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7. (2025·黑龙江)如图5,随机闭合开关K₁,K₂,K₃中的两个,能让两盏灯泡L₁,L₂同时发光的概率为. 
答案
解：
随机闭合开关$K_1$，$K_2$，$K_3$中的两个，所有等可能的结果为：$(K_1,K_2)$、$(K_1,K_3)$、$(K_2,K_3)$，共3种。
其中能让两盏灯泡$L_1$，$L_2$同时发光的结果只有$(K_1,K_3)$这1种。
因此所求概率为$\dfrac{1}{3}$。
随机闭合开关$K_1$，$K_2$，$K_3$中的两个，所有等可能的结果为：$(K_1,K_2)$、$(K_1,K_3)$、$(K_2,K_3)$，共3种。
其中能让两盏灯泡$L_1$，$L_2$同时发光的结果只有$(K_1,K_3)$这1种。
因此所求概率为$\dfrac{1}{3}$。
解析
【分析】要计算随机闭合两个开关时两灯同时发光的概率，需先确定所有可能的开关组合，再逐一分析每种组合下的电路通路情况，判断L₁、L₂是否同时发光，最后用“符合条件的情况数÷总情况数”计算概率。
【解析】随机闭合K₁、K₂、K₃中的两个，所有等可能的组合有：$(K_1,K_2)$、$(K_1,K_3)$、$(K_2,K_3)$，共3种。
分析各组合的电路：
闭合$(K_1,K_2)$：K₂闭合后，L₁所在支路被短路，仅L₂发光，不符合要求；
闭合$(K_1,K_3)$：电流路径为电源→K₁→L₁→L₂→K₃→电源，L₁、L₂同时发光，符合要求；
闭合$(K_2,K_3)$：L₁所在支路断开，仅L₂发光，不符合要求。
符合两灯同时发光的组合仅1种，因此所求概率为$\dfrac{1}{3}$。
【答案】$\dfrac{1}{3}$
【知识点】概率计算、电路通路分析
【点评】本题结合电路知识考查概率计算，需先明确电路结构，通过列举法确定所有情况后计算概率，属于基础跨学科题目，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】随机闭合K₁、K₂、K₃中的两个，所有等可能的组合有：$(K_1,K_2)$、$(K_1,K_3)$、$(K_2,K_3)$，共3种。
分析各组合的电路：
闭合$(K_1,K_2)$：K₂闭合后，L₁所在支路被短路，仅L₂发光，不符合要求；
闭合$(K_1,K_3)$：电流路径为电源→K₁→L₁→L₂→K₃→电源，L₁、L₂同时发光，符合要求；
闭合$(K_2,K_3)$：L₁所在支路断开，仅L₂发光，不符合要求。
符合两灯同时发光的组合仅1种，因此所求概率为$\dfrac{1}{3}$。
【答案】$\dfrac{1}{3}$
【知识点】概率计算、电路通路分析
【点评】本题结合电路知识考查概率计算，需先明确电路结构，通过列举法确定所有情况后计算概率，属于基础跨学科题目，难度适中。
【难度系数】0.5
8. (2025·青岛)京剧以其独特的艺术魅力和深厚的文化底蕴闻名于世,京剧的角色有生、旦、净、丑等.现有4张不透明卡片,正面分别印有“生”“旦”“净”“丑”四种角色的卡通人物,卡片除正面图案外其余都相同.将这4张卡片背面朝上洗匀,先随机抽取一张,再从剩下的3张中随机抽取一张.利用画树状图或列表的方法表示所有可能出现的结果,并求抽取到的两张卡片中有“生”的概率.
答案
解：
将四张卡片分别记为“生”“旦”“净”“丑”，列表表示所有可能出现的结果如下：
| 第一次抽取 | 第二次抽取 |
| ---- | ---- |
| 生 | 旦 |
| 生 | 净 |
| 生 | 丑 |
| 旦 | 生 |
| 旦 | 净 |
| 旦 | 丑 |
| 净 | 生 |
| 净 | 旦 |
| 净 | 丑 |
| 丑 | 生 |
| 丑 | 旦 |
| 丑 | 净 |
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果共6种。
因此抽取到的两张卡片中有“生”的概率为 $P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
将四张卡片分别记为“生”“旦”“净”“丑”，列表表示所有可能出现的结果如下：
| 第一次抽取 | 第二次抽取 |
| ---- | ---- |
| 生 | 旦 |
| 生 | 净 |
| 生 | 丑 |
| 旦 | 生 |
| 旦 | 净 |
| 旦 | 丑 |
| 净 | 生 |
| 净 | 旦 |
| 净 | 丑 |
| 丑 | 生 |
| 丑 | 旦 |
| 丑 | 净 |
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果共6种。
因此抽取到的两张卡片中有“生”的概率为 $P=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
本题是两步不放回抽取的概率问题，解题思路为：先将4张卡片标记，通过列表法列举所有等可能的抽取结果，再从中找出“两张卡片中有‘生’”的结果数量，最后依据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数）计算所求概率。
【解析】
解：将4张卡片分别记为“生”“旦”“净”“丑”，用列表法表示所有等可能的抽取结果如下：
| 第一次抽取 | 第二次抽取 |
| ---- | ---- |
| 生 | 旦 |
| 生 | 净 |
| 生 | 丑 |
| 旦 | 生 |
| 旦 | 净 |
| 旦 | 丑 |
| 净 | 生 |
| 净 | 旦 |
| 净 | 丑 |
| 丑 | 生 |
| 丑 | 旦 |
| 丑 | 净 |
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果共6种。
根据概率公式，抽取到的两张卡片中有“生”的概率为：$ P = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率的计算、列表法求概率
【点评】
本题为基础概率应用题，通过列表法清晰呈现所有等可能结果，步骤明确，考查学生对两步不放回抽样概率的掌握，是巩固概率知识点的典型题目。
【难度系数】
0.7
本题是两步不放回抽取的概率问题，解题思路为：先将4张卡片标记，通过列表法列举所有等可能的抽取结果，再从中找出“两张卡片中有‘生’”的结果数量，最后依据概率公式（概率=符合条件的结果数÷所有等可能的结果数）计算所求概率。
【解析】
解：将4张卡片分别记为“生”“旦”“净”“丑”，用列表法表示所有等可能的抽取结果如下：
| 第一次抽取 | 第二次抽取 |
| ---- | ---- |
| 生 | 旦 |
| 生 | 净 |
| 生 | 丑 |
| 旦 | 生 |
| 旦 | 净 |
| 旦 | 丑 |
| 净 | 生 |
| 净 | 旦 |
| 净 | 丑 |
| 丑 | 生 |
| 丑 | 旦 |
| 丑 | 净 |
由列表可知，共有12种等可能的结果，其中抽取到的两张卡片中有“生”的结果共6种。
根据概率公式，抽取到的两张卡片中有“生”的概率为：$ P = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} $。
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
概率的计算、列表法求概率
【点评】
本题为基础概率应用题，通过列表法清晰呈现所有等可能结果，步骤明确，考查学生对两步不放回抽样概率的掌握，是巩固概率知识点的典型题目。
【难度系数】
0.7
9. 物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成. 某学习小组在社团活动课上制作了 A,B,C,D 四张卡片(四张卡片除图片内容不同外,其他没有区别),放置于暗箱中摇匀.
(1)小临从四张卡片中随机抽取一张,抽中 C 卡片的概率是;
(2)小夏从四张卡片中随机抽取两张,用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率.
(1)小临从四张卡片中随机抽取一张,抽中 C 卡片的概率是;
(2)小夏从四张卡片中随机抽取两张,用列表法或画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率.
答案
解：
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$
(2) 由题意可知：A铁钉生锈、D牛奶变质属于化学变化，B滴水成冰、C矿石粉碎属于物理变化。
画树状图如下：
```mermaid
graph TD
S[开始] --＞ A[第一次抽A]
S --＞ B[第一次抽B]
S --＞ C[第一次抽C]
S --＞ D[第一次抽D]
A --＞ A1[第二次抽B]
A --＞ A2[第二次抽C]
A --＞ A3[第二次抽D]
B --＞ B1[第二次抽A]
B --＞ B2[第二次抽C]
B --＞ B3[第二次抽D]
C --＞ C1[第二次抽A]
C --＞ C2[第二次抽B]
C --＞ C3[第二次抽D]
D --＞ D1[第二次抽A]
D --＞ D2[第二次抽B]
D --＞ D3[第二次抽C]
```
由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有2种。
因此小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
(1) $\boldsymbol{\frac{1}{4}}$
(2) 由题意可知：A铁钉生锈、D牛奶变质属于化学变化，B滴水成冰、C矿石粉碎属于物理变化。
画树状图如下：
```mermaid
graph TD
S[开始] --＞ A[第一次抽A]
S --＞ B[第一次抽B]
S --＞ C[第一次抽C]
S --＞ D[第一次抽D]
A --＞ A1[第二次抽B]
A --＞ A2[第二次抽C]
A --＞ A3[第二次抽D]
B --＞ B1[第二次抽A]
B --＞ B2[第二次抽C]
B --＞ B3[第二次抽D]
C --＞ C1[第二次抽A]
C --＞ C2[第二次抽B]
C --＞ C3[第二次抽D]
D --＞ D1[第二次抽A]
D --＞ D2[第二次抽B]
D --＞ D3[第二次抽C]
```
由树状图可得，共有12种等可能的结果，其中抽取两张卡片内容均为化学变化的结果有2种。
因此小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为 $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$。
解析
【分析】
第(1)问是简单的概率计算，总共有4张卡片，随机抽取1张时，抽中某张卡片的概率等于该卡片数量除以总卡片数，直接计算即可。第(2)问需先区分物理变化和化学变化，判断出对应化学变化的卡片，再通过树状图或列表法列举抽取两张卡片的所有等可能结果，找出两张均为化学变化的结果数，最后根据概率公式计算概率。
【解析】
(1) 总共有4张卡片，其中C卡片有1张，因此抽中C卡片的概率为 $\frac{1}{4}$。
(2) 先判断变化类型：铁钉生锈（A）、牛奶变质（D）过程中有新物质生成，属于化学变化；滴水成冰（B）、矿石粉碎（C）过程中没有新物质生成，属于物理变化，故化学变化的卡片为A、D，共2张。
用树状图法列举所有抽取两张卡片的等可能结果：第一次抽取有A、B、C、D4种情况，第二次抽取有剩余3种情况，共 $4 × 3 = 12$ 种等可能结果。其中抽取两张卡片均为化学变化的结果为(A,D)、(D,A)，共2种。因此，小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为 $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
概率计算，物理变化与化学变化，树状图法求概率
【点评】
本题结合物理变化与化学变化的判断和概率计算，需先正确区分化学变化和物理变化，再运用概率方法求解，考查学生的基础判断和概率应用能力，是初中阶段的综合基础题。
【难度系数】
0.5
第(1)问是简单的概率计算，总共有4张卡片，随机抽取1张时，抽中某张卡片的概率等于该卡片数量除以总卡片数，直接计算即可。第(2)问需先区分物理变化和化学变化，判断出对应化学变化的卡片，再通过树状图或列表法列举抽取两张卡片的所有等可能结果，找出两张均为化学变化的结果数，最后根据概率公式计算概率。
【解析】
(1) 总共有4张卡片，其中C卡片有1张，因此抽中C卡片的概率为 $\frac{1}{4}$。
(2) 先判断变化类型：铁钉生锈（A）、牛奶变质（D）过程中有新物质生成，属于化学变化；滴水成冰（B）、矿石粉碎（C）过程中没有新物质生成，属于物理变化，故化学变化的卡片为A、D，共2张。
用树状图法列举所有抽取两张卡片的等可能结果：第一次抽取有A、B、C、D4种情况，第二次抽取有剩余3种情况，共 $4 × 3 = 12$ 种等可能结果。其中抽取两张卡片均为化学变化的结果为(A,D)、(D,A)，共2种。因此，小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为 $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$。
【答案】
(1) $\frac{1}{4}$；(2) $\frac{1}{6}$
【知识点】
概率计算，物理变化与化学变化，树状图法求概率
【点评】
本题结合物理变化与化学变化的判断和概率计算，需先正确区分化学变化和物理变化，再运用概率方法求解，考查学生的基础判断和概率应用能力，是初中阶段的综合基础题。
【难度系数】
0.5
