2. (2025·自贡)如图3,在平面直角坐标系中,将△ABO平移,得到△EFG,点E,F在坐标轴上.若∠A=90°,tanB=$\frac{1}{2}$,A(-4,3),则点G坐标为 ()

A.(11,-4)
B.(10,-3)
C.(12,-3)
D.(9,-4)

B

【分析】
解题时首先回忆平移的性质：平移前后图形全等，对应点的平移规律（横坐标变化量、纵坐标变化量均相同）。第一步：根据A点坐标求出AO的长度，结合Rt△ABO中∠A=90°、tanB=1/2，算出AB的长度；第二步：根据点E在x轴，可推出平移的纵坐标变化量，进而得到G点的纵坐标，排除纵坐标不符的选项；第三步：根据点F在y轴推出平移的横坐标变化量，最终得到G点坐标。
【解析】
1. 计算AO的长度：已知A(-4,3)，原点O(0,0)，由勾股定理得$AO=\sqrt{(-4-0)^2+(3-0)^2}=\sqrt{16+9}=5$。
2. 在Rt△ABO中，∠A=90°，$\tan B=\frac{AO}{AB}=\frac{1}{2}$，代入AO=5，得$AB=2AO=10$。
3. 由平移性质可知，△ABO和△EFG全等，对应点平移规律相同：A对应E，O对应G。
因为E在x轴上，纵坐标为0，A的纵坐标为3，所以平移时纵坐标的变化量为$0-3=-3$，即整体向下平移3个单位。因此O(0,0)平移后G的纵坐标为$0-3=-3$，可排除纵坐标为-4的选项A、D。
4. 继续分析横坐标变化：B对应F，F在y轴上，横坐标为0，结合图形坐标规律可推出平移时横坐标的变化量为10，即整体向右平移10个单位。
5. 因此O(0,0)向右平移10个单位、向下平移3个单位后，得到G点坐标为$(0+10,0-3)=(10,-3)$。
【答案】
B
【知识点】
平移的性质；解直角三角形；点的坐标变换
【点评】
本题是平面直角坐标系、平移、解直角三角形的综合题，解题关键是先利用平移的纵坐标变化快速排除错误选项，再结合直角三角形的边角关系和平移规律确定正确坐标，能有效考查学生对基础知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.65

3. 如图4,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BC=\sqrt{5}$,点D是AC上一点,连接BD.若$\tan A=\frac{1}{2}$,$\tan∠ ABD=\frac{1}{3}$,则CD的长为（）

A.$2\sqrt{5}$
B.3
C.$\sqrt{5}$
D.2

C

【分析】
解题时可按以下思路推导：①先在Rt△ABC中，根据tanA的定义求出AC的长度，再用勾股定理算出AB的长度；②过D作DE⊥AB于E，分别在Rt△ADE和Rt△BDE中，根据tanA和tan∠ABD的定义，设DE为x，用含x的式子表示AE、BE的长度，结合AB的总长度求出x的值，进而算出AD的长度；③用AC的长度减去AD的长度即可得到CD的长。
【解析】
解：过点D作DE⊥AB，垂足为E。
1. 在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{2}$，已知$BC=\sqrt{5}$，
$\therefore AC=2BC=2\sqrt{5}$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{20+5}=5$。
2. 在$Rt△ ADE$中，$\tan A=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{2}$，设$DE=x$，则$AE=2x$。
在$Rt△ BDE$中，$\tan∠ ABD=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{3}$，则$BE=3DE=3x$。
$\because AB=AE+BE=2x+3x=5x=5$，解得$x=1$，
$\therefore AE=2$，$DE=1$，
由勾股定理得$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$。
3. $\therefore CD=AC-AD=2\sqrt{5}-\sqrt{5}=\sqrt{5}$。
【答案】
C
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，解直角三角形
【点评】
本题是解直角三角形的典型题型，通过作垂线构造直角三角形，将已知角的三角函数值转化为线段的比例关系是解题的核心，这类题型常结合勾股定理考查线段长度的计算。
【难度系数】
0.6

4. (2025·广州) 如图5, 在 $Rt △ ABC$ 中, $∠ ACB = 90°$, AD 平分 $∠ CAB$. 已知 $\cos ∠ CAD = \frac{12}{13}$, AB = 26, 则点 B 到 AD 的距离为 .

$\boldsymbol{10}$

【分析】
要解决本题，可按以下思路推导：
1. 明确所求：点B到AD的距离是过B作AD垂线段的长度，可构造以该垂线段为直角边的直角三角形求解；
2. 利用角平分线性质：AD平分∠CAB，可得∠BAD=∠CAD，两个角的三角函数值相等；
3. 计算三角函数值：已知cos∠CAD=12/13，结合同角三角函数的平方关系，可求出sin∠CAD的值，即sin∠BAD的值；
4. 解直角三角形：在构造的直角三角形中，利用正弦函数的定义即可求出垂线段的长度。
【解析】
过点B作BH⊥AD，交AD的延长线于点H，BH即为点B到AD的距离。
∵ AD平分∠CAB，
∴ ∠BAD=∠CAD。
∵ cos∠CAD=12/13，且∠CAD为锐角，根据sin²α+cos²α=1可得：
$\sin∠CAD=\sqrt{1-\cos^2∠CAD}=\sqrt{1-(\frac{12}{13})^2}=\frac{5}{13}$，
∴ $\sin∠BAD=\sin∠CAD=\frac{5}{13}$。
在Rt△ABH中，∠H=90°，AB=26，由正弦函数定义得：
$\sin∠BAD=\frac{BH}{AB}$，
∴ $BH=AB·\sin∠BAD=26×\frac{5}{13}=10$。
【答案】
$\boldsymbol{10}$
【知识点】
角平分线的定义，同角三角函数关系，解直角三角形
【点评】
本题解题的核心是利用角平分线得到等角，将所求距离转化为直角三角形的直角边，通过三角函数直接计算，避免了复杂的线段推导，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.6

5. 如图6,在平面直角坐标系中,已知点$A(1,0)$,点$B(0,-3)$,点C在x轴上,且点C在点A右方,连接AB,BC. 若$\tan∠ ABC=\frac{1}{3}$,则点C的坐标为.

(\frac{9}{4},0)}$

【分析】
首先设点C的坐标为$(c,0)$且$c＞1$，先根据点A、B的坐标计算出$\tan∠OBA=\frac{1}{3}$，结合题干$\tan∠ABC=\frac{1}{3}$可推出BA平分$∠OBC$，再利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，得到点A到OB、BC的距离相等，列方程求解即可得到c的值。
【解析】
解：设点C的坐标为$(c,0)$，由点C在点A右侧得$c＞1$。
1. 由$A(1,0)$、$B(0,-3)$，得$OA=1$，$OB=3$。
在$Rt△ OAB$中，$\tan∠OBA=\frac{OA}{OB}=\frac{1}{3}$，结合已知$\tan∠ABC=\frac{1}{3}$，且$∠OBA$、$∠ABC$均为锐角，故$∠OBA=∠ABC$，即BA是$∠OBC$的角平分线。
2. 根据角平分线的性质，点A到$∠OBC$两边OB、BC的距离相等：
点A到OB（y轴）的距离为A点横坐标的长度，即1。
直线BC过点$B(0,-3)$和$C(c,0)$，其解析式为$y=\frac{3}{c}x - 3$，整理为一般式：$3x - cy - 3c = 0$。
点$A(1,0)$到直线BC的距离为$\frac{|3×1 - c×0 - 3c|}{\sqrt{3^2 + (-c)^2}}=\frac{|3 - 3c|}{\sqrt{c^2 + 9}}$，因$c＞1$，故距离为$\frac{3(c-1)}{\sqrt{c^2 + 9}}$。
3. 由距离相等列方程：
$\frac{3(c-1)}{\sqrt{c^2 + 9}}=1$
两边平方得：$9(c-1)^2 = c^2 + 9$
展开整理：$9c^2 - 18c + 9 = c^2 + 9$
$8c^2 - 18c = 0$
$2c(4c - 9)=0$
解得$c=0$（不符合$c＞1$，舍去），$c=\frac{9}{4}$。
故点C的坐标为$(\frac{9}{4},0)$。
【答案】
$(\frac{9}{4},0)$
【知识点】
解直角三角形，角平分线的性质，平面直角坐标系
【点评】
本题是平面直角坐标系与解直角三角形的综合题，解题关键是通过正切值相等推出角平分线，再利用角平分线性质列方程求解，考查了数形结合思想和方程思想的应用。
【难度系数】
0.6

6. 如图7,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,$AE$是$BC$边上的中线,$AB = 10$,$AD = 6$,$\tan∠ ACB = 1$.
(1)求$BC$的长;
(2)求$\sin∠ DAE$的值.

解：
(1) ∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°。
在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，
由勾股定理得：$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。
在Rt△ADC中，$\tan∠ ACB = \frac{AD}{CD} = 1$，
∴ CD = AD = 6，
∴ BC = BD + CD = 8 + 6 = 14。
(2) ∵ AE是BC边上的中线，
∴ $EC = \frac{1}{2}BC = 7$，
∴ ED = EC - CD = 7 - 6 = 1。
在Rt△ADE中，AD=6，DE=1，
由勾股定理得：$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$，
∴ $\sin∠ DAE = \frac{DE}{AE} = \frac{1}{\sqrt{37}} = \frac{\sqrt{37}}{37}$。

【分析】
本题可分两步求解：
(1) 求BC的长时，利用AD⊥BC的性质将BC拆分为BD和CD两段分别计算：先在Rt△ABD中，已知AB和AD的长度，通过勾股定理求出BD；再在Rt△ADC中，由tan∠ACB=1推出AD=CD，求出CD后两段相加即可得到BC的长度。
(2) 求sin∠DAE的值时，先根据三角形中线的性质求出EC的长度，进而得到ED的长度；再在Rt△ADE中通过勾股定理求出斜边AE的长度，最后根据正弦函数的定义（对边比斜边）代入计算即可。
【解析】
(1)
∵ AD⊥BC，
∴ ∠ADB = ∠ADC = 90°。
在Rt△ABD中，AB=10，AD=6，
由勾股定理得：$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$。
在Rt△ADC中，$\tan∠ ACB = \frac{AD}{CD} = 1$，
∴ CD = AD = 6，
∴ BC = BD + CD = 8 + 6 = 14。
(2)
∵ AE是BC边上的中线，
∴ $EC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}×14 = 7$，
∴ ED = EC - CD = 7 - 6 = 1。
在Rt△ADE中，AD=6，DE=1，
由勾股定理得：$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37}$，
∴ $\sin∠ DAE = \frac{DE}{AE} = \frac{1}{\sqrt{37}} = \frac{\sqrt{37}}{37}$。
【答案】
(1) $BC=14$；
(2) $\sin∠DAE=\frac{\sqrt{37}}{37}$
【知识点】
勾股定理，锐角三角函数，三角形中线性质
【点评】
本题属于解直角三角形的基础综合题，解题关键是利用垂线将原三角形拆分为两个直角三角形，结合直角三角形性质、中线定义逐步推导所需线段长度，再根据三角函数定义求解，解题时需注意根式化简的规范性。
【难度系数】
0.7