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7. 如图15,在$\odot O$的内接四边形ABCD中,$AD=BC$,对角线AC是$\odot O$的直径. 求证:四边形ABCD是矩形.
答案
证明：
∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ABC = ∠ADC = 90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ AD = BC，
∴ 弧AD = 弧BC（同圆中，相等的弦所对的劣弧相等），
∴ ∠ACD = ∠CAB（等弧所对的圆周角相等），
∴ AB // CD。
同理可得∠ACB = ∠CAD，
∴ AD // BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
又∵ ∠ABC = 90°，
∴ 平行四边形ABCD是矩形。
∵ AC是⊙O的直径，
∴ ∠ABC = ∠ADC = 90°（直径所对的圆周角是直角）。
∵ AD = BC，
∴ 弧AD = 弧BC（同圆中，相等的弦所对的劣弧相等），
∴ ∠ACD = ∠CAB（等弧所对的圆周角相等），
∴ AB // CD。
同理可得∠ACB = ∠CAD，
∴ AD // BC，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
又∵ ∠ABC = 90°，
∴ 平行四边形ABCD是矩形。
解析
【分析】
要证明四边形ABCD是矩形，可按照“先证平行四边形，再证存在直角”的思路推导：首先已知AC是圆的直径，可直接利用圆周角定理得到两个直角；再结合AD=BC的条件，通过同圆中弦与弧的对应关系得到等弧，进一步推导得到内错角相等，证明两组对边分别平行，确定四边形为平行四边形；最后结合已得的直角条件，即可判定平行四边形为矩形。
【解析】
证明：
∵ AC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ABC = ∠ ADC = 90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵ $AD = BC$，
∴ 弧$AD$ = 弧$BC$（同圆中，相等的弦所对的劣弧相等），
∴ $∠ ACD = ∠ CAB$（等弧所对的圆周角相等），
∴ $AB // CD$。
同理可得$∠ ACB = ∠ CAD$，
∴ $AD // BC$，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
又
∵ $∠ ABC = 90°$，
∴ 平行四边形ABCD是矩形。
【答案】
证明：
∵ AC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ABC = ∠ ADC = 90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵ $AD = BC$，
∴ 弧$AD$ = 弧$BC$（同圆中，相等的弦所对的劣弧相等），
∴ $∠ ACD = ∠ CAB$（等弧所对的圆周角相等），
∴ $AB // CD$。
同理可得$∠ ACB = ∠ CAD$，
∴ $AD // BC$，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
又
∵ $∠ ABC = 90°$，
∴ 平行四边形ABCD是矩形。
【知识点】
圆周角定理；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题综合考查了圆的性质与特殊四边形的判定，解题核心是灵活运用弧、弦、圆周角的对应关系推出对边平行，再结合矩形判定定理完成证明，属于几何基础综合题型。
【难度系数】
0.8
要证明四边形ABCD是矩形，可按照“先证平行四边形，再证存在直角”的思路推导：首先已知AC是圆的直径，可直接利用圆周角定理得到两个直角；再结合AD=BC的条件，通过同圆中弦与弧的对应关系得到等弧，进一步推导得到内错角相等，证明两组对边分别平行，确定四边形为平行四边形；最后结合已得的直角条件，即可判定平行四边形为矩形。
【解析】
证明：
∵ AC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ABC = ∠ ADC = 90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵ $AD = BC$，
∴ 弧$AD$ = 弧$BC$（同圆中，相等的弦所对的劣弧相等），
∴ $∠ ACD = ∠ CAB$（等弧所对的圆周角相等），
∴ $AB // CD$。
同理可得$∠ ACB = ∠ CAD$，
∴ $AD // BC$，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
又
∵ $∠ ABC = 90°$，
∴ 平行四边形ABCD是矩形。
【答案】
证明：
∵ AC是$\odot O$的直径，
∴ $∠ ABC = ∠ ADC = 90°$（直径所对的圆周角是直角）。
∵ $AD = BC$，
∴ 弧$AD$ = 弧$BC$（同圆中，相等的弦所对的劣弧相等），
∴ $∠ ACD = ∠ CAB$（等弧所对的圆周角相等），
∴ $AB // CD$。
同理可得$∠ ACB = ∠ CAD$，
∴ $AD // BC$，
∴ 四边形ABCD是平行四边形。
又
∵ $∠ ABC = 90°$，
∴ 平行四边形ABCD是矩形。
【知识点】
圆周角定理；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题综合考查了圆的性质与特殊四边形的判定，解题核心是灵活运用弧、弦、圆周角的对应关系推出对边平行，再结合矩形判定定理完成证明，属于几何基础综合题型。
【难度系数】
0.8
8. 如图16,AB是$\odot O$的直径,C,D是$\odot O$上的两点,且$AC=CD$.
(1)求证:$OC// BD$;
(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.
(1)求证:$OC// BD$;
(2)若BC将四边形OBDC分成面积相等的两个三角形,试确定四边形OBDC的形状.
答案
解：(1) 证明：
∵ $AC = CD$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ AOC = ∠ COD$，
∴ $∠ AOD = 2∠ AOC$。
又∵ $∠ ABD$ 是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，$∠ AOD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角，
∴ $∠ AOD = 2∠ ABD$，
∴ $∠ AOC = ∠ ABD$，
∴ $OC// BD$。
(2) 四边形$OBDC$是菱形，证明如下：
由题意可知 $S_{△ OBC}=S_{△ DBC}$，
∵ $△ OBC$和$△ DBC$有公共边$BC$，
∴ 点$O$到$BC$的距离与点$D$到$BC$的距离相等。
∵ $OC// BD$，
∴ $OC = BD$，即$OC$平行且等于$BD$，
∴ 四边形$OBDC$是平行四边形。
又∵ $OC$、$OB$均为$\odot O$的半径，$OC=OB$，
∴ 平行四边形$OBDC$是菱形。
∵ $AC = CD$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ AOC = ∠ COD$，
∴ $∠ AOD = 2∠ AOC$。
又∵ $∠ ABD$ 是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，$∠ AOD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角，
∴ $∠ AOD = 2∠ ABD$，
∴ $∠ AOC = ∠ ABD$，
∴ $OC// BD$。
(2) 四边形$OBDC$是菱形，证明如下：
由题意可知 $S_{△ OBC}=S_{△ DBC}$，
∵ $△ OBC$和$△ DBC$有公共边$BC$，
∴ 点$O$到$BC$的距离与点$D$到$BC$的距离相等。
∵ $OC// BD$，
∴ $OC = BD$，即$OC$平行且等于$BD$，
∴ 四边形$OBDC$是平行四边形。
又∵ $OC$、$OB$均为$\odot O$的半径，$OC=OB$，
∴ 平行四边形$OBDC$是菱形。
解析
【分析】
(1) 要证$OC// BD$，可通过证明同位角相等实现：已知$AC=CD$，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，进而推出对应的圆心角$∠ AOC=∠ COD$，即$∠ AOD=2∠ AOC$；再结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOD=2∠ ABD$，即可推出$∠ AOC=∠ ABD$，从而证得平行。
(2) 已知$BC$将四边形$OBDC$分成面积相等的两个三角形，两个三角形共底边$BC$，因此它们在$BC$边上的高相等，结合(1)中已证的$OC// BD$，可推出$OC=BD$，即四边形一组对边平行且相等，判定其为平行四边形；再结合$OC$、$OB$都是$\odot O$的半径，邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AC = CD$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ AOC = ∠ COD$，
∴ $∠ AOD = 2∠ AOC$。
又
∵ $∠ ABD$ 是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，$∠ AOD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角，
∴ $∠ AOD = 2∠ ABD$，
∴ $∠ AOC = ∠ ABD$，
∴ $OC// BD$。
(2) 四边形$OBDC$是菱形，证明如下：
由题意可知 $S_{△ OBC}=S_{△ DBC}$，
∵ $△ OBC$和$△ DBC$有公共边$BC$，
∴ 点$O$到$BC$的距离与点$D$到$BC$的距离相等。
∵ $OC// BD$，
∴ $OC = BD$，即$OC$平行且等于$BD$，
∴ 四边形$OBDC$是平行四边形。
又
∵ $OC$、$OB$均为$\odot O$的半径，$OC=OB$，
∴ 平行四边形$OBDC$是菱形。
【答案】
(1) $OC// BD$，证明成立；
(2) 四边形$OBDC$是菱形。
【知识点】
弦弧圆心角的关系；圆周角定理；菱形的判定
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的典型基础题，解题关键是灵活运用圆的基本性质推导角、边的关系，结合三角形面积的特点和平行四边形、菱形的判定规则求解，对基础知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 要证$OC// BD$，可通过证明同位角相等实现：已知$AC=CD$，根据同圆中相等的弦对应相等的弧，可得$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，进而推出对应的圆心角$∠ AOC=∠ COD$，即$∠ AOD=2∠ AOC$；再结合圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，可得$∠ AOD=2∠ ABD$，即可推出$∠ AOC=∠ ABD$，从而证得平行。
(2) 已知$BC$将四边形$OBDC$分成面积相等的两个三角形，两个三角形共底边$BC$，因此它们在$BC$边上的高相等，结合(1)中已证的$OC// BD$，可推出$OC=BD$，即四边形一组对边平行且相等，判定其为平行四边形；再结合$OC$、$OB$都是$\odot O$的半径，邻边相等的平行四边形是菱形，即可得出结论。
【解析】
(1) 证明：
∵ $AC = CD$，
∴ $\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ $∠ AOC = ∠ COD$，
∴ $∠ AOD = 2∠ AOC$。
又
∵ $∠ ABD$ 是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角，$∠ AOD$是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆心角，
∴ $∠ AOD = 2∠ ABD$，
∴ $∠ AOC = ∠ ABD$，
∴ $OC// BD$。
(2) 四边形$OBDC$是菱形，证明如下：
由题意可知 $S_{△ OBC}=S_{△ DBC}$，
∵ $△ OBC$和$△ DBC$有公共边$BC$，
∴ 点$O$到$BC$的距离与点$D$到$BC$的距离相等。
∵ $OC// BD$，
∴ $OC = BD$，即$OC$平行且等于$BD$，
∴ 四边形$OBDC$是平行四边形。
又
∵ $OC$、$OB$均为$\odot O$的半径，$OC=OB$，
∴ 平行四边形$OBDC$是菱形。
【答案】
(1) $OC// BD$，证明成立；
(2) 四边形$OBDC$是菱形。
【知识点】
弦弧圆心角的关系；圆周角定理；菱形的判定
【点评】
本题是圆与特殊四边形结合的典型基础题，解题关键是灵活运用圆的基本性质推导角、边的关系，结合三角形面积的特点和平行四边形、菱形的判定规则求解，对基础知识点的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
