2. (2025·重庆)如图10,点A,B,C在⊙O上,∠AOB=100°,∠C的度数是 ()



A.40°
B.50°
C.80°
D.100°

B

【分析】
解题时先观察已知角和所求角的位置，可知∠AOB是⊙O中弧AB所对的圆心角，∠C是同一段弧AB所对的圆周角，结合圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可通过已知的圆心角度数直接求出圆周角∠C的度数。
【解析】
解：
∵∠AOB和∠C分别是⊙O中弧AB所对的圆心角和圆周角，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴∠C = $\frac{1}{2}$∠AOB，
又
∵∠AOB=100°，
∴∠C = $\frac{1}{2}$×100° = 50°，
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理
【点评】
本题属于基础题型，核心是识别同弧所对的圆心角和圆周角，直接运用圆周角定理即可求解，是对圆的基础性质的常规考查。
【难度系数】
0.85

3. (2026·河北)如图11,在$\odot O$中,$\overset{\frown}{ACB}$所对的圆心角为$150°$,点D在$\overset{\frown}{AC}$上.若$∠ CBO=n°$,则$∠ ADC=$ ()

A.$90° +n°$
B.$180° -n°$
C.$195° -n°$
D.$2n°$

C

【分析】
解题思路如下：1. 先利用等腰三角形性质求出△OAB中底角∠OBA的度数；2. 表示出∠ABC的度数；3. 根据圆内接四边形对角互补的性质，即可推导得出∠ADC的度数。也可通过圆心角和圆周角的对应关系求解：先找到∠ADC所对的优弧，计算优弧的度数后，利用圆周角定理（圆周角等于所对弧圆心角的一半）计算即可。
【解析】
步骤1：连接OA、OB，$\overset{\frown}{ACB}$所对的圆心角$∠ AOB=150°$，因为OA=OB（都是$\odot O$的半径），所以△OAB为等腰三角形，$∠ OBA=\frac{180°-150°}{2}=15°$。
步骤2：可得$∠ ABC=∠ CBO - ∠ OBA=n° -15°$。
步骤3：因为四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形，根据圆内接四边形对角互补的性质，$∠ ABC + ∠ ADC=180°$。
步骤4：代入$∠ ABC$的度数，得$∠ ADC=180° - (n° -15°)=195° -n°$。
【答案】
C
【知识点】
圆周角定理，圆内接四边形性质，等腰三角形性质
【点评】
本题是圆的性质的综合应用题，解题的关键是找准圆周角对应的弧，或者利用圆内接四边形的对角互补关系求解，注意不要混淆优弧和劣弧对应的圆周角。
【难度系数】
0.65

4. (2025·山西)如图12，AB为$\odot O$的直径，点C，D是$\odot O$上位于AB异侧的两点，连接AD，CD. 若$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，则$∠ D$的度数为 ()


A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.$75°$

B

【分析】
解题时先从已知条件入手：①看到AB是圆的直径，优先联想到直径所对的圆周角为直角，可构造直角三角形ACB；②已知$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，结合同圆中等弧对等弦的性质，可判断△ACB为等腰直角三角形，求得∠B的度数；③最后根据同弧所对的圆周角相等，建立∠D和∠B的等量关系，即可求出∠D的度数。
【解析】
连接BC，
∵AB为$\odot O$的直径，
∴$∠ ACB=90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，
∴$AC=BC$（同圆中，等弧所对的弦相等），
∴$△ ACB$是等腰直角三角形，
∴$∠ B=45°$。
又
∵$∠ D$和$∠ B$都是$\overset{\frown}{AC}$所对的圆周角，
∴$∠ D=∠ B=45°$（同弧所对的圆周角相等）。
【答案】
B
【知识点】
1. 圆周角定理
2. 直径所对圆周角的性质
3. 等弧的性质
【点评】
本题是圆的性质基础应用题，解题的核心是熟练运用圆周角相关定理，通过连接辅助线BC转化已知条件，即可快速求解，是圆章节的常见考题。
【难度系数】
0.8

5. (2025·广安)如图13,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,$∠BCD=120^{\circ },\odot O$的半径为6,则BD的长为.

$\boldsymbol{6\sqrt{3}}$

【分析】
求解本题的核心思路是将弦长计算与圆的性质结合：①已知圆周角∠BCD的度数，可借助圆周角定理求出弦BD所对的圆心角∠BOD的度数；②已知圆的半径，构造过圆心垂直于BD的线段，利用垂径定理将BD的计算转化为直角三角形的边长计算，最后结合三角函数即可求出BD的长度。
【解析】
连接OB、OD，过点O作OE⊥BD于点E。
1. 根据垂径定理，可得$BE=DE=\frac{1}{2}BD$。
2.
∵∠BCD是圆周角，所对的弧为弧BAD，根据圆周角定理，弧BAD的度数为$2×120°=240°$，
∴弧BD的度数为$360°-240°=120°$，即圆心角$∠ BOD=120°$。
3.
∵OB=OD=6，△OBD为等腰三角形，OE⊥BD，
∴$∠ BOE=\frac{1}{2}∠ BOD=60°$。
4. 在$Rt△ BOE$中，$\sin∠ BOE=\frac{BE}{OB}$，
∴$BE=OB·\sin60°=6×\frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$，
∴$BD=2BE=6\sqrt{3}$。
【答案】
$\boldsymbol{6\sqrt{3}}$
【知识点】
圆周角定理，垂径定理，圆内接四边形的性质
【点评】
本题考查圆的基础性质的综合应用，解题关键是准确构造辅助线找到弦对应的圆心角，将弦长求解转化为直角三角形边长计算，是圆章节的常考题型。
【难度系数】
0.7

6. 如图14,已知△ABC,以AB为直径的⊙O分别交AC于点D,BC于点E,连接ED.若ED=EC.
(1)求证:AB=AC;
(2)若AB=4,BC=2√3,求CD的长.

(1) 证明：
∵ $ED = EC$，
∴ $∠ EDC = ∠ C$。
∵ 四边形$ABED$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ EDC = ∠ B$。
∴ $∠ B = ∠ C$，
∴ $AB = AC$。
---
(2) 解：
连接$AE$，
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AEB = 90°$，即$AE ⊥ BC$。
由(1)知$AB = AC = 4$，根据等腰三角形三线合一，得$E$为$BC$中点，
∴ $CE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
∵ $∠ C = ∠ C$，$∠ CDE = ∠ B$，
∴ $△ CDE ∽ △ CBA$。
∴ $\frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CA}$，代入已知条件得：
$\frac{CD}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
解得 $CD = \frac{3}{2}$。
最终结论：$CD$的长为$\boldsymbol{\frac{3}{2}}$。

【分析】
(1) 要证AB=AC，根据等腰三角形判定定理，只需证明∠B=∠C即可。已知ED=EC，可得∠EDC=∠C；再结合圆内接四边形的外角等于内对角的性质，可推出∠EDC=∠B，等量代换即可得到∠B=∠C，从而得出结论。
(2) 要求CD的长度，首先观察到AB是⊙O的直径，根据“直径所对的圆周角为直角”，连接AE可得AE⊥BC；结合(1)中AB=AC的结论，利用等腰三角形三线合一的性质可求出CE的长度；再根据公共角∠C和相等的∠CDE、∠B，可判定△CDE∽△CBA，利用相似三角形对应边成比例即可列式求出CD的长。
【解析】
(1) 证明：
∵ $ED = EC$，
∴ $∠ EDC = ∠ C$。
∵ 四边形$ABED$是$\odot O$的内接四边形，
∴ $∠ EDC = ∠ B$。
∴ $∠ B = ∠ C$，
∴ $AB = AC$。
(2) 解：
连接$AE$，
∵ $AB$是$\odot O$的直径，
∴ $∠ AEB = 90°$，即$AE ⊥ BC$。
由(1)知$AB = AC = 4$，根据等腰三角形三线合一，得$E$为$BC$中点，
∴ $CE = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} × 2\sqrt{3} = \sqrt{3}$。
∵ $∠ C = ∠ C$，$∠ CDE = ∠ B$，
∴ $△ CDE ∽ △ CBA$。
∴ $\frac{CD}{CB} = \frac{CE}{CA}$，代入已知条件得：
$\frac{CD}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$
解得 $CD = \frac{3}{2}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $\boldsymbol{\frac{3}{2}}$
【知识点】
圆内接四边形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，结合了圆的基础性质、等腰三角形的性质和相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握圆的相关性质，合理构造辅助线，借助相似三角形的比例关系求解线段长度。
【难度系数】
0.7