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3. 如图5,在平面直角坐标系中,点A的坐标是(20,0),点B的坐标是(16,0),点C,D在以OA为直径的半圆M上,且四边形OCDB是平行四边形,则点C的坐标为.
答案
解：
∵ 点A的坐标是(20,0)，OA为半圆M的直径
∴ 半圆M的圆心M的坐标为(10,0)，半径为10
∵ 点B的坐标是(16,0)，四边形OCDB是平行四边形
∴ CD//OB，且CD=OB=16
过点M作ME⊥CD于点E，连接MC
由垂径定理得：$CE=\frac{1}{2}CD=8$
过点C作CF⊥x轴于点F
∵ CD//x轴，ME⊥CD
∴ 四边形CFME是矩形
∴ MF=CE=8
在Rt△MEC中，MC=10，CE=8
由勾股定理得：$ME=\sqrt{MC^2-CE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$
∴ CF=ME=6
又∵ OF=OM-MF=10-8=2
∴ 点C的坐标为$\boldsymbol{(2,6)}$
∵ 点A的坐标是(20,0)，OA为半圆M的直径
∴ 半圆M的圆心M的坐标为(10,0)，半径为10
∵ 点B的坐标是(16,0)，四边形OCDB是平行四边形
∴ CD//OB，且CD=OB=16
过点M作ME⊥CD于点E，连接MC
由垂径定理得：$CE=\frac{1}{2}CD=8$
过点C作CF⊥x轴于点F
∵ CD//x轴，ME⊥CD
∴ 四边形CFME是矩形
∴ MF=CE=8
在Rt△MEC中，MC=10，CE=8
由勾股定理得：$ME=\sqrt{MC^2-CE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$
∴ CF=ME=6
又∵ OF=OM-MF=10-8=2
∴ 点C的坐标为$\boldsymbol{(2,6)}$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路逐步推导：①首先根据OA是半圆的直径及点A的坐标，先确定半圆的圆心位置和半径长度，这是后续利用圆的性质解题的基础；②再利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到弦CD的长度和位置特征（CD平行于x轴，长度等于OB的长）；③要求圆上点C的坐标，可通过作辅助线：过圆心作CD的垂线，结合垂径定理得到弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，用勾股定理算出弦心距；④最后通过线段的和差关系计算点C的横、纵坐标即可。
【解析】
∵ 点A的坐标是(20,0)，OA为半圆M的直径
∴ 半圆M的圆心M的坐标为(10,0)，半径为10
∵ 点B的坐标是(16,0)，四边形OCDB是平行四边形
∴ CD//OB，且CD=OB=16
过点M作ME⊥CD于点E，连接MC
由垂径定理得：$CE=\frac{1}{2}CD=8$
过点C作CF⊥x轴于点F
∵ CD//x轴，ME⊥CD，CF⊥x轴
∴ 四边形CFME是矩形
∴ MF=CE=8，CF=ME
在Rt△MEC中，MC=10，CE=8
由勾股定理得：$ME=\sqrt{MC^2-CE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$
∴ CF=6
又
∵ OF=OM-MF=10-8=2
∴ 点C的坐标为(2,6)
【答案】
$(2,6)$
【知识点】
垂径定理；平行四边形的性质；勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系、圆与平行四边形的综合题，解题的关键是合理添加辅助线，将求点坐标的问题转化为求线段长度的问题，同时考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按以下思路逐步推导：①首先根据OA是半圆的直径及点A的坐标，先确定半圆的圆心位置和半径长度，这是后续利用圆的性质解题的基础；②再利用平行四边形对边平行且相等的性质，得到弦CD的长度和位置特征（CD平行于x轴，长度等于OB的长）；③要求圆上点C的坐标，可通过作辅助线：过圆心作CD的垂线，结合垂径定理得到弦长的一半，再连接半径构造直角三角形，用勾股定理算出弦心距；④最后通过线段的和差关系计算点C的横、纵坐标即可。
【解析】
∵ 点A的坐标是(20,0)，OA为半圆M的直径
∴ 半圆M的圆心M的坐标为(10,0)，半径为10
∵ 点B的坐标是(16,0)，四边形OCDB是平行四边形
∴ CD//OB，且CD=OB=16
过点M作ME⊥CD于点E，连接MC
由垂径定理得：$CE=\frac{1}{2}CD=8$
过点C作CF⊥x轴于点F
∵ CD//x轴，ME⊥CD，CF⊥x轴
∴ 四边形CFME是矩形
∴ MF=CE=8，CF=ME
在Rt△MEC中，MC=10，CE=8
由勾股定理得：$ME=\sqrt{MC^2-CE^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$
∴ CF=6
又
∵ OF=OM-MF=10-8=2
∴ 点C的坐标为(2,6)
【答案】
$(2,6)$
【知识点】
垂径定理；平行四边形的性质；勾股定理
【点评】
本题是平面直角坐标系、圆与平行四边形的综合题，解题的关键是合理添加辅助线，将求点坐标的问题转化为求线段长度的问题，同时考查了数形结合思想的应用。
【难度系数】
0.6
4. 如图6,将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上,测得瓶高$AB=20\ \mathrm{cm}$,底面直径$BC=12\ \mathrm{cm}$,球的最高点到瓶底面的距离为$32\ \mathrm{cm}$,则球的半径为 cm(玻璃瓶厚度忽略不计).
答案
$\boldsymbol{7.5}$
解析
【分析】
解决本题首先要将立体问题转化为平面圆的问题，利用垂径定理构造直角三角形求解。首先梳理已知条件：圆柱形玻璃瓶底面直径为12cm，因此瓶口直径也为12cm，即球与瓶口边缘交点形成的弦长为12cm；瓶高20cm，球的最高点到瓶底距离为32cm。我们设球的半径为r，先表示出球心到上述弦的距离，再结合垂径定理和勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
设球的半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
1. 推导球心到瓶口平面的距离：
球的最高点到瓶底的距离为$ 32\ \mathrm{cm} $，因此球心到瓶底的距离为$ (32 - r)\ \mathrm{cm} $；
已知瓶高$ AB=20\ \mathrm{cm} $，即瓶口平面到瓶底的距离为$ 20\ \mathrm{cm} $，因此球心到瓶口平面的距离为$ (32 - r) - 20 = (12 - r)\ \mathrm{cm} $。
2. 结合垂径定理和勾股定理列方程：
瓶口边缘两点的连线是球的一条弦，弦长等于圆柱底面直径$ BC=12\ \mathrm{cm} $，根据垂径定理，弦长的一半为$ 12÷2=6\ \mathrm{cm} $；
球的半径、弦长的一半、球心到弦的距离构成直角三角形，由勾股定理可得：
$ r^2 = 6^2 + (12 - r)^2 $
3. 解方程：
展开得：$ r^2 = 36 + 144 - 24r + r^2 $
两边消去$ r^2 $，整理得：$ 24r = 180 $
解得：$ r = 7.5 $
【答案】
$\boldsymbol{7.5}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题将立体场景与圆的性质结合，核心是把立体问题转化为平面圆的问题，通过垂径定理构造直角三角形，再用方程思想求解未知量，是圆的实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
解决本题首先要将立体问题转化为平面圆的问题，利用垂径定理构造直角三角形求解。首先梳理已知条件：圆柱形玻璃瓶底面直径为12cm，因此瓶口直径也为12cm，即球与瓶口边缘交点形成的弦长为12cm；瓶高20cm，球的最高点到瓶底距离为32cm。我们设球的半径为r，先表示出球心到上述弦的距离，再结合垂径定理和勾股定理列方程即可求出半径。
【解析】
设球的半径为$ r\ \mathrm{cm} $。
1. 推导球心到瓶口平面的距离：
球的最高点到瓶底的距离为$ 32\ \mathrm{cm} $，因此球心到瓶底的距离为$ (32 - r)\ \mathrm{cm} $；
已知瓶高$ AB=20\ \mathrm{cm} $，即瓶口平面到瓶底的距离为$ 20\ \mathrm{cm} $，因此球心到瓶口平面的距离为$ (32 - r) - 20 = (12 - r)\ \mathrm{cm} $。
2. 结合垂径定理和勾股定理列方程：
瓶口边缘两点的连线是球的一条弦，弦长等于圆柱底面直径$ BC=12\ \mathrm{cm} $，根据垂径定理，弦长的一半为$ 12÷2=6\ \mathrm{cm} $；
球的半径、弦长的一半、球心到弦的距离构成直角三角形，由勾股定理可得：
$ r^2 = 6^2 + (12 - r)^2 $
3. 解方程：
展开得：$ r^2 = 36 + 144 - 24r + r^2 $
两边消去$ r^2 $，整理得：$ 24r = 180 $
解得：$ r = 7.5 $
【答案】
$\boldsymbol{7.5}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，方程思想
【点评】
本题将立体场景与圆的性质结合，核心是把立体问题转化为平面圆的问题，通过垂径定理构造直角三角形，再用方程思想求解未知量，是圆的实际应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
5. 如图7是由两个长方形组成的工件平面图(单位:mm),直线l是它的对称轴,能完全覆盖这个平面图形的圆面的最小半径是 mm.
答案
$\boldsymbol{50}$
解析
【分析】
首先根据轴对称的性质可知，能完全覆盖该图形的最小圆的圆心一定在对称轴l上；要使圆的半径最小，该圆需同时经过图形上距离最远的两个临界顶点（右下方顶点和上方长方形的右上角顶点），结合图中标注的尺寸，利用勾股定理即可计算出最小半径。
【解析】
∵直线l是该工件平面图的对称轴，
∴能完全覆盖这个平面图形的最小圆的圆心必然在直线l上。
要使覆盖圆半径最小，该圆需同时经过图形的右下角顶点和上方小长方形的右上角顶点，才能覆盖整个图形。结合图中标注的尺寸，可得这两个顶点到圆心的水平距离为30mm、竖直距离为40mm，根据勾股定理：
$r=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50(\mathrm{mm})$
【答案】
$\boldsymbol{50}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，轴对称的性质
【点评】
本题解题核心是利用轴对称性质快速确定圆心位置，再锁定最远临界顶点结合勾股定理计算，需要学生具备一定的图形观察能力，能准确找到决定半径的关键顶点。
【难度系数】
0.6
首先根据轴对称的性质可知，能完全覆盖该图形的最小圆的圆心一定在对称轴l上；要使圆的半径最小，该圆需同时经过图形上距离最远的两个临界顶点（右下方顶点和上方长方形的右上角顶点），结合图中标注的尺寸，利用勾股定理即可计算出最小半径。
【解析】
∵直线l是该工件平面图的对称轴，
∴能完全覆盖这个平面图形的最小圆的圆心必然在直线l上。
要使覆盖圆半径最小，该圆需同时经过图形的右下角顶点和上方小长方形的右上角顶点，才能覆盖整个图形。结合图中标注的尺寸，可得这两个顶点到圆心的水平距离为30mm、竖直距离为40mm，根据勾股定理：
$r=\sqrt{30^2+40^2}=\sqrt{900+1600}=\sqrt{2500}=50(\mathrm{mm})$
【答案】
$\boldsymbol{50}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，轴对称的性质
【点评】
本题解题核心是利用轴对称性质快速确定圆心位置，再锁定最远临界顶点结合勾股定理计算，需要学生具备一定的图形观察能力，能准确找到决定半径的关键顶点。
【难度系数】
0.6
6. 如图8,在平面直角坐标系中,以点$C(2,\sqrt{3})$为圆心,以2为半径的圆与x轴交于A,B两点.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)若二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点A和B,试确定此二次函数的解析式.
(1)求A,B两点的坐标;
(2)若二次函数$y=x^2+bx+c$的图象经过点A和B,试确定此二次函数的解析式.
答案
解：
(1) 过点C作$CD ⊥ AB$于点D，连接CA。
∵ 点C的坐标为$(2,\sqrt{3})$，
∴ $CD=\sqrt{3}$，点D的坐标为$(2,0)$。
由垂径定理得：$AD=BD$。
在$Rt△ ACD$中，$CA=2$，$CD=\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{CA^2 - CD^2}=\sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2}=1$。
∴ $OA=OD - AD=2 - 1=1$，$OB=OD + BD=2 + 1=3$，
∴ A点坐标为$(1,0)$，B点坐标为$(3,0)$。
(2) 将$A(1,0)$、$B(3,0)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1 + b + c = 0 \\9 + 3b + c = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}b=-4 \\c=3\end{cases}$
∴ 此二次函数的解析式为$y=x^2 - 4x + 3$。
(1) 过点C作$CD ⊥ AB$于点D，连接CA。
∵ 点C的坐标为$(2,\sqrt{3})$，
∴ $CD=\sqrt{3}$，点D的坐标为$(2,0)$。
由垂径定理得：$AD=BD$。
在$Rt△ ACD$中，$CA=2$，$CD=\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{CA^2 - CD^2}=\sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2}=1$。
∴ $OA=OD - AD=2 - 1=1$，$OB=OD + BD=2 + 1=3$，
∴ A点坐标为$(1,0)$，B点坐标为$(3,0)$。
(2) 将$A(1,0)$、$B(3,0)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1 + b + c = 0 \\9 + 3b + c = 0\end{cases}$
解得：$\begin{cases}b=-4 \\c=3\end{cases}$
∴ 此二次函数的解析式为$y=x^2 - 4x + 3$。
解析
【分析】
(1) 求圆与x轴交点A、B的坐标时，可利用垂径定理：过圆心作弦AB的垂线，垂足就是AB的中点。先得到垂线长度和垂足坐标，再在直角三角形中用勾股定理算出弦长的一半，结合垂足坐标就能推出A、B的坐标。
(2) 求二次函数解析式时，已知函数图象经过A、B两点，将两点坐标代入二次函数一般式，得到关于系数b、c的二元一次方程组，解方程组求出系数即可确定解析式。
【解析】
(1) 过点C作$CD ⊥ AB$于点D，连接$CA$。
∵ 点C的坐标为$(2,\sqrt{3})$，
∴ $CD=\sqrt{3}$，点D的坐标为$(2,0)$。
由垂径定理得：$AD=BD$。
在$Rt△ ACD$中，半径$CA=2$，$CD=\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{CA^2 - CD^2}=\sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2}=1$。
∴ $OA=OD - AD=2 - 1=1$，$OB=OD + BD=2 + 1=3$，
∴ A点坐标为$(1,0)$，B点坐标为$(3,0)$。
(2) 将$A(1,0)$、$B(3,0)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1 + b + c = 0 \\9 + 3b + c = 0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去c，得$8+2b=0$，解得$b=-4$，
将$b=-4$代入第一个方程，得$1-4+c=0$，解得$c=3$。
∴ 此二次函数的解析式为$y=x^2 - 4x + 3$。
【答案】
(1) $A(1,0)$，$B(3,0)$
(2) $y=x^2 - 4x + 3$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于圆与二次函数的基础综合题，核心考察垂径定理的应用和待定系数法求解函数解析式的步骤，解题思路清晰，是巩固基础知识点的典型题目。
【难度系数】
0.8
(1) 求圆与x轴交点A、B的坐标时，可利用垂径定理：过圆心作弦AB的垂线，垂足就是AB的中点。先得到垂线长度和垂足坐标，再在直角三角形中用勾股定理算出弦长的一半，结合垂足坐标就能推出A、B的坐标。
(2) 求二次函数解析式时，已知函数图象经过A、B两点，将两点坐标代入二次函数一般式，得到关于系数b、c的二元一次方程组，解方程组求出系数即可确定解析式。
【解析】
(1) 过点C作$CD ⊥ AB$于点D，连接$CA$。
∵ 点C的坐标为$(2,\sqrt{3})$，
∴ $CD=\sqrt{3}$，点D的坐标为$(2,0)$。
由垂径定理得：$AD=BD$。
在$Rt△ ACD$中，半径$CA=2$，$CD=\sqrt{3}$，
由勾股定理得：$AD=\sqrt{CA^2 - CD^2}=\sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2}=1$。
∴ $OA=OD - AD=2 - 1=1$，$OB=OD + BD=2 + 1=3$，
∴ A点坐标为$(1,0)$，B点坐标为$(3,0)$。
(2) 将$A(1,0)$、$B(3,0)$代入$y=x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}1 + b + c = 0 \\9 + 3b + c = 0\end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程消去c，得$8+2b=0$，解得$b=-4$，
将$b=-4$代入第一个方程，得$1-4+c=0$，解得$c=3$。
∴ 此二次函数的解析式为$y=x^2 - 4x + 3$。
【答案】
(1) $A(1,0)$，$B(3,0)$
(2) $y=x^2 - 4x + 3$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；待定系数法求二次函数解析式
【点评】
本题属于圆与二次函数的基础综合题，核心考察垂径定理的应用和待定系数法求解函数解析式的步骤，解题思路清晰，是巩固基础知识点的典型题目。
【难度系数】
0.8
1. (2025·泸州)如图9,四边形ABCD内接于$\odot O$,BD为$\odot O$的直径.若$AB=AC$,$∠ ACB=70°$,则$∠ CBD$的度数是 ()
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
B
解析
【分析】
解题思路可分为三步：第一步，先利用等腰三角形的性质计算△ABC的顶角∠BAC的度数；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得到∠BDC与∠BAC相等；第三步，结合直径所对的圆周角是直角的性质，在Rt△BCD中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠CBD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠ACB=70°
∴∠ABC=∠ACB=70°（等腰三角形两底角相等）
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°
∵∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角
∴∠BDC=∠BAC=40°（同弧所对的圆周角相等）
∵BD为⊙O的直径
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角）
在Rt△BCD中，∠CBD=90°-∠BDC=90°-40°=50°
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础计算题，解题关键是熟练掌握同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角这两个核心性质，结合等腰三角形的角度计算规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路可分为三步：第一步，先利用等腰三角形的性质计算△ABC的顶角∠BAC的度数；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，得到∠BDC与∠BAC相等；第三步，结合直径所对的圆周角是直角的性质，在Rt△BCD中利用直角三角形两锐角互余即可求出∠CBD的度数。
【解析】
解：
∵AB=AC，∠ACB=70°
∴∠ABC=∠ACB=70°（等腰三角形两底角相等）
在△ABC中，∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-70°-70°=40°
∵∠BAC和∠BDC都是弧BC所对的圆周角
∴∠BDC=∠BAC=40°（同弧所对的圆周角相等）
∵BD为⊙O的直径
∴∠BCD=90°（直径所对的圆周角是直角）
在Rt△BCD中，∠CBD=90°-∠BDC=90°-40°=50°
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆与三角形结合的基础计算题，解题关键是熟练掌握同弧所对圆周角相等、直径所对圆周角为直角这两个核心性质，结合等腰三角形的角度计算规律即可快速求解。
【难度系数】
0.7
