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1.若$\odot O$的半径为5 cm,点A到圆心O的距离为3 cm,那么点A与$\odot O$的位置关系是 ()
A.点A在圆外
B.点A在圆上
C.点A在圆内
D.不能确定
A.点A在圆外
B.点A在圆上
C.点A在圆内
D.不能确定
答案
C
解析
【分析】要判断点与圆的位置关系，核心方法是比较点到圆心的距离$d$和圆的半径$r$的大小：当$d＞r$时，点在圆外；当$d=r$时，点在圆上；当$d＜r$时，点在圆内。本题已经给出圆的半径和点A到圆心的距离，直接代入比较两个数值的大小，就能对应得到点A的位置。
【解析】设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，点与圆的位置关系判定规则如下：
① 若$d ＞ r$，点在圆外；
② 若$d = r$，点在圆上；
③ 若$d ＜ r$，点在圆内。
由题意可知，$\odot O$的半径$r=5\mathrm{cm}$，点$A$到圆心$O$的距离$d=3\mathrm{cm}$，
因为$3\mathrm{cm} ＜ 5\mathrm{cm}$，即$d ＜ r$，所以点$A$在$\odot O$内。
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系判定
【点评】本题属于基础概念应用题，熟练掌握点和圆位置关系的判定规则即可快速解题，是对圆相关基础概念的直接考查。
【难度系数】0.9
【解析】设圆的半径为$r$，点到圆心的距离为$d$，点与圆的位置关系判定规则如下：
① 若$d ＞ r$，点在圆外；
② 若$d = r$，点在圆上；
③ 若$d ＜ r$，点在圆内。
由题意可知，$\odot O$的半径$r=5\mathrm{cm}$，点$A$到圆心$O$的距离$d=3\mathrm{cm}$，
因为$3\mathrm{cm} ＜ 5\mathrm{cm}$，即$d ＜ r$，所以点$A$在$\odot O$内。
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系判定
【点评】本题属于基础概念应用题，熟练掌握点和圆位置关系的判定规则即可快速解题，是对圆相关基础概念的直接考查。
【难度系数】0.9
2. 已知矩形ABCD的边AB=6,AD=8.如果以点A为圆心作$\odot A$,使B,C,D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点,那么$\odot A$的半径r的取值范围是（）
A.$6＜r＜10$
B.$8＜r＜10$
C.$6＜r≤8$
D.$8＜r≤10$
A.$6＜r＜10$
B.$8＜r＜10$
C.$6＜r≤8$
D.$8＜r≤10$
答案
A
解析
【分析】
解题首先回忆点与圆的位置关系判定规则：设点到圆心的距离为d，圆半径为r，若d＜r则点在圆内，d=r则点在圆上，d＞r则点在圆外。第一步先计算B、C、D三点到圆心A的距离，再结合“圆内和圆外都至少有一个点”的要求推导半径范围：要存在点在圆内，半径必须大于三个点到A的最小距离；要存在点在圆外，半径必须小于三个点到A的最大距离，同时注意端点是否符合要求即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=8
∴AC为矩形的对角线，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
即B、D、C三点到点A的距离分别为6、8、10，从小到大排列为$6＜8＜10$。
若要满足三点中圆内和圆外都至少有一个点：
1. 当$r≤6$时，三个点到A的距离都≥r，没有点在圆内，不符合要求，故$r＞6$；
2. 当$r≥10$时，三个点到A的距离都≤r，没有点在圆外，不符合要求，故$r＜10$。
综上，r的取值范围是$6＜r＜10$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题考查点与圆位置关系的实际应用，解题关键是先求出各点到圆心的距离，再结合题干限制条件推导半径范围，易错点是容易误判端点的取值情况。
【难度系数】
0.7
解题首先回忆点与圆的位置关系判定规则：设点到圆心的距离为d，圆半径为r，若d＜r则点在圆内，d=r则点在圆上，d＞r则点在圆外。第一步先计算B、C、D三点到圆心A的距离，再结合“圆内和圆外都至少有一个点”的要求推导半径范围：要存在点在圆内，半径必须大于三个点到A的最小距离；要存在点在圆外，半径必须小于三个点到A的最大距离，同时注意端点是否符合要求即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，AB=6，AD=8
∴AC为矩形的对角线，由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$
即B、D、C三点到点A的距离分别为6、8、10，从小到大排列为$6＜8＜10$。
若要满足三点中圆内和圆外都至少有一个点：
1. 当$r≤6$时，三个点到A的距离都≥r，没有点在圆内，不符合要求，故$r＞6$；
2. 当$r≥10$时，三个点到A的距离都≤r，没有点在圆外，不符合要求，故$r＜10$。
综上，r的取值范围是$6＜r＜10$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系，矩形的性质，勾股定理
【点评】
本题考查点与圆位置关系的实际应用，解题关键是先求出各点到圆心的距离，再结合题干限制条件推导半径范围，易错点是容易误判端点的取值情况。
【难度系数】
0.7
1. (2025·广安)如图17,圆锥的侧面展开图是一个圆心角为$90°$的扇形.若圆锥的母线长为5,则该圆锥的底面圆的半径为 ()
A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{5}{2}$
D.5
A.$\frac{5}{4}$
B.$\frac{5}{3}$
C.$\frac{5}{2}$
D.5
答案
A
解析
【分析】
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图与底面圆的两个核心等量关系：①圆锥的母线长等于侧面展开扇形的半径；②侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时先根据已知的扇形圆心角和母线长计算出扇形弧长，再利用弧长等于底面圆周长列等式，即可求解底面半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆半径为$r$。
已知圆锥侧面展开扇形的圆心角为$90°$，母线长（即扇形半径）为5。
根据弧长公式，可得扇形弧长为：$\frac{nπ l}{180}=\frac{90π×5}{180}$。
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，因此列等式：
$2π r=\frac{90π×5}{180}$
两边同时约去$π$，化简得$2r=\frac{5}{2}$，解得$r=\frac{5}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
圆锥展开图特征；弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题是基础常考题，重点考查圆锥与侧面展开扇形的对应关系，牢记核心等量关系即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是明确圆锥侧面展开图与底面圆的两个核心等量关系：①圆锥的母线长等于侧面展开扇形的半径；②侧面展开扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长。解题时先根据已知的扇形圆心角和母线长计算出扇形弧长，再利用弧长等于底面圆周长列等式，即可求解底面半径。
【解析】
设该圆锥的底面圆半径为$r$。
已知圆锥侧面展开扇形的圆心角为$90°$，母线长（即扇形半径）为5。
根据弧长公式，可得扇形弧长为：$\frac{nπ l}{180}=\frac{90π×5}{180}$。
因为扇形弧长等于圆锥底面圆的周长，因此列等式：
$2π r=\frac{90π×5}{180}$
两边同时约去$π$，化简得$2r=\frac{5}{2}$，解得$r=\frac{5}{4}$。
【答案】
A
【知识点】
圆锥展开图特征；弧长计算；圆的周长计算
【点评】
本题是基础常考题，重点考查圆锥与侧面展开扇形的对应关系，牢记核心等量关系即可轻松解题。
【难度系数】
0.8
2. (2025·镇江)如图18,直线$l_{1}// l_{2}$,直线$m$分别交$l_{1}$和$l_{2}$于点$A$和$B$,以$A$为圆心,$AB$长为半径画弧,分别交$l_{2}$和$l_{1}$于直线$m$同侧的点$C$和$D$,$∠ ADB=35°$,$AB=9$,则$\overset{\frown}{CD}$的长等于（）
A.$5π$
B.$4π$
C.$\frac{7}{2}π$
D.$\frac{7}{4}π$
A.$5π$
B.$4π$
C.$\frac{7}{2}π$
D.$\frac{7}{4}π$
答案
C
解析
【分析】
要计算$\overset{\frown}{CD}$的长，需先确定弧所在圆的半径和对应的圆心角：①由作图可知AB、AD、AC均为以A为圆心的圆的半径，因此半径$r=AB=9$；②先利用等腰三角形等边对等角的性质，结合$AD=AB$得$∠ ABD=∠ ADB=35°$；③再根据平行线的内错角相等，得$∠ DBC=∠ ADB=35°$，即可求出$∠ ABC$的度数；④结合$AB=AC$，再次利用等腰三角形性质得$∠ ACB=∠ ABC$，再由平行线内错角相等求出圆心角$∠ CAD$的度数；⑤最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
1. 由作图可得：$AD=AB=AC=9$，均为以A为圆心的圆的半径。
2. 因为$AD=AB$，$△ ABD$为等腰三角形，所以$∠ ABD=∠ ADB=35°$。
3. 因为$l_1// l_2$，$BD$为截线，内错角相等，所以$∠ DBC=∠ ADB=35°$，因此$∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=35°+35°=70°$。
4. 因为$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，所以$∠ ACB=∠ ABC=70°$。
5. 因为$l_1// l_2$，$AC$为截线，内错角相等，所以$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ CAD=∠ ACB=70°$。
6. 根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$n=70$，$r=9$得：
$\overset{\frown}{CD}$的长$=\frac{70×π×9}{180}=\frac{7}{2}π$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；弧长计算
【点评】
本题综合考查了几何基础性质和弧长计算，解题核心是先根据作图得到相等线段，再逐步推导角的数量关系，梳理角的关系时要注意结合平行线和等腰三角形的性质，避免混淆角的位置。
【难度系数】
0.65
要计算$\overset{\frown}{CD}$的长，需先确定弧所在圆的半径和对应的圆心角：①由作图可知AB、AD、AC均为以A为圆心的圆的半径，因此半径$r=AB=9$；②先利用等腰三角形等边对等角的性质，结合$AD=AB$得$∠ ABD=∠ ADB=35°$；③再根据平行线的内错角相等，得$∠ DBC=∠ ADB=35°$，即可求出$∠ ABC$的度数；④结合$AB=AC$，再次利用等腰三角形性质得$∠ ACB=∠ ABC$，再由平行线内错角相等求出圆心角$∠ CAD$的度数；⑤最后代入弧长公式计算即可。
【解析】
1. 由作图可得：$AD=AB=AC=9$，均为以A为圆心的圆的半径。
2. 因为$AD=AB$，$△ ABD$为等腰三角形，所以$∠ ABD=∠ ADB=35°$。
3. 因为$l_1// l_2$，$BD$为截线，内错角相等，所以$∠ DBC=∠ ADB=35°$，因此$∠ ABC=∠ ABD+∠ DBC=35°+35°=70°$。
4. 因为$AB=AC$，$△ ABC$为等腰三角形，所以$∠ ACB=∠ ABC=70°$。
5. 因为$l_1// l_2$，$AC$为截线，内错角相等，所以$\overset{\frown}{CD}$对应的圆心角$∠ CAD=∠ ACB=70°$。
6. 根据弧长公式$l=\frac{nπ r}{180}$（$n$为圆心角度数，$r$为半径），代入$n=70$，$r=9$得：
$\overset{\frown}{CD}$的长$=\frac{70×π×9}{180}=\frac{7}{2}π$。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；等腰三角形的性质；弧长计算
【点评】
本题综合考查了几何基础性质和弧长计算，解题核心是先根据作图得到相等线段，再逐步推导角的数量关系，梳理角的关系时要注意结合平行线和等腰三角形的性质，避免混淆角的位置。
【难度系数】
0.65
3.(2025·潍坊)如图19,圆锥的底面圆心为O,顶点为A,母线l长为4,母线l与高AO的夹角为30°,那么圆锥侧面展开图的面积为。
答案
$\boldsymbol{8π}$
解析
【分析】
要计算圆锥侧面展开图的面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S=π rl$（$r$是底面半径，$l$是母线长）。题目已知母线长$l=4$，因此只需要求出底面半径$r$即可。圆锥的高、底面半径和母线构成直角三角形，结合母线与高的夹角为30°，可以利用含30°角的直角三角形的性质求出底面半径，再代入公式计算侧面积。
【解析】
解：
∵ 圆锥的高$AO$、底面半径$r$、母线$l$构成直角三角形，且母线与高的夹角为$30°$
∴ 底面半径$r$是直角三角形中$30°$角所对的直角边，斜边为母线长$l=4$
根据含$30°$角的直角三角形性质：30°角所对直角边等于斜边的一半，可得$r=\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}×4=2$
将$r=2$、$l=4$代入圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×2×4=8π$
【答案】
$8π$
【知识点】
1.圆锥侧面积计算
2.含30°角的直角三角形性质
3.圆锥的结构特征
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是结合圆锥的结构特征，利用特殊直角三角形的性质求出底面半径，再代入侧面积公式求解，熟练掌握相关公式和性质即可快速得分。
【难度系数】
0.7
要计算圆锥侧面展开图的面积，首先回忆圆锥侧面积公式为$S=π rl$（$r$是底面半径，$l$是母线长）。题目已知母线长$l=4$，因此只需要求出底面半径$r$即可。圆锥的高、底面半径和母线构成直角三角形，结合母线与高的夹角为30°，可以利用含30°角的直角三角形的性质求出底面半径，再代入公式计算侧面积。
【解析】
解：
∵ 圆锥的高$AO$、底面半径$r$、母线$l$构成直角三角形，且母线与高的夹角为$30°$
∴ 底面半径$r$是直角三角形中$30°$角所对的直角边，斜边为母线长$l=4$
根据含$30°$角的直角三角形性质：30°角所对直角边等于斜边的一半，可得$r=\frac{1}{2}l=\frac{1}{2}×4=2$
将$r=2$、$l=4$代入圆锥侧面积公式$S_{\mathrm{侧}}=π rl$，得：
$S_{\mathrm{侧}}=π×2×4=8π$
【答案】
$8π$
【知识点】
1.圆锥侧面积计算
2.含30°角的直角三角形性质
3.圆锥的结构特征
【点评】
本题属于基础计算题，解题的关键是结合圆锥的结构特征，利用特殊直角三角形的性质求出底面半径，再代入侧面积公式求解，熟练掌握相关公式和性质即可快速得分。
【难度系数】
0.7
