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1. 如图
,在矩形ABCD中,已知AB=3,BC=4,点P是BC边上一动点(点P不与点B,C重合),连接AP,作点B关于直线AP的对称点M,则线段MC的最小值为 ()
A.$2$
B.$\frac{5}{2}$
C.$3$
D.$\sqrt{10}$
,在矩形ABCD中,已知AB=3,BC=4,点P是BC边上一动点(点P不与点B,C重合),连接AP,作点B关于直线AP的对称点M,则线段MC的最小值为 ()A.$2$
B.$\frac{5}{2}$
C.$3$
D.$\sqrt{10}$
答案
A
解析
【分析】
首先根据轴对称的性质可知，点M到点A的距离始终等于AB的长度，因此可确定点M的运动轨迹是以A为圆心、AB长为半径的圆；要求线段MC的最小值，可转化为求定点C到这个圆上的点的最短距离，根据点与圆的位置关系，圆外一点到圆上点的最短距离等于该点到圆心的距离减去半径，因此先利用勾股定理求出AC的长度，再减去半径即可得到MC的最小值。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4
∴ ∠ABC=90°，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵ 点M是点B关于直线AP的对称点
∴ $AM=AB=3$，即点M在以A为圆心，3为半径的圆上运动
根据点与圆的位置关系，当A、M、C三点共线时，线段MC的长度最小
此时 $MC_{min}=AC - AM=5-3=2$
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题解题的核心是通过轴对称性质确定动点M的运动轨迹，将动态的线段最值问题转化为静态的点到圆的最短距离问题，考查了转化思想和对几何基本性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
首先根据轴对称的性质可知，点M到点A的距离始终等于AB的长度，因此可确定点M的运动轨迹是以A为圆心、AB长为半径的圆；要求线段MC的最小值，可转化为求定点C到这个圆上的点的最短距离，根据点与圆的位置关系，圆外一点到圆上点的最短距离等于该点到圆心的距离减去半径，因此先利用勾股定理求出AC的长度，再减去半径即可得到MC的最小值。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，AB=3，BC=4
∴ ∠ABC=90°，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$
∵ 点M是点B关于直线AP的对称点
∴ $AM=AB=3$，即点M在以A为圆心，3为半径的圆上运动
根据点与圆的位置关系，当A、M、C三点共线时，线段MC的长度最小
此时 $MC_{min}=AC - AM=5-3=2$
【答案】
A
【知识点】
轴对称的性质，勾股定理，点与圆的位置关系
【点评】
本题解题的核心是通过轴对称性质确定动点M的运动轨迹，将动态的线段最值问题转化为静态的点到圆的最短距离问题，考查了转化思想和对几何基本性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
2. 如图2,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ C=90°,AC=3$.将其绕$B$点顺时针旋转一周,则分别以$BA,BC$为半径的圆形成一圆环.则该圆环的面积为.
答案
$\boldsymbol{9π}$
解析
【分析】
解题时首先明确圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积，本题中外圆半径为旋转的BA长，内圆半径为BC长，因此圆环面积可表示为$π(BA^2 - BC^2)$。再结合已知$\mathrm{Rt}△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得$BA^2 - BC^2=AC^2$，已知AC的长度，直接整体代入即可求出圆环面积，无需单独求解BA、BC的长度。
【解析】
圆环的面积计算公式为：
$S_{\mathrm{圆环}} = S_{\mathrm{外圆}} - S_{\mathrm{内圆}}$
由题意可知外圆半径$R=BA$，内圆半径$r=BC$，代入得：
$S_{\mathrm{圆环}}=π R^2 - π r^2=π(BA^2 - BC^2)$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$BA^2=AC^2 + BC^2$
移项可得$BA^2 - BC^2=AC^2$
已知$AC=3$，因此$AC^2=3^2=9$，代入上式得：
$S_{\mathrm{圆环}}=π × 9=9π$
【答案】
$9π$
【知识点】
圆环面积计算，勾股定理
【点评】
本题考查了整体思想在几何计算中的应用，无需分别求出两条半径的长度，借助勾股定理直接得到半径的平方差即可快速求解，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积，本题中外圆半径为旋转的BA长，内圆半径为BC长，因此圆环面积可表示为$π(BA^2 - BC^2)$。再结合已知$\mathrm{Rt}△ ABC$是直角三角形，$∠ C=90°$，根据勾股定理可得$BA^2 - BC^2=AC^2$，已知AC的长度，直接整体代入即可求出圆环面积，无需单独求解BA、BC的长度。
【解析】
圆环的面积计算公式为：
$S_{\mathrm{圆环}} = S_{\mathrm{外圆}} - S_{\mathrm{内圆}}$
由题意可知外圆半径$R=BA$，内圆半径$r=BC$，代入得：
$S_{\mathrm{圆环}}=π R^2 - π r^2=π(BA^2 - BC^2)$
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据勾股定理：
$BA^2=AC^2 + BC^2$
移项可得$BA^2 - BC^2=AC^2$
已知$AC=3$，因此$AC^2=3^2=9$，代入上式得：
$S_{\mathrm{圆环}}=π × 9=9π$
【答案】
$9π$
【知识点】
圆环面积计算，勾股定理
【点评】
本题考查了整体思想在几何计算中的应用，无需分别求出两条半径的长度，借助勾股定理直接得到半径的平方差即可快速求解，有效简化了计算过程。
【难度系数】
0.7
3. 在平面直角坐标系中,横坐标和纵坐标都是整数的点称为格点.已知一个圆的圆心在原点,半径等于5,那么这个圆上的格点有个.
答案
$\boldsymbol{12}$
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确圆心在原点、半径为5的圆上的点满足关系：点$(x,y)$在圆上等价于$x^2+y^2=25$，我们需要找出所有$x$、$y$均为整数的解。解题时可分类讨论：先找坐标轴上的格点，再找四个象限内的格点，最后统计总数即可，注意要考虑$x$、$y$的正负情况，避免漏解。
【解析】
圆心在原点、半径为5的圆上任意点$(x,y)$满足等式：
$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$
我们需要找出所有整数$x$、$y$满足上述等式：
1. 坐标轴上的格点：
当$x=0$时，$y^2=25$，解得$y=\pm5$，对应点为$(0,5)、(0,-5)$，共2个；
当$y=0$时，$x^2=25$，解得$x=\pm5$，对应点为$(5,0)、(-5,0)$，共2个；
坐标轴上合计4个格点。
2. 四个象限内的格点：
此时$x≠0$且$y≠0$，找正整数解：因为$3^2+4^2=9+16=25$，所以正整数解为$\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}$和$\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}$。
结合$x$、$y$的正负性：
对应$\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}$的格点有$(±3,±4)$，共4个；
对应$\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}$的格点有$(±4,±3)$，共4个；
象限内合计8个格点。
总格点数量：$4+8=12$个。
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 勾股定理
3. 平面直角坐标系
【点评】
本题解题核心是利用圆上点的特征转化为方程求整数解，需要运用分类讨论思想，分别统计坐标轴和象限内的格点，要注意正负值对应不同的点，避免漏算或重复计算。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确圆心在原点、半径为5的圆上的点满足关系：点$(x,y)$在圆上等价于$x^2+y^2=25$，我们需要找出所有$x$、$y$均为整数的解。解题时可分类讨论：先找坐标轴上的格点，再找四个象限内的格点，最后统计总数即可，注意要考虑$x$、$y$的正负情况，避免漏解。
【解析】
圆心在原点、半径为5的圆上任意点$(x,y)$满足等式：
$x^2 + y^2 = 5^2 = 25$
我们需要找出所有整数$x$、$y$满足上述等式：
1. 坐标轴上的格点：
当$x=0$时，$y^2=25$，解得$y=\pm5$，对应点为$(0,5)、(0,-5)$，共2个；
当$y=0$时，$x^2=25$，解得$x=\pm5$，对应点为$(5,0)、(-5,0)$，共2个；
坐标轴上合计4个格点。
2. 四个象限内的格点：
此时$x≠0$且$y≠0$，找正整数解：因为$3^2+4^2=9+16=25$，所以正整数解为$\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}$和$\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}$。
结合$x$、$y$的正负性：
对应$\begin{cases}x=3\\y=4\end{cases}$的格点有$(±3,±4)$，共4个；
对应$\begin{cases}x=4\\y=3\end{cases}$的格点有$(±4,±3)$，共4个；
象限内合计8个格点。
总格点数量：$4+8=12$个。
【答案】
$\boldsymbol{12}$
【知识点】
1. 圆的基本性质
2. 勾股定理
3. 平面直角坐标系
【点评】
本题解题核心是利用圆上点的特征转化为方程求整数解，需要运用分类讨论思想，分别统计坐标轴和象限内的格点，要注意正负值对应不同的点，避免漏算或重复计算。
【难度系数】
0.7
1. (2025·宜宾)如图3，AB是$\odot O$的弦，半径$OC ⊥ AB$于点D. 若$AB=8$，$OC=5$，则$OD$的长是 ()
A.3
B.2
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
A.3
B.2
C.6
D.$\dfrac{5}{2}$
答案
A
解析
【分析】
解题时首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。已知OC⊥AB，可先求出弦AB一半的长度；接着连接半径OA，构造出直角三角形OAD，再结合勾股定理即可求出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵OC是⊙O的半径，
∴OA=OC=5，
∵OC⊥AB，AB=8，根据垂径定理可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
在$Rt△ OAD$中，$∠ ODA=90°$，由勾股定理得：
$OD^2 + AD^2 = OA^2$，
代入数值计算：$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的关键是连接半径构造直角三角形，将垂径定理和勾股定理结合求解，是圆章节的常见考题。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。已知OC⊥AB，可先求出弦AB一半的长度；接着连接半径OA，构造出直角三角形OAD，再结合勾股定理即可求出OD的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵OC是⊙O的半径，
∴OA=OC=5，
∵OC⊥AB，AB=8，根据垂径定理可得：
$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4$，
在$Rt△ OAD$中，$∠ ODA=90°$，由勾股定理得：
$OD^2 + AD^2 = OA^2$，
代入数值计算：$OD=\sqrt{OA^2 - AD^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆的基础应用题，解题的关键是连接半径构造直角三角形，将垂径定理和勾股定理结合求解，是圆章节的常见考题。
【难度系数】
0.8
2. 如图4，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E。若$AC=4\sqrt{2}$，DE=4，则BC的长是（）
A.1
$B.\sqrt{2}$
C.2
D.4
A.1
$B.\sqrt{2}$
C.2
D.4
答案
C
解析
【分析】
解题时先从已知条件出发，结合相关定理逐步推导：①AB是圆的直径，可推出直径所对的圆周角∠ACB为直角；②OD垂直弦AC，根据垂径定理可得D是AC中点，结合O是AB中点，可判断OD是△ABC的中位线，即BC=2OD，因此只要算出OD长度就能得到BC；③设圆的半径为r，结合DE=4可表示出OD=4-r，在Rt△ADO中用勾股定理列方程求解半径，进而得到OD的长度即可。
【解析】
设⊙O的半径为$r$，则$OA=OE=r$。
∵$OD⊥AC$，$AC=4\sqrt{2}$，根据垂径定理得：
$AD=DC=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$
∵$DE=4$，
∴$OD=DE-OE=4-r$
∵AB是⊙O的直径，
∴$∠ACB=90°$，即$BC⊥AC$
又
∵$OD⊥AC$，
∴$OD//BC$
∵O是AB中点，D是AC中点，
∴OD是△ABC的中位线
∴$BC=2OD$
在Rt△ADO中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$，即$r^2=(2\sqrt{2})^2+(4-r)^2$
展开计算：$r^2=8+16-8r+r^2$
消去$r^2$得：$8r=24$，解得$r=3$
∴$OD=4-3=1$
∴$BC=2×1=2$
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用题，解题关键是利用垂径定理得到线段的等量关系，结合勾股定理列方程求出半径，再借助中位线性质求出目标线段长度，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.6
解题时先从已知条件出发，结合相关定理逐步推导：①AB是圆的直径，可推出直径所对的圆周角∠ACB为直角；②OD垂直弦AC，根据垂径定理可得D是AC中点，结合O是AB中点，可判断OD是△ABC的中位线，即BC=2OD，因此只要算出OD长度就能得到BC；③设圆的半径为r，结合DE=4可表示出OD=4-r，在Rt△ADO中用勾股定理列方程求解半径，进而得到OD的长度即可。
【解析】
设⊙O的半径为$r$，则$OA=OE=r$。
∵$OD⊥AC$，$AC=4\sqrt{2}$，根据垂径定理得：
$AD=DC=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{2}$
∵$DE=4$，
∴$OD=DE-OE=4-r$
∵AB是⊙O的直径，
∴$∠ACB=90°$，即$BC⊥AC$
又
∵$OD⊥AC$，
∴$OD//BC$
∵O是AB中点，D是AC中点，
∴OD是△ABC的中位线
∴$BC=2OD$
在Rt△ADO中，由勾股定理得：
$OA^2=AD^2+OD^2$，即$r^2=(2\sqrt{2})^2+(4-r)^2$
展开计算：$r^2=8+16-8r+r^2$
消去$r^2$得：$8r=24$，解得$r=3$
∴$OD=4-3=1$
∴$BC=2×1=2$
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理
【点评】
本题是圆的性质的综合应用题，解题关键是利用垂径定理得到线段的等量关系，结合勾股定理列方程求出半径，再借助中位线性质求出目标线段长度，是圆章节的典型常考题。
【难度系数】
0.6
