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17. (9分)如图15,已知AC⊥BC,垂足为$C,AC=4,BC=3\sqrt{3},$将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°,得到线段AD,连接DC,DB.
(1)求线段DC的长度;
(2)求线段DB的长度.
(1)求线段DC的长度;
(2)求线段DB的长度.
答案
解：
(1) 由旋转的性质得：$AD=AC=4$，$∠ CAD=60°$，
$\therefore △ ACD$是等边三角形，
$\therefore DC=AC=4$。
(2) 过点$D$作$DE ⊥ BC$于点$E$，
$\because AC ⊥ BC$，$∠ ACD=60°$，
$\therefore ∠ DCB = ∠ ACB - ∠ ACD = 90° - 60° = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中：
$DE = DC · \sin30° = 4 × \frac{1}{2} = 2$，
$CE = DC · \cos30° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$。
$\because BC=3\sqrt{3}$，
$\therefore BE = BC - CE = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：
$DB = \sqrt{DE^2 + BE^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{7}$。
答：线段$DC$的长度为$4$，线段$DB$的长度为$\sqrt{7}$。
(1) 由旋转的性质得：$AD=AC=4$，$∠ CAD=60°$，
$\therefore △ ACD$是等边三角形，
$\therefore DC=AC=4$。
(2) 过点$D$作$DE ⊥ BC$于点$E$，
$\because AC ⊥ BC$，$∠ ACD=60°$，
$\therefore ∠ DCB = ∠ ACB - ∠ ACD = 90° - 60° = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中：
$DE = DC · \sin30° = 4 × \frac{1}{2} = 2$，
$CE = DC · \cos30° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$。
$\because BC=3\sqrt{3}$，
$\therefore BE = BC - CE = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：
$DB = \sqrt{DE^2 + BE^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{7}$。
答：线段$DC$的长度为$4$，线段$DB$的长度为$\sqrt{7}$。
解析
【分析】
(1) 求解第一问时，先根据旋转的性质得到旋转后对应边相等、对应角相等，即$AD=AC$，$∠ CAD=60°$，再结合“有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形”，判定$△ ACD$为等边三角形，即可直接得到$DC$的长度。
(2) 求解第二问时，$DB$不在现成的直角三角形中，因此考虑作辅助线构造直角三角形：过$D$作$DE⊥ BC$。首先结合$AC⊥ BC$和等边三角形的内角为$60°$，算出$∠ DCB=30°$，再在$\mathrm{Rt}△ DCE$中用三角函数求出$DE$、$CE$的长度，进而得到$BE$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ BDE$中用勾股定理求出$DB$的长度即可。
【解析】
(1) 由旋转的性质得：$AD=AC=4$，$∠ CAD=60°$，
$\therefore △ ACD$是等边三角形，
$\therefore DC=AC=4$。
(2) 过点$D$作$DE ⊥ BC$于点$E$，
$\because AC ⊥ BC$，$△ ACD$是等边三角形，
$\therefore ∠ ACD=60°$，
$\therefore ∠ DCB = ∠ ACB - ∠ ACD = 90° - 60° = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中：
$DE = DC · \sin30° = 4 × \frac{1}{2} = 2$，
$CE = DC · \cos30° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$。
$\because BC=3\sqrt{3}$，
$\therefore BE = BC - CE = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：
$DB = \sqrt{DE^2 + BE^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{7}$。
【答案】
(1) $DC=4$；(2) $DB=\sqrt{7}$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形
【点评】
本题是常见的几何综合基础题，结合了旋转、特殊三角形、直角三角形的相关知识，解题核心是熟练掌握旋转的性质，学会通过作垂线构造直角三角形求解线段长度。
【难度系数】
0.7
(1) 求解第一问时，先根据旋转的性质得到旋转后对应边相等、对应角相等，即$AD=AC$，$∠ CAD=60°$，再结合“有一个角为$60°$的等腰三角形是等边三角形”，判定$△ ACD$为等边三角形，即可直接得到$DC$的长度。
(2) 求解第二问时，$DB$不在现成的直角三角形中，因此考虑作辅助线构造直角三角形：过$D$作$DE⊥ BC$。首先结合$AC⊥ BC$和等边三角形的内角为$60°$，算出$∠ DCB=30°$，再在$\mathrm{Rt}△ DCE$中用三角函数求出$DE$、$CE$的长度，进而得到$BE$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ BDE$中用勾股定理求出$DB$的长度即可。
【解析】
(1) 由旋转的性质得：$AD=AC=4$，$∠ CAD=60°$，
$\therefore △ ACD$是等边三角形，
$\therefore DC=AC=4$。
(2) 过点$D$作$DE ⊥ BC$于点$E$，
$\because AC ⊥ BC$，$△ ACD$是等边三角形，
$\therefore ∠ ACD=60°$，
$\therefore ∠ DCB = ∠ ACB - ∠ ACD = 90° - 60° = 30°$。
在$\mathrm{Rt}△ DCE$中：
$DE = DC · \sin30° = 4 × \frac{1}{2} = 2$，
$CE = DC · \cos30° = 4 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$。
$\because BC=3\sqrt{3}$，
$\therefore BE = BC - CE = 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
在$\mathrm{Rt}△ BDE$中，由勾股定理得：
$DB = \sqrt{DE^2 + BE^2} = \sqrt{2^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{7}$。
【答案】
(1) $DC=4$；(2) $DB=\sqrt{7}$
【知识点】
旋转的性质；等边三角形的判定与性质；解直角三角形
【点评】
本题是常见的几何综合基础题，结合了旋转、特殊三角形、直角三角形的相关知识，解题核心是熟练掌握旋转的性质，学会通过作垂线构造直角三角形求解线段长度。
【难度系数】
0.7
18.(9分)按要求在图16中画图.
(1)将△ABC向右平移7个单位长度,再向下平移4个单位长度,画出平移后的图形△A₁B₁C₁;
(2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°,画出旋转后的图形△AB₂C₂;
(3)连接CC₁,C₁C₂,CC₂,则△CC₁C₂的面积为.
(1)将△ABC向右平移7个单位长度,再向下平移4个单位长度,画出平移后的图形△A₁B₁C₁;
(2)将△ABC绕点A顺时针旋转90°,画出旋转后的图形△AB₂C₂;
(3)连接CC₁,C₁C₂,CC₂,则△CC₁C₂的面积为.
答案
解：
(1) 分别将点A、B、C向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，$△ A_1B_1C_1$即为所求平移后的图形；
(2) 分别将点B、C绕点A顺时针旋转$90°$，得到对应点$B_2$、$C_2$，顺次连接$AB_2$、$B_2C_2$、$C_2A$，$△ AB_2C_2$即为所求旋转后的图形；
(3) 15
(1) 分别将点A、B、C向右平移7个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到对应点$A_1$、$B_1$、$C_1$，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，$△ A_1B_1C_1$即为所求平移后的图形；
(2) 分别将点B、C绕点A顺时针旋转$90°$，得到对应点$B_2$、$C_2$，顺次连接$AB_2$、$B_2C_2$、$C_2A$，$△ AB_2C_2$即为所求旋转后的图形；
(3) 15
解析
【分析】
1. 平移作图：先确定△ABC三个顶点的坐标，根据平移的坐标变化规律（向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减），算出平移后对应点的坐标，描点后顺次连接即可得到平移后的图形。
2. 旋转作图：明确旋转中心为点A，旋转方向是顺时针，旋转角度为90°，分别求出点B、C绕点A旋转后的对应点坐标，描点后顺次连接即可得到旋转后的图形。
3. 三角形面积计算：先确定C、C₁、C₂三点的坐标，使用割补法，将目标三角形放入外接矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出△CC₁C₂的面积。
【解析】
首先确定△ABC各顶点坐标：A(-2,1)，B(-3,5)，C(-5,2)。
(1) 平移规则：向右平移7个单位横坐标+7，向下平移4个单位纵坐标-4，计算得对应点坐标：$A_1(5,-3)$，$B_1(4,1)$，$C_1(2,-2)$，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，得到平移后的△$A_1B_1C_1$。
(2) 绕点A顺时针旋转90°时，点相对A的坐标$(m,n)$旋转后变为$(n,-m)$：点B相对A的坐标为$(-1,4)$，旋转后得$B_2(2,2)$；点C相对A的坐标为$(-3,1)$，旋转后得$C_2(-1,4)$，顺次连接$AB_2$、$B_2C_2$、$C_2A$，得到旋转后的△$AB_2C_2$。
(3) 用割补法求面积：
包含△$CC_1C_2$的最小矩形长为7，宽为6，面积为$7×6=42$；
减去周围三个直角三角形的面积：$\frac{1}{2}×4×2=4$，$\frac{1}{2}×3×6=9$，$\frac{1}{2}×7×4=14$；
因此△$CC_1C_2$的面积为$42-4-9-14=15$。
【答案】
(1) 作图见解析；(2) 作图见解析；(3) $\boxed{15}$
【知识点】
平移作图，旋转作图，割补法求面积
【点评】
本题综合考查了图形的平移、旋转作图和格点图形面积计算，掌握平移、旋转的坐标变换规律，熟练运用割补法求解面积是解题的关键，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
1. 平移作图：先确定△ABC三个顶点的坐标，根据平移的坐标变化规律（向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减），算出平移后对应点的坐标，描点后顺次连接即可得到平移后的图形。
2. 旋转作图：明确旋转中心为点A，旋转方向是顺时针，旋转角度为90°，分别求出点B、C绕点A旋转后的对应点坐标，描点后顺次连接即可得到旋转后的图形。
3. 三角形面积计算：先确定C、C₁、C₂三点的坐标，使用割补法，将目标三角形放入外接矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积，即可求出△CC₁C₂的面积。
【解析】
首先确定△ABC各顶点坐标：A(-2,1)，B(-3,5)，C(-5,2)。
(1) 平移规则：向右平移7个单位横坐标+7，向下平移4个单位纵坐标-4，计算得对应点坐标：$A_1(5,-3)$，$B_1(4,1)$，$C_1(2,-2)$，顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，得到平移后的△$A_1B_1C_1$。
(2) 绕点A顺时针旋转90°时，点相对A的坐标$(m,n)$旋转后变为$(n,-m)$：点B相对A的坐标为$(-1,4)$，旋转后得$B_2(2,2)$；点C相对A的坐标为$(-3,1)$，旋转后得$C_2(-1,4)$，顺次连接$AB_2$、$B_2C_2$、$C_2A$，得到旋转后的△$AB_2C_2$。
(3) 用割补法求面积：
包含△$CC_1C_2$的最小矩形长为7，宽为6，面积为$7×6=42$；
减去周围三个直角三角形的面积：$\frac{1}{2}×4×2=4$，$\frac{1}{2}×3×6=9$，$\frac{1}{2}×7×4=14$；
因此△$CC_1C_2$的面积为$42-4-9-14=15$。
【答案】
(1) 作图见解析；(2) 作图见解析；(3) $\boxed{15}$
【知识点】
平移作图，旋转作图，割补法求面积
【点评】
本题综合考查了图形的平移、旋转作图和格点图形面积计算，掌握平移、旋转的坐标变换规律，熟练运用割补法求解面积是解题的关键，属于常考基础题型。
【难度系数】
0.7
19. (9分)如图17,4×4网格图都是由16个相同小正方形组成的,每个网格图中有4个小正方形已涂上阴影,请在空白小正方形中,按下列要求涂上阴影.
(1)在图17①中选取2个空白小正方形涂上阴影,使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形;
(2)在图17②中选取2个空白小正方形涂上阴影,使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形,但不是中心对称图形.
(1)在图17①中选取2个空白小正方形涂上阴影,使6个阴影小正方形组成一个中心对称图形;
(2)在图17②中选取2个空白小正方形涂上阴影,使6个阴影小正方形组成一个轴对称图形,但不是中心对称图形.
答案
解：
(1) 涂法示例：将图17①中第1行第1个空白小正方形、第4行第4个空白小正方形涂上阴影，所得6个阴影小正方形绕网格中心旋转180°后与自身完全重合，是中心对称图形，符合要求。（涂法不唯一，所有满足中心对称要求的涂法均正确）
(2) 涂法示例：将图17②中第1行第1个空白小正方形、第4行第3个空白小正方形涂上阴影，所得6个阴影小正方形沿网格左上到右下的对角线折叠后，对角线两侧部分完全重合，是轴对称图形，且绕网格中心旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，符合要求。（涂法不唯一，所有满足要求的涂法均正确）
(1) 涂法示例：将图17①中第1行第1个空白小正方形、第4行第4个空白小正方形涂上阴影，所得6个阴影小正方形绕网格中心旋转180°后与自身完全重合，是中心对称图形，符合要求。（涂法不唯一，所有满足中心对称要求的涂法均正确）
(2) 涂法示例：将图17②中第1行第1个空白小正方形、第4行第3个空白小正方形涂上阴影，所得6个阴影小正方形沿网格左上到右下的对角线折叠后，对角线两侧部分完全重合，是轴对称图形，且绕网格中心旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，符合要求。（涂法不唯一，所有满足要求的涂法均正确）
解析
【分析】
解题思路：先明确相关定义：中心对称图形是绕对称中心旋转180°后能与自身重合的图形；轴对称图形是沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合的图形。
(1) 先确定4×4网格的对称中心为网格正中心的点，要让添加2个阴影后的6个阴影构成中心对称图形，只需选取的2个空白小正方形关于该中心对称即可，保证整体旋转180°后所有阴影完全重合。
(2) 先选定一条对称轴（如网格对角线、水平/竖直中线等），选取的2个空白小正方形需关于该对称轴对称，同时保证整体图形绕中心旋转180°后无法与自身重合，即可满足“是轴对称但不是中心对称”的要求。
【解析】
(1) 4×4网格的对称中心为第二、三行的水平分界线与第二、三列的竖直分界线的交点，选取第1行第1列、第4行第4列的空白小正方形涂阴影，将所得图形绕网格中心旋转180°，所有阴影位置完全重合，符合中心对称图形的要求。
(2) 选定左上到右下的网格对角线为对称轴，选取第1行第1列、第4行第3列的空白小正方形涂阴影，沿该对角线折叠时阴影部分完全重合，符合轴对称图形要求；再绕网格中心旋转180°，阴影位置无法完全重合，因此不是中心对称图形，符合要求。
注：两小问涂法均不唯一，满足对应性质即可。
【答案】
(1) 涂法示例：将图17①中第1行第1个空白小正方形、第4行第4个空白小正方形涂上阴影，所得6个阴影小正方形绕网格中心旋转180°后与自身完全重合，是中心对称图形，符合要求。（涂法不唯一，所有满足中心对称要求的涂法均正确）
(2) 涂法示例：将图17②中第1行第1个空白小正方形、第4行第3个空白小正方形涂上阴影，所得6个阴影小正方形沿网格左上到右下的对角线折叠后，对角线两侧部分完全重合，是轴对称图形，且绕网格中心旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，符合要求。（涂法不唯一，所有满足要求的涂法均正确）
【知识点】
中心对称图形的判定；轴对称图形的判定
【点评】
本题属于开放性作图题，重点考查对中心对称、轴对称图形性质的理解与灵活应用，解题时需紧扣两类对称的定义，注意区分两类对称的差异，避免混淆概念导致错误。
【难度系数】
0.7
解题思路：先明确相关定义：中心对称图形是绕对称中心旋转180°后能与自身重合的图形；轴对称图形是沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能完全重合的图形。
(1) 先确定4×4网格的对称中心为网格正中心的点，要让添加2个阴影后的6个阴影构成中心对称图形，只需选取的2个空白小正方形关于该中心对称即可，保证整体旋转180°后所有阴影完全重合。
(2) 先选定一条对称轴（如网格对角线、水平/竖直中线等），选取的2个空白小正方形需关于该对称轴对称，同时保证整体图形绕中心旋转180°后无法与自身重合，即可满足“是轴对称但不是中心对称”的要求。
【解析】
(1) 4×4网格的对称中心为第二、三行的水平分界线与第二、三列的竖直分界线的交点，选取第1行第1列、第4行第4列的空白小正方形涂阴影，将所得图形绕网格中心旋转180°，所有阴影位置完全重合，符合中心对称图形的要求。
(2) 选定左上到右下的网格对角线为对称轴，选取第1行第1列、第4行第3列的空白小正方形涂阴影，沿该对角线折叠时阴影部分完全重合，符合轴对称图形要求；再绕网格中心旋转180°，阴影位置无法完全重合，因此不是中心对称图形，符合要求。
注：两小问涂法均不唯一，满足对应性质即可。
【答案】
(1) 涂法示例：将图17①中第1行第1个空白小正方形、第4行第4个空白小正方形涂上阴影，所得6个阴影小正方形绕网格中心旋转180°后与自身完全重合，是中心对称图形，符合要求。（涂法不唯一，所有满足中心对称要求的涂法均正确）
(2) 涂法示例：将图17②中第1行第1个空白小正方形、第4行第3个空白小正方形涂上阴影，所得6个阴影小正方形沿网格左上到右下的对角线折叠后，对角线两侧部分完全重合，是轴对称图形，且绕网格中心旋转180°后无法与自身重合，不是中心对称图形，符合要求。（涂法不唯一，所有满足要求的涂法均正确）
【知识点】
中心对称图形的判定；轴对称图形的判定
【点评】
本题属于开放性作图题，重点考查对中心对称、轴对称图形性质的理解与灵活应用，解题时需紧扣两类对称的定义，注意区分两类对称的差异，避免混淆概念导致错误。
【难度系数】
0.7
