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22. (10分)如图20,在平面直角坐标系xOy中,△ABC的顶点分别为A(1,1),B(2,4),C(4,2).
(1)画出△ABC关于原点O对称的△A₁B₁C₁;
(2)点C关于x轴的对称点C₂的坐标为;
(3)点C₂向左平移m个单位长度后,落在△A₁B₁C₁内部,写出一个满足条件的m的值:.
(1)画出△ABC关于原点O对称的△A₁B₁C₁;
(2)点C关于x轴的对称点C₂的坐标为;
(3)点C₂向左平移m个单位长度后,落在△A₁B₁C₁内部,写出一个满足条件的m的值:.
答案
解：
(1) 分别求出点A、B、C关于原点O对称的点：$A_1(-1,-1)$，$B_1(-2,-4)$，$C_1(-4,-2)$，在坐标系中描出三点，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 点$C(4,2)$关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，故$C_2$的坐标为$\boldsymbol{(4,-2)}$；
(3) 点$C_2$向左平移$m$个单位后坐标为$(4-m,-2)$，结合$△ A_1B_1C_1$的位置，可得$m$的取值范围为$\frac{16}{3}＜m＜8$，取该范围内任意值均符合要求，例如$\boldsymbol{6}$（答案不唯一）。
(1) 分别求出点A、B、C关于原点O对称的点：$A_1(-1,-1)$，$B_1(-2,-4)$，$C_1(-4,-2)$，在坐标系中描出三点，依次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，即可得到$△ A_1B_1C_1$。
(2) 点$C(4,2)$关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标为原纵坐标的相反数，故$C_2$的坐标为$\boldsymbol{(4,-2)}$；
(3) 点$C_2$向左平移$m$个单位后坐标为$(4-m,-2)$，结合$△ A_1B_1C_1$的位置，可得$m$的取值范围为$\frac{16}{3}＜m＜8$，取该范围内任意值均符合要求，例如$\boldsymbol{6}$（答案不唯一）。
解析
【分析】
(1) 要画出△ABC关于原点O对称的△A₁B₁C₁，首先利用关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均为原坐标的相反数，先求出A、B、C三点的对称点坐标，再描点、顺次连线即可得到所求图形。
(2) 求点C关于x轴的对称点C₂的坐标，利用关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数，代入C点坐标直接计算即可。
(3) 先根据平移规律得到C₂向左平移m个单位后的坐标，再结合△A₁B₁C₁的位置确定平移后点的横坐标的取值范围，进而得到m的取值范围，在范围内任取一个符合要求的值即可。
【解析】
(1) 根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$，可得：
$A(1,1)$的对称点$A_1(-1,-1)$，$B(2,4)$的对称点$B_1(-2,-4)$，$C(4,2)$的对称点$C_1(-4,-2)$；
在平面直角坐标系中分别描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，再顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，所得$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于x轴对称的点为$(x,-y)$，已知$C(4,2)$，因此$C_2$的横坐标为4，纵坐标为$-2$，即$C_2$坐标为$(4,-2)$。
(3) 点$C_2(4,-2)$向左平移$m$个单位长度后，横坐标变为$4-m$，纵坐标不变，得到的点坐标为$(4-m,-2)$；结合$△ A_1B_1C_1$的位置，可得平移后的点落在$△ A_1B_1C_1$内部时，$m$的取值范围为$\frac{16}{3}＜m＜8$，在该范围内任取一个值即可，例如$m=6$。
【答案】
(1) 见解析作图；
(2) $\boldsymbol{(4,-2)}$；
(3) $\boldsymbol{6}$（答案不唯一，满足$\frac{16}{3}＜m＜8$即可）
【知识点】
关于原点对称的点的坐标，关于x轴对称的点的坐标，坐标与图形变化-平移
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的对称、平移相关的坐标变化规律，属于基础题型，前两问直接考查坐标变化的基本规律，第三问为开放性问题，需结合图形位置确定参数范围，考查学生的数形结合能力，整体难度较低。
【难度系数】
0.7
(1) 要画出△ABC关于原点O对称的△A₁B₁C₁，首先利用关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均为原坐标的相反数，先求出A、B、C三点的对称点坐标，再描点、顺次连线即可得到所求图形。
(2) 求点C关于x轴的对称点C₂的坐标，利用关于x轴对称的点的坐标规律：横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数，代入C点坐标直接计算即可。
(3) 先根据平移规律得到C₂向左平移m个单位后的坐标，再结合△A₁B₁C₁的位置确定平移后点的横坐标的取值范围，进而得到m的取值范围，在范围内任取一个符合要求的值即可。
【解析】
(1) 根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$，可得：
$A(1,1)$的对称点$A_1(-1,-1)$，$B(2,4)$的对称点$B_1(-2,-4)$，$C(4,2)$的对称点$C_1(-4,-2)$；
在平面直角坐标系中分别描出$A_1$、$B_1$、$C_1$三点，再顺次连接$A_1B_1$、$B_1C_1$、$C_1A_1$，所得$△ A_1B_1C_1$即为所求。
(2) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于x轴对称的点为$(x,-y)$，已知$C(4,2)$，因此$C_2$的横坐标为4，纵坐标为$-2$，即$C_2$坐标为$(4,-2)$。
(3) 点$C_2(4,-2)$向左平移$m$个单位长度后，横坐标变为$4-m$，纵坐标不变，得到的点坐标为$(4-m,-2)$；结合$△ A_1B_1C_1$的位置，可得平移后的点落在$△ A_1B_1C_1$内部时，$m$的取值范围为$\frac{16}{3}＜m＜8$，在该范围内任取一个值即可，例如$m=6$。
【答案】
(1) 见解析作图；
(2) $\boldsymbol{(4,-2)}$；
(3) $\boldsymbol{6}$（答案不唯一，满足$\frac{16}{3}＜m＜8$即可）
【知识点】
关于原点对称的点的坐标，关于x轴对称的点的坐标，坐标与图形变化-平移
【点评】
本题考查平面直角坐标系中图形的对称、平移相关的坐标变化规律，属于基础题型，前两问直接考查坐标变化的基本规律，第三问为开放性问题，需结合图形位置确定参数范围，考查学生的数形结合能力，整体难度较低。
【难度系数】
0.7
23. (11分)如图21,已知直线MN是线段BC的垂直平分线,垂足为O,P为射线OM上的一点,连接BP,PC.将线段PB绕点P逆时针旋转,得到线段PQ(PQ与PC不重合),旋转角为α(0°＜α＜180°),直线CQ交MN于点D.
(1)如图21①,当α=30°,且点P与点O重合时,求∠CDM的度数.
(2)如图21②,且点P与点O不重合.①当α=120°时,求∠CDM的度数;②用含α的代数式表示∠CDM的度数.
(1)如图21①,当α=30°,且点P与点O重合时,求∠CDM的度数.
(2)如图21②,且点P与点O不重合.①当α=120°时,求∠CDM的度数;②用含α的代数式表示∠CDM的度数.
答案
解：
(1) 当点P与点O重合时，由旋转性质得 $OB=OQ$，$∠ BOQ=α=30°$。
∵ 直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴ $OB=OC$，$MN⊥ BC$，
∴ $OC=OQ$，$∠ COQ=180°-∠ BOQ=150°$，
在等腰$△ OCQ$中，$∠ OCQ=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
∵ $∠ COD=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ COD$中，$∠ CDM=90°-∠ OCQ=75°$。
(2) ① 当$α=120°$时：
∵ 直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴ $PB=PC$，$MN⊥ BC$，
由旋转性质得 $PB=PQ$，$∠ BPQ=α=120°$，
∴ $PB=PC=PQ$。
在等腰$△ PBC$中，$∠ PCB=\frac{180°-∠ BPC}{2}$，
在等腰$△ PQC$中，$∠ PCQ=\frac{180°-∠ CPQ}{2}$，
∴ $∠ PCB+∠ PCQ=\frac{180°-∠ BPC+180°-∠ CPQ}{2}=\frac{360°-(∠ BPC+∠ CPQ)}{2}$，
又∵ $∠ BPC+∠ CPQ=∠ BPQ=120°$，
∴ $∠ PCB+∠ PCQ=\frac{360°-120°}{2}=120°$，即$∠ BCQ=120°$，
∴ $∠ OCD=180°-∠ BCQ=60°$，
∵ $∠ COD=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ COD$中，$∠ CDM=90°-∠ OCD=30°$。
② 同理推导可得：
$∠ PCB+∠ PCQ=\frac{360°-(∠ BPC+∠ CPQ)}{2}=\frac{360°-α}{2}=180°-\frac{α}{2}$，
即$∠ BCQ=180°-\frac{α}{2}$，
∴ $∠ OCD=180°-∠ BCQ=\frac{α}{2}$，
∵ $∠ COD=90°$，
∴ $∠ CDM=90°-∠ OCD=90°-\frac{α}{2}$。
综上，(1) $∠ CDM=75°$；(2) ① $∠ CDM=30°$；② $∠ CDM=90°-\frac{α}{2}$。
(1) 当点P与点O重合时，由旋转性质得 $OB=OQ$，$∠ BOQ=α=30°$。
∵ 直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴ $OB=OC$，$MN⊥ BC$，
∴ $OC=OQ$，$∠ COQ=180°-∠ BOQ=150°$，
在等腰$△ OCQ$中，$∠ OCQ=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
∵ $∠ COD=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ COD$中，$∠ CDM=90°-∠ OCQ=75°$。
(2) ① 当$α=120°$时：
∵ 直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴ $PB=PC$，$MN⊥ BC$，
由旋转性质得 $PB=PQ$，$∠ BPQ=α=120°$，
∴ $PB=PC=PQ$。
在等腰$△ PBC$中，$∠ PCB=\frac{180°-∠ BPC}{2}$，
在等腰$△ PQC$中，$∠ PCQ=\frac{180°-∠ CPQ}{2}$，
∴ $∠ PCB+∠ PCQ=\frac{180°-∠ BPC+180°-∠ CPQ}{2}=\frac{360°-(∠ BPC+∠ CPQ)}{2}$，
又∵ $∠ BPC+∠ CPQ=∠ BPQ=120°$，
∴ $∠ PCB+∠ PCQ=\frac{360°-120°}{2}=120°$，即$∠ BCQ=120°$，
∴ $∠ OCD=180°-∠ BCQ=60°$，
∵ $∠ COD=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ COD$中，$∠ CDM=90°-∠ OCD=30°$。
② 同理推导可得：
$∠ PCB+∠ PCQ=\frac{360°-(∠ BPC+∠ CPQ)}{2}=\frac{360°-α}{2}=180°-\frac{α}{2}$，
即$∠ BCQ=180°-\frac{α}{2}$，
∴ $∠ OCD=180°-∠ BCQ=\frac{α}{2}$，
∵ $∠ COD=90°$，
∴ $∠ CDM=90°-∠ OCD=90°-\frac{α}{2}$。
综上，(1) $∠ CDM=75°$；(2) ① $∠ CDM=30°$；② $∠ CDM=90°-\frac{α}{2}$。
解析
【分析】
(1) 解题思路：当点P与O重合时，首先根据旋转性质得到相等线段和旋转角，再结合线段垂直平分线的性质得到OC=OQ，先求出等腰△OCQ的底角度数，最后在Rt△COD中利用直角三角形两锐角互余的性质计算∠CDM即可。
(2) ①解题思路：先由线段垂直平分线性质得PB=PC，结合旋转性质得PB=PQ，进而推出PB=PC=PQ，分别表示出两个等腰△PBC、△PQC的底角，将两个底角求和得到∠BCQ的度数，再求出∠OCD，最后在Rt△COD中计算∠CDM；②将①中具体的旋转角120°替换为α，沿用①的推导逻辑，即可归纳得出用α表示∠CDM的代数式。
【解析】
(1) 当点P与点O重合时，由旋转性质得 $OB=OQ$，$∠ BOQ=α=30°$。
∵ 直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴ $OB=OC$，$MN⊥ BC$，
∴ $OC=OQ$，$∠ COQ=180°-∠ BOQ=150°$，
在等腰$△ OCQ$中，$∠ OCQ=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
∵ $∠ COD=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ COD$中，$∠ CDM=90°-∠ OCQ=75°$。
(2) ① 当$α=120°$时：
∵ 直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴ $PB=PC$，$MN⊥ BC$，
由旋转性质得 $PB=PQ$，$∠ BPQ=α=120°$，
∴ $PB=PC=PQ$。
在等腰$△ PBC$中，$∠ PCB=\frac{180°-∠ BPC}{2}$，
在等腰$△ PQC$中，$∠ PCQ=\frac{180°-∠ CPQ}{2}$，
∴ $∠ PCB+∠ PCQ=\frac{180°-∠ BPC+180°-∠ CPQ}{2}=\frac{360°-(∠ BPC+∠ CPQ)}{2}$，
又
∵ $∠ BPC+∠ CPQ=∠ BPQ=120°$，
∴ $∠ PCB+∠ PCQ=\frac{360°-120°}{2}=120°$，即$∠ BCQ=120°$，
∴ $∠ OCD=180°-∠ BCQ=60°$，
∵ $∠ COD=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ COD$中，$∠ CDM=90°-∠ OCD=30°$。
② 同理推导可得：
$∠ PCB+∠ PCQ=\frac{360°-(∠ BPC+∠ CPQ)}{2}=\frac{360°-α}{2}=180°-\frac{α}{2}$，
即$∠ BCQ=180°-\frac{α}{2}$，
∴ $∠ OCD=180°-∠ BCQ=\frac{α}{2}$，
∵ $∠ COD=90°$，
∴ $∠ CDM=90°-∠ OCD=90°-\frac{α}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{75°}$；(2) ① $\boxed{30°}$；② $\boxed{90°-\dfrac{α}{2}}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类角度计算题，解题关键是抓住垂直平分线、旋转带来的等线段条件，转化为等腰三角形的角度关系推导，能够有效考查逻辑推理能力和角度运算的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 解题思路：当点P与O重合时，首先根据旋转性质得到相等线段和旋转角，再结合线段垂直平分线的性质得到OC=OQ，先求出等腰△OCQ的底角度数，最后在Rt△COD中利用直角三角形两锐角互余的性质计算∠CDM即可。
(2) ①解题思路：先由线段垂直平分线性质得PB=PC，结合旋转性质得PB=PQ，进而推出PB=PC=PQ，分别表示出两个等腰△PBC、△PQC的底角，将两个底角求和得到∠BCQ的度数，再求出∠OCD，最后在Rt△COD中计算∠CDM；②将①中具体的旋转角120°替换为α，沿用①的推导逻辑，即可归纳得出用α表示∠CDM的代数式。
【解析】
(1) 当点P与点O重合时，由旋转性质得 $OB=OQ$，$∠ BOQ=α=30°$。
∵ 直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴ $OB=OC$，$MN⊥ BC$，
∴ $OC=OQ$，$∠ COQ=180°-∠ BOQ=150°$，
在等腰$△ OCQ$中，$∠ OCQ=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
∵ $∠ COD=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ COD$中，$∠ CDM=90°-∠ OCQ=75°$。
(2) ① 当$α=120°$时：
∵ 直线MN是线段BC的垂直平分线，
∴ $PB=PC$，$MN⊥ BC$，
由旋转性质得 $PB=PQ$，$∠ BPQ=α=120°$，
∴ $PB=PC=PQ$。
在等腰$△ PBC$中，$∠ PCB=\frac{180°-∠ BPC}{2}$，
在等腰$△ PQC$中，$∠ PCQ=\frac{180°-∠ CPQ}{2}$，
∴ $∠ PCB+∠ PCQ=\frac{180°-∠ BPC+180°-∠ CPQ}{2}=\frac{360°-(∠ BPC+∠ CPQ)}{2}$，
又
∵ $∠ BPC+∠ CPQ=∠ BPQ=120°$，
∴ $∠ PCB+∠ PCQ=\frac{360°-120°}{2}=120°$，即$∠ BCQ=120°$，
∴ $∠ OCD=180°-∠ BCQ=60°$，
∵ $∠ COD=90°$，
∴ 在$\mathrm{Rt}△ COD$中，$∠ CDM=90°-∠ OCD=30°$。
② 同理推导可得：
$∠ PCB+∠ PCQ=\frac{360°-(∠ BPC+∠ CPQ)}{2}=\frac{360°-α}{2}=180°-\frac{α}{2}$，
即$∠ BCQ=180°-\frac{α}{2}$，
∴ $∠ OCD=180°-∠ BCQ=\frac{α}{2}$，
∵ $∠ COD=90°$，
∴ $∠ CDM=90°-∠ OCD=90°-\frac{α}{2}$。
【答案】
(1) $\boxed{75°}$；(2) ① $\boxed{30°}$；② $\boxed{90°-\dfrac{α}{2}}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；旋转的性质；等腰三角形的性质
【点评】
本题是几何综合类角度计算题，解题关键是抓住垂直平分线、旋转带来的等线段条件，转化为等腰三角形的角度关系推导，能够有效考查逻辑推理能力和角度运算的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
