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1. (2025·武汉)某商场开展购物抽奖促销活动,抽奖盒中装有三个小球,它们分别标有10元,20元,30元,一次性随机摸出两个小球,摸出的两球上金额的和为50元的概率是 ()
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
A.$\frac{1}{6}$
B.$\frac{1}{4}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
C
解析
【分析】
这是古典概型的概率求解问题，解题思路可分为三步：第一步，明确试验规则：从3个标有不同金额的小球中一次性摸出2个，用列举法列出所有等可能的结果；第二步，从所有结果中筛选出两球金额之和为50元的符合条件的结果；第三步，根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算最终概率即可。
【解析】
解：从标有10元、20元、30元的三个小球中一次性随机摸出两个，所有等可能的结果有：（10元，20元）、（10元，30元）、（20元，30元），共3种。
分别计算各组的金额和：
$10+20=30$元，$10+30=40$元，$20+30=50$元
其中金额和为50元的结果有1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率，概率公式应用
【点评】
本题属于概率计算的基础题，核心考查列举法的使用，解题时注意不要漏算或重复计数试验结果，掌握概率的基本计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
这是古典概型的概率求解问题，解题思路可分为三步：第一步，明确试验规则：从3个标有不同金额的小球中一次性摸出2个，用列举法列出所有等可能的结果；第二步，从所有结果中筛选出两球金额之和为50元的符合条件的结果；第三步，根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算最终概率即可。
【解析】
解：从标有10元、20元、30元的三个小球中一次性随机摸出两个，所有等可能的结果有：（10元，20元）、（10元，30元）、（20元，30元），共3种。
分别计算各组的金额和：
$10+20=30$元，$10+30=40$元，$20+30=50$元
其中金额和为50元的结果有1种。
根据概率公式可得，所求概率为$\frac{1}{3}$。
【答案】
C
【知识点】
列举法求概率，概率公式应用
【点评】
本题属于概率计算的基础题，核心考查列举法的使用，解题时注意不要漏算或重复计数试验结果，掌握概率的基本计算公式即可快速求解。
【难度系数】
0.7
2. (2025·山东)某班学生到山东省博物馆参加研学活动.博物馆为同学们准备了以镇馆之宝“亚醜钺”“蛋壳黑陶杯”“颂簋”为主题的三款文创产品,每名同学可从中随机抽取一个作为纪念品.若抽到每一款的可能性相等,则甲、乙两名同学同时抽到“亚醜钺”的概率是 ()
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
A.$\frac{1}{9}$
B.$\frac{1}{6}$
C.$\frac{1}{3}$
D.$\frac{2}{3}$
答案
A
解析
【分析】
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确甲、乙两名同学抽取文创产品是两个互不影响的独立过程，每人抽取三款产品的可能性相等。我们可以先通过列举法（列表或树状图）找出两人抽取的所有等可能结果总数，再筛选出两人同时抽到“亚醜钺”的结果数，最后利用“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”的公式计算即可；也可以利用分步概率的思路，分别计算甲、乙各自抽到“亚醜钺”的概率，再将两者相乘得到结果。
【解析】
我们将三款文创产品分别记为：A（亚醜钺）、B（蛋壳黑陶杯）、C（颂簋）。
甲、乙两名同学抽取产品的所有等可能结果如下：
(A,A)、(A,B)、(A,C)、
(B,A)、(B,B)、(B,C)、
(C,A)、(C,B)、(C,C)
总共有9种等可能的结果，其中甲、乙同时抽到“亚醜钺”的结果只有(A,A)1种。
根据等可能事件的概率公式$P=\frac{m}{n}$（其中$m$为符合条件的结果数，$n$为总等可能结果数），可得所求概率为：
$P=\frac{1}{9}$
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率；等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率基础题，主要考查学生对简单概率计算方法的掌握，通过列表或树状图梳理所有可能结果是解题的关键，只要细心梳理结果即可得分。
【难度系数】
0.85
这是一道等可能事件的概率计算问题，解题思路如下：首先明确甲、乙两名同学抽取文创产品是两个互不影响的独立过程，每人抽取三款产品的可能性相等。我们可以先通过列举法（列表或树状图）找出两人抽取的所有等可能结果总数，再筛选出两人同时抽到“亚醜钺”的结果数，最后利用“概率=符合条件的结果数÷总等可能结果数”的公式计算即可；也可以利用分步概率的思路，分别计算甲、乙各自抽到“亚醜钺”的概率，再将两者相乘得到结果。
【解析】
我们将三款文创产品分别记为：A（亚醜钺）、B（蛋壳黑陶杯）、C（颂簋）。
甲、乙两名同学抽取产品的所有等可能结果如下：
(A,A)、(A,B)、(A,C)、
(B,A)、(B,B)、(B,C)、
(C,A)、(C,B)、(C,C)
总共有9种等可能的结果，其中甲、乙同时抽到“亚醜钺”的结果只有(A,A)1种。
根据等可能事件的概率公式$P=\frac{m}{n}$（其中$m$为符合条件的结果数，$n$为总等可能结果数），可得所求概率为：
$P=\frac{1}{9}$
【答案】
A
【知识点】
列举法求概率；等可能事件概率计算
【点评】
本题属于概率基础题，主要考查学生对简单概率计算方法的掌握，通过列表或树状图梳理所有可能结果是解题的关键，只要细心梳理结果即可得分。
【难度系数】
0.85
3. (2025·齐齐哈尔)假定鸟卵孵化后,雏鸟为雌鸟与雄鸟的概率相同.如果2枚鸟卵全部成功孵化,那么2只雏鸟都是雄鸟的概率是 ()
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{2}{3}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
D
解析
【分析】
本题考查等可能事件的概率计算，解题时首先明确每枚鸟卵孵化出雌鸟、雄鸟的概率相等，且两次孵化的结果相互独立。我们可以通过列举法列出2枚鸟卵孵化的所有等可能结果，再找出2只雏鸟都是雄鸟的结果数，最后根据“概率=所求情况数与总情况数之比”计算即可。
【解析】
列举2枚鸟卵孵化的所有等可能结果：
①第一只为雌鸟，第二只为雌鸟；
②第一只为雌鸟，第二只为雄鸟；
③第一只为雄鸟，第二只为雌鸟；
④第一只为雄鸟，第二只为雄鸟。
总共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果只有1种，
根据概率公式可得，2只雏鸟都是雄鸟的概率为$\frac{1}{4}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是准确列举所有等可能的结果，避免因忽略结果顺序导致总情况数计数错误。
【难度系数】
0.7
本题考查等可能事件的概率计算，解题时首先明确每枚鸟卵孵化出雌鸟、雄鸟的概率相等，且两次孵化的结果相互独立。我们可以通过列举法列出2枚鸟卵孵化的所有等可能结果，再找出2只雏鸟都是雄鸟的结果数，最后根据“概率=所求情况数与总情况数之比”计算即可。
【解析】
列举2枚鸟卵孵化的所有等可能结果：
①第一只为雌鸟，第二只为雌鸟；
②第一只为雌鸟，第二只为雄鸟；
③第一只为雄鸟，第二只为雌鸟；
④第一只为雄鸟，第二只为雄鸟。
总共有4种等可能的结果，其中2只雏鸟都是雄鸟的结果只有1种，
根据概率公式可得，2只雏鸟都是雄鸟的概率为$\frac{1}{4}$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
列举法求概率，等可能事件概率计算
【点评】
本题是概率计算的基础题型，解题核心是准确列举所有等可能的结果，避免因忽略结果顺序导致总情况数计数错误。
【难度系数】
0.7
4. 如图 3, 四边形 ABCD 是平行四边形, 从①$AC=BD$,②$AC ⊥ BD$,③$AB=BC$ 这三个条件中任意选取两个, 能使$□ ABCD$是正方形的概率为 ()
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{5}{6}$
A.$\dfrac{2}{3}$
B.$\dfrac{1}{2}$
C.$\dfrac{1}{3}$
D.$\dfrac{5}{6}$
答案
A
解析
【分析】
解题思路分三步：第一步，回忆正方形判定规则：平行四边形需同时具备矩形、菱形的特征才是正方形。第二步，明确三个条件对应的图形性质：①AC=BD可推出平行四边形ABCD是矩形；②AC⊥BD、③AB=BC都可推出平行四边形ABCD是菱形。第三步，用列举法列出选2个条件的所有等可能情况，筛选出能同时得到矩形和菱形的情况，最后用概率公式计算结果。
【解析】
从3个条件中任选2个，共有3种等可能的组合：①②、①③、②③。
对各组合逐一判断：
1. 选①②：①得平行四边形是矩形，②得平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，符合要求；
2. 选①③：①得平行四边形是矩形，③得邻边相等的矩形是正方形，符合要求；
3. 选②③：②和③均只能推出平行四边形是菱形，无法判定是正方形，不符合要求。
符合条件的组合共2种，根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定，列举法求概率，特殊平行四边形判定
【点评】
本题结合了特殊平行四边形判定与概率计算两个考点，需要熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定区别，再通过列举法统计情况计算概率，属于综合性基础题，判断组合时需细心避免遗漏或误判。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：第一步，回忆正方形判定规则：平行四边形需同时具备矩形、菱形的特征才是正方形。第二步，明确三个条件对应的图形性质：①AC=BD可推出平行四边形ABCD是矩形；②AC⊥BD、③AB=BC都可推出平行四边形ABCD是菱形。第三步，用列举法列出选2个条件的所有等可能情况，筛选出能同时得到矩形和菱形的情况，最后用概率公式计算结果。
【解析】
从3个条件中任选2个，共有3种等可能的组合：①②、①③、②③。
对各组合逐一判断：
1. 选①②：①得平行四边形是矩形，②得平行四边形是菱形，既是矩形又是菱形的平行四边形是正方形，符合要求；
2. 选①③：①得平行四边形是矩形，③得邻边相等的矩形是正方形，符合要求；
3. 选②③：②和③均只能推出平行四边形是菱形，无法判定是正方形，不符合要求。
符合条件的组合共2种，根据概率公式：$P=\frac{\mathrm{符合条件的情况数}}{\mathrm{总情况数}}=\frac{2}{3}$。
【答案】
A
【知识点】
正方形的判定，列举法求概率，特殊平行四边形判定
【点评】
本题结合了特殊平行四边形判定与概率计算两个考点，需要熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定区别，再通过列举法统计情况计算概率，属于综合性基础题，判断组合时需细心避免遗漏或误判。
【难度系数】
0.7
5. (2025·安徽)在一个平衡的天平左、右两端托盘上,分别放置质量为20 g和70 g的物品后,天平倾斜(如图4所示).现从质量为10 g,20 g,30 g,40 g的四件物品中,随机选取两件放置在天平的左端托盘上,则天平恢复平衡的概率为.
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
解析
【分析】
要解决本题首先需明确天平恢复平衡的条件：左盘总质量等于右盘总质量，先算出左盘需要添加的两件物品的总质量；再用列举法找出从四件物品中任选两件的所有等可能结果，统计其中总质量符合要求的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算即可。
【解析】
1. 计算左盘需添加的总质量：
天平右盘原有物品质量为70g，左盘原有物品质量为20g，要使天平平衡，左盘添加的两件物品总质量应为$70-20=50\ \mathrm{g}$。
2. 列举所有选取两件物品的等可能结果：
从10g、20g、30g、40g四件物品中随机选两件，不考虑选取顺序的所有等可能结果共6种，分别为：
(10g,20g)总质量30g、(10g,30g)总质量40g、(10g,40g)总质量50g、(20g,30g)总质量50g、(20g,40g)总质量60g、(30g,40g)总质量70g。
3. 计算概率：
其中总质量为50g的结果有2种，因此天平恢复平衡的概率为$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
列举法求概率，天平平衡原理，概率计算
【点评】
本题结合天平的生活情境考查概率计算，解题核心是先根据平衡条件确定添加物品的总质量要求，再正确枚举所有选取情况，枚举时需注意避免重复和遗漏。
【难度系数】
0.7
要解决本题首先需明确天平恢复平衡的条件：左盘总质量等于右盘总质量，先算出左盘需要添加的两件物品的总质量；再用列举法找出从四件物品中任选两件的所有等可能结果，统计其中总质量符合要求的结果数，最后根据“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”的公式计算即可。
【解析】
1. 计算左盘需添加的总质量：
天平右盘原有物品质量为70g，左盘原有物品质量为20g，要使天平平衡，左盘添加的两件物品总质量应为$70-20=50\ \mathrm{g}$。
2. 列举所有选取两件物品的等可能结果：
从10g、20g、30g、40g四件物品中随机选两件，不考虑选取顺序的所有等可能结果共6种，分别为：
(10g,20g)总质量30g、(10g,30g)总质量40g、(10g,40g)总质量50g、(20g,30g)总质量50g、(20g,40g)总质量60g、(30g,40g)总质量70g。
3. 计算概率：
其中总质量为50g的结果有2种，因此天平恢复平衡的概率为$P=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$
【知识点】
列举法求概率，天平平衡原理，概率计算
【点评】
本题结合天平的生活情境考查概率计算，解题核心是先根据平衡条件确定添加物品的总质量要求，再正确枚举所有选取情况，枚举时需注意避免重复和遗漏。
【难度系数】
0.7
6.(2025·德州)把英文单词“PEOPLE”中的字母依次写在完全相同的6张卡片上,每张卡片上只写其中的1个字母.然后将卡片洗匀,从中随机抽取2张,恰好是字母相同的两张卡片的概率是.
答案
解：
单词“PEOPLE”对应的6张卡片的字母分别为P、E、O、P、L、E，将两个P标记为$P_1$、$P_2$，两个E标记为$E_1$、$E_2$，剩余两张卡片对应字母为O、L。
从6张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果共15种，分别为：
$(P_1,E_1)$、$(P_1,O)$、$(P_1,P_2)$、$(P_1,L)$、$(P_1,E_2)$、
$(E_1,O)$、$(E_1,P_2)$、$(E_1,L)$、$(E_1,E_2)$、
$(O,P_2)$、$(O,L)$、$(O,E_2)$、
$(P_2,L)$、$(P_2,E_2)$、
$(L,E_2)$
其中两张卡片字母相同的结果共2种：$(P_1,P_2)$、$(E_1,E_2)$。
因此所求概率$P=\frac{2}{15}$。
单词“PEOPLE”对应的6张卡片的字母分别为P、E、O、P、L、E，将两个P标记为$P_1$、$P_2$，两个E标记为$E_1$、$E_2$，剩余两张卡片对应字母为O、L。
从6张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果共15种，分别为：
$(P_1,E_1)$、$(P_1,O)$、$(P_1,P_2)$、$(P_1,L)$、$(P_1,E_2)$、
$(E_1,O)$、$(E_1,P_2)$、$(E_1,L)$、$(E_1,E_2)$、
$(O,P_2)$、$(O,L)$、$(O,E_2)$、
$(P_2,L)$、$(P_2,E_2)$、
$(L,E_2)$
其中两张卡片字母相同的结果共2种：$(P_1,P_2)$、$(E_1,E_2)$。
因此所求概率$P=\frac{2}{15}$。
解析
【分析】
要解这道题，首先明确概率的计算逻辑为“符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数”。第一步先梳理单词“PEOPLE”的字母组成：包含2个P、2个E，以及O、L各1个，共6张卡片，抽取2张时不考虑顺序。第二步先计算从6张卡片中随机抽2张的总等可能结果数，可通过标记重复字母后列举的方式计数。第三步找出其中两张字母完全相同的情况，即两个P组合、两个E组合两类。最后代入概率公式计算即可。
【解析】
单词“PEOPLE”对应的6张卡片的字母分别为P、E、O、P、L、E，将两个P标记为$P_1$、$P_2$，两个E标记为$E_1$、$E_2$，剩余两张卡片对应字母为O、L。
从6张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果共15种，分别为：
$(P_1,E_1)$、$(P_1,O)$、$(P_1,P_2)$、$(P_1,L)$、$(P_1,E_2)$、
$(E_1,O)$、$(E_1,P_2)$、$(E_1,L)$、$(E_1,E_2)$、
$(O,P_2)$、$(O,L)$、$(O,E_2)$、
$(P_2,L)$、$(P_2,E_2)$、
$(L,E_2)$
其中两张卡片字母相同的结果共2种：$(P_1,P_2)$、$(E_1,E_2)$。
因此所求概率$P=\frac{2}{15}$。
【答案】
$\frac{2}{15}$
【知识点】
概率公式，列举法求概率，组合计数
【点评】
本题考查概率的基础计算，解题核心是准确枚举所有等可能的结果，注意对重复字母的区分标记，避免出现漏算、多算情况的同时确保计数公平性，是概率章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
要解这道题，首先明确概率的计算逻辑为“符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数”。第一步先梳理单词“PEOPLE”的字母组成：包含2个P、2个E，以及O、L各1个，共6张卡片，抽取2张时不考虑顺序。第二步先计算从6张卡片中随机抽2张的总等可能结果数，可通过标记重复字母后列举的方式计数。第三步找出其中两张字母完全相同的情况，即两个P组合、两个E组合两类。最后代入概率公式计算即可。
【解析】
单词“PEOPLE”对应的6张卡片的字母分别为P、E、O、P、L、E，将两个P标记为$P_1$、$P_2$，两个E标记为$E_1$、$E_2$，剩余两张卡片对应字母为O、L。
从6张卡片中随机抽取2张，所有等可能的结果共15种，分别为：
$(P_1,E_1)$、$(P_1,O)$、$(P_1,P_2)$、$(P_1,L)$、$(P_1,E_2)$、
$(E_1,O)$、$(E_1,P_2)$、$(E_1,L)$、$(E_1,E_2)$、
$(O,P_2)$、$(O,L)$、$(O,E_2)$、
$(P_2,L)$、$(P_2,E_2)$、
$(L,E_2)$
其中两张卡片字母相同的结果共2种：$(P_1,P_2)$、$(E_1,E_2)$。
因此所求概率$P=\frac{2}{15}$。
【答案】
$\frac{2}{15}$
【知识点】
概率公式，列举法求概率，组合计数
【点评】
本题考查概率的基础计算，解题核心是准确枚举所有等可能的结果，注意对重复字母的区分标记，避免出现漏算、多算情况的同时确保计数公平性，是概率章节的典型基础题型。
【难度系数】
0.7
