20. (9分)如图18,在△ABC中,点D在AB边上,CB=CD,将边CA绕点C旋转到CE的位置,使得∠ECA=∠DCB,连接DE与AC交于点F,且∠B=70°,∠A=10°.
(1)求证:AB=ED;
(2)求∠AFE的度数.

(1) 证明如上；(2) $\boldsymbol{∠ AFE = 50°}$

【分析】
(1) 要证明AB=ED，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。已知∠ECA=∠DCB，两角同时加公共角∠ACD可推出∠ACB=∠ECD；结合旋转的性质可得CA=CE，再结合已知CB=CD，即可用“SAS”判定△ABC≌△EDC，从而得到对应边相等。
(2) 求∠AFE的度数，先根据等腰三角形等边对等角的性质求出∠BCD的度数，再结合全等三角形对应角相等的性质得到相关角的度数，最后利用三角形内角和定理、对顶角相等即可计算出结果。
【解析】
(1) 证明：
∵ ∠ECA=∠DCB，
∴ ∠ECA + ∠ACD = ∠DCB + ∠ACD，即$\boldsymbol{∠ACB=∠ECD}$。
∵ 边CA绕点C旋转到CE的位置，
∴ $\boldsymbol{CA=CE}$。
在△ABC和△EDC中：
$\{\begin{array}{l}CB=CD \\∠ACB=∠ECD \\CA=CE\end{array} $
∴ △ABC≌△EDC（SAS），
∴ AB=ED。
(2) 解：
∵ CB=CD，∠B=70°，
∴ ∠CDB=∠B=70°，
∴ ∠BCD=180° - ∠B - ∠CDB = 180° - 70° - 70° = 40°，
∴ ∠ECA=∠DCB=40°。
由(1)的全等可得$\boldsymbol{∠CDE=∠B=70°}$。
在△ABC中，∠ACB=180° - ∠A - ∠B = 180° - 10° - 70° = 100°，
∴ ∠ACD=∠ACB - ∠BCD = 100° - 40° = 60°。
在△DFC中，∠DFC=180° - ∠CDE - ∠ACD = 180° - 70° - 60° = 50°，
∵ ∠AFE与∠DFC是对顶角，
∴ ∠AFE=∠DFC=50°。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{∠AFE=50°}$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题属于几何综合基础题，解题的关键是通过角的和差关系得到全等判定需要的等角条件，再结合等腰三角形、全等三角形的性质逐步推导所求角度。
【难度系数】
0.7

21. (10分)如图19,在正方形ABCD中,AB=2,对角线AC与BD相交于点O,点E在线段AO上(与端点不重合),线段EB绕点E逆时针旋转90°到EF的位置,点F恰好落在线段CD上,FH⊥AC,垂足为H.
(1)求证:△OBE≌△HEF;
(2)设OE=x,求OE²−CF的最小值.

(1) 证明：
由旋转的性质得：$BE=EF$，$∠ BEF=90°$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，对角线$AC$、$BD$交于点$O$，
∴ $OB⊥ AC$，即$∠ BOE=90°$，
∵ $FH⊥ AC$，∴ $∠ FHE=90°$，
∴ $∠ OBE + ∠ OEB = 90°$，
又∵ $∠ HEF + ∠ OEB = 180° - ∠ BEF = 90°$，
∴ $∠ OBE = ∠ HEF$。
在$△ OBE$和$△ HEF$中：
$\begin{cases}∠ BOE = ∠ EHF = 90° \\∠ OBE = ∠ HEF \\BE = EF\end{cases}$
∴ $△ OBE ≌ △ HEF \ (\mathrm{AAS})$。
---
(2) 解：
∵ 正方形$ABCD$中，$AB=2$，
∴ 对角线$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=2\sqrt{2}$，
由正方形对角线的性质得：$OB=OC=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，$∠ OCF=45°$。
由$△ OBE ≌ △ HEF$，得$FH=OE=x$。
∵ $∠ FHC=90°$，$∠ FCH=45°$，
∴ $△ FHC$是等腰直角三角形，
∴ $CF=\sqrt{2}FH=\sqrt{2}x$。
设$y=OE^2 - CF$，代入得：
$y=x^2 - \sqrt{2}x$，
配方得：$y=(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \frac{1}{2}$。
∵ 点$E$在线段$AO$上且不与端点重合，$AO=\sqrt{2}$，
∴ $0＜x＜\sqrt{2}$，
∴ 当$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$y$取得最小值$-\frac{1}{2}$。
即$OE^2 - CF$的最小值为$\boldsymbol{-\frac{1}{2}}$。

【分析】
(1) 要证明△OBE≌△HEF，先由旋转性质得BE=EF、∠BEF=90°，再结合正方形对角线互相垂直的性质和FH⊥AC的条件，可得两个三角形均为直角三角形，再利用同角的余角相等证明一组锐角相等，即可通过AAS判定全等。(2) 求OE²−CF的最小值，需先将CF用含OE=x的式子表示：利用(1)的全等结论得FH=OE=x，结合正方形中∠ACD=45°可知△FHC为等腰直角三角形，可推出CF=√2 x，再构造关于x的二次函数，配方后结合x的取值范围即可求出最小值。
【解析】
(1) 证明：
由旋转的性质得：$BE=EF$，$∠ BEF=90°$。
∵ 四边形$ABCD$是正方形，对角线$AC$、$BD$交于点$O$，
∴ $OB⊥ AC$，即$∠ BOE=90°$，
∵ $FH⊥ AC$，
∴ $∠ FHE=90°$，
∴ $∠ OBE + ∠ OEB = 90°$，
又
∵ $∠ HEF + ∠ OEB = 180° - ∠ BEF = 90°$，
∴ $∠ OBE = ∠ HEF$。
在$△ OBE$和$△ HEF$中：
$\begin{cases}∠ BOE = ∠ EHF = 90° \\∠ OBE = ∠ HEF \\BE = EF\end{cases}$
∴ $△ OBE ≌ △ HEF \ (\mathrm{AAS})$。
(2) 解：
∵ 正方形$ABCD$中，$AB=2$，
∴ 对角线$AC=\sqrt{AB^2 + BC^2}=2\sqrt{2}$，
由正方形对角线的性质得：$OB=OC=\frac{1}{2}AC=\sqrt{2}$，$∠ OCF=45°$。
由$△ OBE ≌ △ HEF$，得$FH=OE=x$。
∵ $∠ FHC=90°$，$∠ FCH=45°$，
∴ $△ FHC$是等腰直角三角形，
∴ $CF=\sqrt{2}FH=\sqrt{2}x$。
设$y=OE^2 - CF$，代入得：
$y=x^2 - \sqrt{2}x$，
配方得：$y=(x-\frac{\sqrt{2}}{2})^2 - \frac{1}{2}$。
∵ 点$E$在线段$AO$上且不与端点重合，$AO=\sqrt{2}$，
∴ $0＜x＜\sqrt{2}$，
∴ 当$x=\frac{\sqrt{2}}{2}$时，$y$取得最小值$-\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{-\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
正方形的性质，全等三角形的判定，二次函数的最值
【点评】
本题综合考察几何性质与代数运算，第一问侧重基础的全等判定逻辑，第二问需要将几何线段的数量关系转化为二次函数模型求解，体现了数形结合的思想，能较好的考察学生知识综合运用的能力。
【难度系数】
0.6