4. (2025·辽宁)如图20,在△ABC中,AC=BC,以AB为直径作⊙O,与AC相交于点D.连接OC,与⊙O相交于点E.
(1)如图20①,连接DE,求∠ADE的度数;
(2)如图20②,若点D为AC的中点,且AC=6,求$\overset{\frown}{DE}$的长.

解：
(1) 连接BD，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即BD⊥AC。
∵ AC=BC，O为AB的中点，
∴ OC⊥AB，即∠AOC=90°，
由圆周角定理，∠ADE是弧AE所对的圆周角，∠AOE是弧AE所对的圆心角，
∴ ∠ADE = $\frac{1}{2}$∠AOE = $\frac{1}{2}$×90° = 45°。
(2) 连接OD，
∵ D为AC的中点，BD⊥AC，
∴ AB=BC，
又∵ AC=BC，AC=6，
∴ AB=AC=BC=6，即△ABC为等边三角形，
∴ ∠CAB=60°，
∵ OA=OD，OA=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴ △OAD为等边三角形，
∴ ∠AOD=60°，
∵ ∠AOC=90°，
∴ ∠DOE = ∠AOC - ∠AOD = 90° - 60° = 30°，
∴ $\overset{\frown}{DE}$的长 = $\frac{30π × 3}{180}$ = $\frac{π}{2}$。

【分析】
(1) 求解∠ADE的度数，首先观察到∠ADE是⊙O的圆周角，根据圆周角定理，需先求其对应弧的圆心角。首先利用直径的性质：直径所对圆周角为直角，连接BD可得BD⊥AC；再结合等腰△ABC三线合一的性质，O是AB中点，可得OC⊥AB，即圆心角∠AOE=90°，即可根据圆周角定理算出∠ADE的度数。
(2) 求$\overset{\frown}{DE}$的长，需先确定弧对应的圆心角和所在圆的半径。首先根据BD垂直平分AC推出AB=BC，结合已知AC=BC可得△ABC是等边三角形，再判定△OAD为等边三角形得到∠AOD=60°，进而求出∠DOE的度数，结合半径OA=3代入弧长公式即可计算结果。
【解析】
(1) 连接BD，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即BD⊥AC。
∵ AC=BC，O为AB的中点，
∴ OC⊥AB，即∠AOC=90°，
由圆周角定理，∠ADE是弧AE所对的圆周角，∠AOE是弧AE所对的圆心角，
∴ ∠ADE = $\frac{1}{2}$∠AOE = $\frac{1}{2}$×90° = 45°。
(2) 连接OD，
∵ D为AC的中点，BD⊥AC，
∴ AB=BC，
又
∵ AC=BC，AC=6，
∴ AB=AC=BC=6，即△ABC为等边三角形，
∴ ∠CAB=60°，
∵ OA=OD，OA=$\frac{1}{2}$AB=3，
∴ △OAD为等边三角形，
∴ ∠AOD=60°，
∵ ∠AOC=90°，
∴ ∠DOE = ∠AOC - ∠AOD = 90° - 60° = 30°，
∴ $\overset{\frown}{DE}$的长 = $\frac{30π × 3}{180}$ = $\frac{π}{2}$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{45°}$；(2) $\boldsymbol{\frac{π}{2}}$
【知识点】
圆周角定理，等边三角形判定与性质，弧长计算公式
【点评】
本题综合考查圆的基本性质和三角形相关知识，解题关键是熟练掌握直径所对圆周角的特征、圆周角定理、等腰三角形三线合一性质以及弧长公式，同时需要掌握圆相关几何题的常见辅助线构造方法。
【难度系数】
0.7