正切值分别表示出两个水平边BC、BD的长度；再根据点B、D、C共线，可得BC与BD的差等于CD的长度，以此建立方程，最后整理方程就能求出AB的高度。
【解析】
设建筑物AB的高度为$ h $。
1. 在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ ∠ ABC=90° $，$ ∠ ACB=α $，根据正切的定义：
$ \tanα = \frac{AB}{BC} $，变形得$ BC = \frac{AB}{\tanα} = \frac{h}{\tanα} $。
2. 在$ \mathrm{Rt}△ ABD $中，$ ∠ ABD=90° $，$ ∠ ADB=β $，根据正切的定义：
$ \tanβ = \frac{AB}{BD} $，变形得$ BD = \frac{AB}{\tanβ} = \frac{h}{\tanβ} $。
3. 因为点B、D、C在同一直线上，所以$ BC - BD = CD = a $，将BC、BD代入得：
$ \frac{h}{\tanα} - \frac{h}{\tanβ} = a $
左边通分化简：
$ h·\frac{\tanβ - \tanα}{\tanα\tanβ} = a $
解得：
$ h = \frac{a\tanα\tanβ}{\tanβ - \tanα} $
【答案】
D
【知识点】
仰角的定义，解直角三角形的应用，锐角正切函数
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，解题核心是抓住公共直角边作为桥梁，结合线段和差关系建立等式，需要熟练掌握正切函数的变形和分式化简，是解直角三角形类的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
这是解直角三角形中仰角应用的典型题，解题思路如下：首先明确两个直角三角形Rt△ABC和Rt△ABD共享公共直角边AB，我们可以设AB的高度为未知数，利用仰角的正切值分别表示出两个水平边BC、BD的长度；再根据点B、D、C共线，可得BC与BD的差等于CD的长度，以此建立方程，最后整理方程就能求出AB的高度。
【解析】
设建筑物AB的高度为$ h $。
1. 在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，$ ∠ ABC=90° $，$ ∠ ACB=α $，根据正切的定义：
$ \tanα = \frac{AB}{BC} $，变形得$ BC = \frac{AB}{\tanα} = \frac{h}{\tanα} $。
2. 在$ \mathrm{Rt}△ ABD $中，$ ∠ ABD=90° $，$ ∠ ADB=β $，根据正切的定义：
$ \tanβ = \frac{AB}{BD} $，变形得$ BD = \frac{AB}{\tanβ} = \frac{h}{\tanβ} $。
3. 因为点B、D、C在同一直线上，所以$ BC - BD = CD = a $，将BC、BD代入得：
$ \frac{h}{\tanα} - \frac{h}{\tanβ} = a $
左边通分化简：
$ h·\frac{\tanβ - \tanα}{\tanα\tanβ} = a $
解得：
$ h = \frac{a\tanα\tanβ}{\tanβ - \tanα} $
【答案】
D
【知识点】
仰角的定义，解直角三角形的应用，锐角正切函数
【点评】
本题考查解直角三角形的实际应用，解题核心是抓住公共直角边作为桥梁，结合线段和差关系建立等式，需要熟练掌握正切函数的变形和分式化简，是解直角三角形类的常考基础题型。
【难度系数】
0.7
3. (2025·绥化)如图10，某水库堤坝横断面迎水坡AB的斜面坡度$i=1:\sqrt{2}$（斜面坡度是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比），堤坝高$BC=15\ \mathrm{m}$，则迎水坡面AB的长度是。
答案
解：
由题意可知，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
坡度$i=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，
$\because BC=15\ \mathrm{m}$，
$\therefore \dfrac{15}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，解得$AC=15\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(15\sqrt{2})^2+15^2}=\sqrt{450+225}=\sqrt{675}=15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
答：迎水坡面$AB$的长度是$15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
由题意可知，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
坡度$i=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，
$\because BC=15\ \mathrm{m}$，
$\therefore \dfrac{15}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，解得$AC=15\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(15\sqrt{2})^2+15^2}=\sqrt{450+225}=\sqrt{675}=15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
答：迎水坡面$AB$的长度是$15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
解析
【分析】
这道题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题思路如下：首先明确坡度的定义，坡度是坡面铅直高度与水平宽度的比值，对应Rt△ABC中BC与AC的比；已知BC的长度，可先通过坡度的比例关系求出水平宽度AC的长度；最后在直角三角形中利用勾股定理即可求出斜边AB的长度，也就是迎水坡面的长度。
【解析】
由题意可知，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
坡度$i=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，
$\because BC=15\ \mathrm{m}$，
$\therefore \dfrac{15}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，解得$AC=15\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(15\sqrt{2})^2+15^2}=\sqrt{450+225}=\sqrt{675}=15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
坡度的概念，勾股定理，解直角三角形的应用
【点评】
本题是坡度应用的基础题型，核心考查对坡度定义的掌握及勾股定理的运用，熟练掌握坡度的概念是解题的突破口，整体解题思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.8
这道题属于解直角三角形的实际应用类题目，解题思路如下：首先明确坡度的定义，坡度是坡面铅直高度与水平宽度的比值，对应Rt△ABC中BC与AC的比；已知BC的长度，可先通过坡度的比例关系求出水平宽度AC的长度；最后在直角三角形中利用勾股定理即可求出斜边AB的长度，也就是迎水坡面的长度。
【解析】
由题意可知，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，
坡度$i=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，
$\because BC=15\ \mathrm{m}$，
$\therefore \dfrac{15}{AC}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$，解得$AC=15\sqrt{2}\ \mathrm{m}$。
由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(15\sqrt{2})^2+15^2}=\sqrt{450+225}=\sqrt{675}=15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$。
【答案】
$15\sqrt{3}\ \mathrm{m}$
【知识点】
坡度的概念，勾股定理，解直角三角形的应用
【点评】
本题是坡度应用的基础题型，核心考查对坡度定义的掌握及勾股定理的运用，熟练掌握坡度的概念是解题的突破口，整体解题思路清晰，计算量较小。
【难度系数】
0.8
4. (2025·上海)如图11,某公司安装了一个人脸打卡器,AB是高2.7 m的门框.某人CD高1.8 m,只有当$∠ CAB=53°$时,他才能开门,那么BD长为. (参考数据:$\sin53°\approx0.8$,$\cos53°\approx0.6$,$\tan53°\approx1.33$,结果保留1位小数)
答案
解：
过点C作CE⊥AB于点E，
由题意可知：AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形BDCE是矩形，
∴BD=CE，BE=CD=1.8 m，
∴AE = AB - BE = 2.7 - 1.8 = 0.9 m，
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠CAE=53°，
$\tan∠ CAE=\frac{CE}{AE}$，
∴$CE = AE · \tan53° \approx 0.9 × 1.33 \approx 1.2\ \mathrm{m}$，
∴$BD = CE \approx 1.2\ \mathrm{m}$。
答：BD长约为1.2 m。
过点C作CE⊥AB于点E，
由题意可知：AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形BDCE是矩形，
∴BD=CE，BE=CD=1.8 m，
∴AE = AB - BE = 2.7 - 1.8 = 0.9 m，
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠CAE=53°，
$\tan∠ CAE=\frac{CE}{AE}$，
∴$CE = AE · \tan53° \approx 0.9 × 1.33 \approx 1.2\ \mathrm{m}$，
∴$BD = CE \approx 1.2\ \mathrm{m}$。
答：BD长约为1.2 m。
解析
【分析】
这是解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造矩形和直角三角形，过点C作CE⊥AB于点E，由题意可判定四边形BDCE是矩形，根据矩形对边相等的性质，可得BD=CE、BE=CD，先计算出AE的长度，再在Rt△ACE中利用∠CAE的正切值求出CE的长度，即可得到BD的长度。
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，
由题意可知：AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形BDCE是矩形，
∴BD=CE，BE=CD=1.8 m，
∴AE = AB - BE = 2.7 - 1.8 = 0.9 m，
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠CAE=53°，
$\tan∠ CAE=\frac{CE}{AE}$，
∴$CE = AE · \tan53° \approx 0.9 × 1.33 \approx 1.2\ \mathrm{m}$，
∴$BD = CE \approx 1.2\ \mathrm{m}$。
【答案】
1.2 m
【知识点】
矩形的性质；解直角三角形的应用；锐角三角函数的应用
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的相关知识，解题核心是合理添加辅助线，将实际问题转化为几何计算问题，再结合锐角三角函数的定义求解，是这类题型的常规考法。
【难度系数】
0.7
这是解直角三角形的实际应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造矩形和直角三角形，过点C作CE⊥AB于点E，由题意可判定四边形BDCE是矩形，根据矩形对边相等的性质，可得BD=CE、BE=CD，先计算出AE的长度，再在Rt△ACE中利用∠CAE的正切值求出CE的长度，即可得到BD的长度。
【解析】
过点C作CE⊥AB于点E，
由题意可知：AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形BDCE是矩形，
∴BD=CE，BE=CD=1.8 m，
∴AE = AB - BE = 2.7 - 1.8 = 0.9 m，
在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠CAE=53°，
$\tan∠ CAE=\frac{CE}{AE}$，
∴$CE = AE · \tan53° \approx 0.9 × 1.33 \approx 1.2\ \mathrm{m}$，
∴$BD = CE \approx 1.2\ \mathrm{m}$。
【答案】
1.2 m
【知识点】
矩形的性质；解直角三角形的应用；锐角三角函数的应用
【点评】
本题结合生活实际考查解直角三角形的相关知识，解题核心是合理添加辅助线，将实际问题转化为几何计算问题，再结合锐角三角函数的定义求解，是这类题型的常规考法。
【难度系数】
0.7
5. (2025·武汉)某科技小组用无人机测量一池塘水面两端A,B的距离,具体过程如下:如图12,将无人机垂直上升至距水面120 m的P处,测得A处的俯角为45°,B处的俯角为22°,则A,B之间的距离是 m. (tan22°取0.4)
答案
解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，由题意可知PC=120m。
在Rt△PAC中，测得A处的俯角为45°，
∴ AC = PC = 120 m。
在Rt△PBC中，测得B处的俯角为22°，
$\tan22°=\dfrac{PC}{BC}$，
$\therefore BC=\dfrac{PC}{\tan22°}=\dfrac{120}{0.4}=300\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=BC-AC=300-120=180\ \mathrm{m}$。
答：A,B之间的距离是180 m。
在Rt△PAC中，测得A处的俯角为45°，
∴ AC = PC = 120 m。
在Rt△PBC中，测得B处的俯角为22°，
$\tan22°=\dfrac{PC}{BC}$，
$\therefore BC=\dfrac{PC}{\tan22°}=\dfrac{120}{0.4}=300\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=BC-AC=300-120=180\ \mathrm{m}$。
答：A,B之间的距离是180 m。
解析
【分析】
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形，过点P作PC⊥AB于点C，即可得到PC=120m（无人机到水面的垂直高度）；其次利用俯角的性质得到两个直角三角形的内角度数，先在含45°角的Rt△PAC中求出AC的长度，再在含22°角的Rt△PBC中利用正切三角函数求出BC的长度；最后用BC减去AC即可得到A、B之间的距离。
【解析】
过点P作PC⊥AB，垂足为C，由题意可知PC=120m。
在Rt△PAC中，测得A处的俯角为45°，
∴ △PAC为等腰直角三角形，AC = PC = 120 m。
在Rt△PBC中，测得B处的俯角为22°，
$\tan22°=\dfrac{PC}{BC}$，
$\therefore BC=\dfrac{PC}{\tan22°}=\dfrac{120}{0.4}=300\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=BC-AC=300-120=180\ \mathrm{m}$。
【答案】
180
【知识点】
俯角的概念；解直角三角形；锐角三角函数（正切）
【点评】
本题是实际测量中应用解直角三角形的典型题目，解题关键是准确理解俯角的含义，将实际条件转化为直角三角形的边角关系，选择合适的三角函数求解线段长度，整体难度较低，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题属于解直角三角形的实际应用类问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造直角三角形，过点P作PC⊥AB于点C，即可得到PC=120m（无人机到水面的垂直高度）；其次利用俯角的性质得到两个直角三角形的内角度数，先在含45°角的Rt△PAC中求出AC的长度，再在含22°角的Rt△PBC中利用正切三角函数求出BC的长度；最后用BC减去AC即可得到A、B之间的距离。
【解析】
过点P作PC⊥AB，垂足为C，由题意可知PC=120m。
在Rt△PAC中，测得A处的俯角为45°，
∴ △PAC为等腰直角三角形，AC = PC = 120 m。
在Rt△PBC中，测得B处的俯角为22°，
$\tan22°=\dfrac{PC}{BC}$，
$\therefore BC=\dfrac{PC}{\tan22°}=\dfrac{120}{0.4}=300\ \mathrm{m}$，
$\therefore AB=BC-AC=300-120=180\ \mathrm{m}$。
【答案】
180
【知识点】
俯角的概念；解直角三角形；锐角三角函数（正切）
【点评】
本题是实际测量中应用解直角三角形的典型题目，解题关键是准确理解俯角的含义，将实际条件转化为直角三角形的边角关系，选择合适的三角函数求解线段长度，整体难度较低，侧重对基础应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
